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xx中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點21 全等三角形 一．選擇題（共9小題） 1．（xx?安順）如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB=AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（　?。? A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可． 【解答】解：∵AB=AC，∠A為公共角， A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD； B、如添AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD； C、如添BD=CE，等量關(guān)系可得AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD； D、如添BE=CD，因為SSA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項不能作為添加的條件． 故選：D． 　 2．（xx?黔南州）下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側(cè)△ABC全等的是（　?。? A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法得出乙和丙與△ABC全等，甲與△ABC不全等． 【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下： 在△ABC和圖乙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC全等； 在△ABC和圖丙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和△ABC全等； 不能判定甲與△ABC全等； 故選：B． 　 3．（xx?河北）已知：如圖，點P在線段AB外，且PA=PB，求證：點P在線段AB的垂直平分線上，在證明該結(jié)論時，需添加輔助線，則作法不正確的是（　?。? A．作∠APB的平分線PC交AB于點C B．過點P作PC⊥AB于點C且AC=BC C．取AB中點C，連接PC D．過點P作PC⊥AB，垂足為C 【分析】利用判斷三角形全等的方法判斷即可得出結(jié)論． 【解答】解：A、利用SAS判斷出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90，∴點P在線段AB的垂直平分線上，符合題意； C、利用SSS判斷出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90，∴點P在線段AB的垂直平分線上，符合題意； D、利用HL判斷出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴點P在線段AB的垂直平分線上，符合題意， B、過線段外一點作已知線段的垂線，不能保證也平分此條線段，不符合題意； 故選：B． 　 4．（xx?南京）如圖，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，則AD的長為（　?。? A．a(chǎn)+c B．b+c C．a(chǎn)﹣b+c D．a(chǎn)+b﹣c 【分析】只要證明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c； 【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB=∠CED=90，∠A+∠D=90，∠C+∠D=90， ∴∠A=∠C，∵AB=CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF=CE=a，BF=DE=b， ∵EF=c， ∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c， 故選：D． 　 5．（xx?臨沂）如圖，∠ACB=90，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點D、E，AD=3，BE=1，則DE的長是（　?。? A． B．2 C．2 D． 【分析】根據(jù)條件可以得出∠E=∠ADC=90，進而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90， ∴∠EBC+∠BCE=90． ∵∠BCE+∠ACD=90， ∴∠EBC=∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE=DC=1，CE=AD=3． ∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2 故選：B． 　 6．（xx?臺灣）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115，則∠BAE的度數(shù)為何？（　?。? A．115 B．120 C．125 D．130 【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ABC與△AED全等，進而得出∠B=∠E，利用多邊形的內(nèi)角和解答即可． 【解答】解：∵正三角形ACD， ∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60， ∵AB=DE，BC=AE， ∴△ABC≌△AED， ∴∠B=∠E=115，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE， ∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180﹣115=65， ∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65+60=125， 故選：C． 　 7．（xx?成都）如圖，已知∠ABC=∠DCB，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　?。? A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC 【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)定理逐個判斷即可． 【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤； B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤； C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本選項正確； D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤； 故選：C． 　 8．（xx?黑龍江）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90，則四邊形ABCD的面積為（　?。? A．15 B．12.5 C．14.5 D．17 【分析】過A作AE⊥AC，交CB的延長線于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，根據(jù)S△ACE=55=12.5，即可得出結(jié)論． 【解答】解：如圖，過A作AE⊥AC，交CB的延長線于E， ∵∠DAB=∠DCB=90， ∴∠D+∠ABC=180=∠ABE+∠ABC， ∴∠D=∠ABE， 又∵∠DAB=∠CAE=90， ∴∠CAD=∠EAB， 又∵AD=AB， ∴△ACD≌△AEB， ∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形， ∴四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等， ∵S△ACE=55=12.5， ∴四邊形ABCD的面積為12.5， 故選：B． 　 9．（xx?綿陽）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若AE=，AD=，則兩個三角形重疊部分的面積為（　?。? A． B．3 C． D．3 【分析】如圖設(shè)AB交CD于O，連接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想辦法求出△AOB的面積．再求出OA與OB的比值即可解決問題； 【解答】解：如圖設(shè)AB交CD于O，連接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N． ∵∠ECD=∠ACB=90， ∴∠ECA=∠DCB， ∵CE=CD，CA=CB， ∴△ECA≌△DCB， ∴∠E=∠CDB=45，AE=BD=， ∵∠EDC=45， ∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90， 在Rt△ADB中，AB==2， ∴AC=BC=2， ∴S△ABC=22=2， ∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N， ∴OM=ON， ∵====， ∴S△AOC=2=3﹣， 故選：D． 　 二．填空題（共4小題） 10．（xx?金華）如圖，△ABC的兩條高AD，BE相交于點F，請?zhí)砑右粋€條件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是　AC=BC?。? 【分析】添加AC=BC，根據(jù)三角形高的定義可得∠ADC=∠BEC=90，再證明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC． 【解答】解：添加AC=BC， ∵△ABC的兩條高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90， ∴∠DAC+∠C=90，∠EBC+∠C=90， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC和△BEC中， ∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案為：AC=BC． 　 11．（xx?衢州）如圖，在△ABC和△DEF中，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，BF=CE，AB∥DE，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是　AB=ED?。ㄖ恍鑼懸粋€，不添加輔助線）． 【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC=EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加AB=ED， ∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC， 即BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠E， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案為：AB=ED． 　 12．（xx?紹興）等腰三角形ABC中，頂角A為40，點P在以A為圓心，BC長為半徑的圓上，且BP=BA，則∠PBC的度數(shù)為　30或110　． 【分析】分兩種情形，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題； 【解答】解：如圖，當(dāng)點P在直線AB的右側(cè)時．連接AP． ∵AB=AC，∠BAC=40， ∴∠ABC=∠C=70， ∵AB=AB，AC=PB，BC=PA， ∴△ABC≌△BAP， ∴∠ABP=∠BAC=40， ∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30， 當(dāng)點P′在AB的左側(cè)時，同法可得∠ABP′=40， ∴∠P′BC=40+70=110， 故答案為30或110． 　 13．（xx?隨州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．給出以下判斷： ①AC垂直平分BD； ②四邊形ABCD的面積S=AC?BD； ③順次連接四邊形ABCD的四邊中點得到的四邊形可能是正方形； ④當(dāng)A，B，C，D四點在同一個圓上時，該圓的半徑為； ⑤將△ABD沿直線BD對折，點A落在點E處，連接BE并延長交CD于點F，當(dāng)BF⊥CD時，點F到直線AB的距離為． 其中正確的是　①③④　．（寫出所有正確判斷的序號） 【分析】依據(jù)AB=AD=5，BC=CD，可得AC是線段BD的垂直平分線，故①正確；依據(jù)四邊形ABCD的面積S=，故②錯誤；依據(jù)AC=BD，可得順次連接四邊形ABCD的四邊中點得到的四邊形是正方形，故③正確；當(dāng)A，B，C，D四點在同一個圓上時，設(shè)該圓的半徑為r，則r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正確；連接AF，設(shè)點F到直線AB的距離為h，由折疊可得，四邊形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依據(jù)S△BDE=BDOE=BEDF，可得DF=，進而得出EF=，再根據(jù)S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=，故⑤錯誤． 【解答】解：∵在四邊形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD， ∴AC是線段BD的垂直平分線，故①正確； 四邊形ABCD的面積S=，故②錯誤； 當(dāng)AC=BD時，順次連接四邊形ABCD的四邊中點得到的四邊形是正方形，故③正確； 當(dāng)A，B，C，D四點在同一個圓上時，設(shè)該圓的半徑為r，則 r2=（r﹣3）2+42， 得r=，故④正確； 將△ABD沿直線BD對折，點A落在點E處，連接BE并延長交CD于點F，如圖所示， 連接AF，設(shè)點F到直線AB的距離為h， 由折疊可得，四邊形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4， ∴AO=EO=3， ∵S△BDE=BDOE=BEDF， ∴DF==， ∵BF⊥CD，BF∥AD， ∴AD⊥CD，EF==， ∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF， ∴5h=（5+5+）﹣5， 解得h=，故⑤錯誤； 故答案為：①③④． 　 三．解答題（共23小題） 14．（xx?柳州）如圖，AE和BD相交于點C，∠A=∠E，AC=EC．求證：△ABC≌△EDC． 【分析】依據(jù)兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等進行判斷． 【解答】證明：∵在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）． 　 15．（xx?云南）如圖，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求證：△ABC≌△ADC． 【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判斷即可． 【解答】證明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC． 　 16．（xx?瀘州）如圖，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求證：∠F=∠C． 【分析】欲證明∠F=∠C，只要證明△ABC≌△DEF（SSS）即可； 【解答】證明：∵DA=BE， ∴DE=AB， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠C=∠F． 　 17．（xx?衡陽）如圖，已知線段AC，BD相交于點E，AE=DE，BE=CE． （1）求證：△ABE≌△DCE； （2）當(dāng)AB=5時，求CD的長． 【分析】（1）根據(jù)AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是對頂角，利用SAS證明△AEB≌△DEC即可． （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解決問題． 【解答】（1）證明：在△AEB和△DEC中， ， ∴△AEB≌△DEC（SAS）． （2）解：∵△AEB≌△DEC， ∴AB=CD， ∵AB=5， ∴CD=5． 　 18．（xx?通遼）如圖，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，且AF=CD，連接CF． （1）求證：△AEF≌△DEB； （2）若AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論． 【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，繼而結(jié)合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等； （2）根據(jù)AB=AC，且AD是BC邊上的中線可得∠ADC=90，由四邊形ADCF是矩形可得答案． 【解答】證明：（1）∵E是AD的中點， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； （2）連接DF， ∵AF∥CD，AF=CD， ∴四邊形ADCF是平行四邊形， ∵△AEF≌△DEB， ∴BE=FE， ∵AE=DE， ∴四邊形ABDF是平行四邊形， ∴DF=AB， ∵AB=AC， ∴DF=AC， ∴四邊形ADCF是矩形． 　 19．（xx?泰州）如圖，∠A=∠D=90，AC=DB，AC、DB相交于點O．求證：OB=OC． 【分析】因為∠A=∠D=90，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，證明△ABO與△CDO全等，所以有OB=OC． 【解答】證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 　 20．（xx?南充）如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC． 求證：∠C=∠E． 【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根據(jù)“SAS”可判斷△BAC≌△DAE，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到∠C=∠E． 【解答】解：∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∵， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠C=∠E． 　 21．（xx?恩施州）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O． 求證：AD與BE互相平分． 【分析】連接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依據(jù)AB∥DE，即可得出四邊形ABDE是平行四邊形，進而得到AD與BE互相平分． 【解答】證明：如圖，連接BD，AE， ∵FB=CE， ∴BC=EF， 又∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE， 又∵AB∥DE， ∴四邊形ABDE是平行四邊形， ∴AD與BE互相平分． 　 22．（xx?哈爾濱）已知：在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足為點F，BF與AC交于點C，∠BGE=∠ADE． （1）如圖1，求證：AD=CD； （2）如圖2，BH是△ABE的中線，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于△ADE面積的2倍． 【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根據(jù)∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得； （2）設(shè)DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，據(jù)此知S△ADC=2a2=2S△ADE，證△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分別求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，從而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF， ∵AC⊥BD、BF⊥CD， ∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD； （2）設(shè)DE=a， 則AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE=AE?DE=?2a?a=a2， ∵BH是△ABE的中線， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a， 則S△ADC=AC?DE=?（2a+2a）?a=2a2=2S△ADE； 在△ADE和△BGE中， ∵， ∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a， ∴S△ABE=AE?BE=?（2a）?2a=2a2， S△ACE=CE?BE=?（2a）?2a=2a2， S△BHG=HG?BE=?（a+a）?2a=2a2， 綜上，面積等于△ADE面積的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG． 　 23．（xx?武漢）如圖，點E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF與DE交于點G，求證：GE=GF． 【分析】求出BF=CE，根據(jù)SAS推出△ABF≌△DCE，得對應(yīng)角相等，由等腰三角形的判定可得結(jié)論． 【解答】證明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 　 24．（xx?咸寧）已知：∠AOB． 求作：∠AOB，使∠AO′B=∠AOB （1）如圖1，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C、D； （2）如圖2，畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑間弧，交O′A′于點C′； （3）以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所而的弧交于點D′； （4）過點D′畫射線O′B，則∠AOB=∠AOB． 根據(jù)以上作圖步驟，請你證明∠AOB′=∠AOB． 【分析】由基本作圖得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，則根據(jù)“SSS“可證明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得到∠AOB′=∠AOB． 【解答】證明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′， 在△OCD和△O′C′D′中 ， ∴△OCD≌△O′C′D′， ∴∠COD=∠C′O′D′， 即∠AOB′=∠AOB． 　 25．（xx?安順）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF． （1）求證：AF=DC； （2）若AC⊥AB，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論． 【分析】（1）連接DF，由AAS證明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案； （2）根據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形ADCF，求出AD=CD，根據(jù)菱形的判定得出即可； 【解答】（1）證明：連接DF， ∵E為AD的中點， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴EF=BE， ∵AE=DE， ∴四邊形AFDB是平行四邊形， ∴BD=AF， ∵AD為中線， ∴DC=BD， ∴AF=DC； （2）四邊形ADCF的形狀是菱形，理由如下： ∵AF=DC，AF∥BC， ∴四邊形ADCF是平行四邊形， ∵AC⊥AB， ∴∠CAB=90， ∵AD為中線， ∴AD=BC=DC， ∴平行四邊形ADCF是菱形； 　 26．（xx?廣州）如圖，AB與CD相交于點E，AE=CE，DE=BE．求證：∠A=∠C． 【分析】根據(jù)AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是對頂角，利用SAS證明△ADE≌△CBE即可． 【解答】證明：在△AED和△CEB中， ， ∴△AED≌△CEB（SAS）， ∴∠A=∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）． 　 27．（xx?宜賓）如圖，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求證：CB=CD． 【分析】由全等三角形的判定定理AAS證得△ABC≌△ADC，則其對應(yīng)邊相等． 【解答】證明：如圖，∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD． 在△ABC與△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴CB=CD． 　 28．（xx?銅仁市）已知：如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：AE∥BF． 【分析】可證明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF； 【解答】證明：∵AD=BC，∴AC=BD， 在△ACE和△BDF中，， ∴△ACE≌△BDF（SSS） ∴∠A=∠B， ∴AE∥BF； 　 29．（xx?溫州）如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點，AD∥EC，∠AED=∠B． （1）求證：△AED≌△EBC． （2）當(dāng)AB=6時，求CD的長． 【分析】（1）利用ASA即可證明； （2）首先證明四邊形AECD是平行四邊形，推出CD=AE=AB即可解決問題； 【解答】（1）證明：∵AD∥EC， ∴∠A=∠BEC， ∵E是AB中點， ∴AE=EB， ∵∠AED=∠B， ∴△AED≌△EBC． （2）解：∵△AED≌△EBC， ∴AD=EC， ∵AD∥EC， ∴四邊形AECD是平行四邊形， ∴CD=AE， ∵AB=6， ∴CD=AB=3． 　 30．（xx?菏澤）如圖，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．請寫出DF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【分析】結(jié)論：DF=AE．只要證明△CDF≌△BAE即可； 【解答】解：結(jié)論：DF=AE． 理由：∵AB∥CD， ∴∠C=∠B， ∵CE=BF， ∴CF=BE，∵CD=AB， ∴△CDF≌△BAE， ∴DF=AE． 　 31．（xx?蘇州）如圖，點A，F(xiàn)，C，D在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求證：BC∥EF． 【分析】由全等三角形的性質(zhì)SAS判定△ABC≌△DEF，則對應(yīng)角∠ACB=∠DFE，故證得結(jié)論． 【解答】證明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=DC， ∴AC=DF． ∴在△ABC與△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF． 　 32．（xx?嘉興）已知：在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且DE=DF．求證：△ABC是等邊三角形． 【分析】只要證明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC； 【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)， ∴∠AED=∠CFD=90， ∵D為AC的中點， ∴AD=DC， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF， ∴∠A=∠C， ∴BA=BC，∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， ∴△ABC是等邊三角形． 　 33．（xx?濱州）已知，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，點D為BC的中點． （1）如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，且DE⊥DF，求證：BE=AF； （2）若點E、F分別為AB、CA延長線上的點，且DE⊥DF，那么BE=AF嗎？請利用圖②說明理由． 【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證出BE=AF； （2）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及等角的補角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE=AF． 【解答】（1）證明：連接AD，如圖①所示． ∵∠A=90，AB=AC， ∴△ABC為等腰直角三角形，∠EBD=45． ∵點D為BC的中點， ∴AD=BC=BD，∠FAD=45． ∵∠BDE+∠EDA=90，∠EDA+∠ADF=90， ∴∠BDE=∠ADF． 在△BDE和△ADF中，， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF； （2）BE=AF，證明如下： 連接AD，如圖②所示． ∵∠ABD=∠BAD=45， ∴∠EBD=∠FAD=135． ∵∠EDB+∠BDF=90，∠BDF+∠FDA=90， ∴∠EDB=∠FDA． 在△EDB和△FDA中，， ∴△EDB≌△FDA（ASA）， ∴BE=AF． 　 34．（xx?懷化）已知：如圖，點A．F，E．C在同一直線上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D． （1）求證：△ABE≌△CDF； （2）若點E，G分別為線段FC，F(xiàn)D的中點，連接EG，且EG=5，求AB的長． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠C，進而利用全等三角形的判定證明即可； （2）利用全等三角形的性質(zhì)和中點的性質(zhì)解答即可． 【解答】證明：（1）∵AB∥DC， ∴∠A=∠C， 在△ABE與△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵點E，G分別為線段FC，F(xiàn)D的中點， ∴ED=CD， ∵EG=5， ∴CD=10， ∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD=10． 　 35．（xx?婁底）如圖，已知四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD，過O點作EF⊥BD，分別交AD、BC于點E、F． （1）求證：△AOE≌△COF； （2）判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由． 【分析】（1）首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再利用ASA證明△AOE≌△COF； （2）結(jié)論：四邊形BEDF是菱形．根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明； 【解答】（1）證明：∵OA=OC，OB=OD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF． （2）解：結(jié)論：四邊形BEDF是菱形， ∵△AOE≌△COF， ∴AE=CF， ∵AD=BC， ∴DE=BF，∵DE∥BF， ∴四邊形BEDF是平行四邊形， ∵OB=OD，EF⊥BD， ∴EB=ED， ∴四邊形BEDF是菱形． 　 36．（xx?桂林）如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF． （1）求證：△ABC≌DEF； （2）若∠A=55，∠B=88，求∠F的度數(shù)． 【分析】（1）求出AC=DF，根據(jù)SSS推出△ABC≌△DEF． （2）由（1）中全等三角形的性質(zhì)得到：∠A=∠EDF，進而得出結(jié)論即可． 【解答】證明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF ∴AC=DF 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）由（1）可知，∠F=∠ACB ∵∠A=55，∠B=88 ∴∠ACB=180﹣（∠A+∠B）=180﹣（55+88）=37 ∴∠F=∠ACB=37