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考點20 等腰三角形、等邊三角形和直角三角形 一．選擇題（共5小題） 1．（xx?湖州）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20，則∠ACE的度數(shù)是（　?。? A．20 B．35 C．40 D．70 【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40，∠B=∠ACB=（180﹣∠CAB）=70．再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35． 【解答】解：∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20， ∴∠CAB=2∠CAD=40，∠B=∠ACB=（180﹣∠CAB）=70． ∵CE是△ABC的角平分線， ∴∠ACE=∠ACB=35． 故選：B． 　 2．（xx?宿遷）若實數(shù)m、n滿足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】由已知等式，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求m、n的值，再根據(jù)m、n分別作為等腰三角形的腰，分類求解． 【解答】解：∵|m﹣2|+=0， ∴m﹣2=0，n﹣4=0， 解得m=2，n=4， 當(dāng)m=2作腰時，三邊為2，2，4，不符合三邊關(guān)系定理； 當(dāng)n=4作腰時，三邊為2，4，4，符合三邊關(guān)系定理，周長為：2+4+4=10． 故選：B． 　 3．（xx?揚州）在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是（　　） A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC 【分析】根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE，再結(jié)合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角對等邊即可得出BC=BE，此題得解． 【解答】解：∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90，∠ACD+∠A=90， ∴∠BCD=∠A． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE． 又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE． 故選：C． 　 4．（xx?淄博）如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC，若AN=1，則BC的長為（　　） A．4 B．6 C． D．8 【分析】根據(jù)題意，可以求得∠B的度數(shù)，然后根據(jù)解直角三角形的知識可以求得NC的長，從而可以求得BC的長． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC， ∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=30， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6， 故選：B． 　 5．（xx?黃岡）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD=2，CE=5，則CD=（　?。? A．2 B．3 C．4 D．2 【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=5，進而得出DE=3，利用勾股定理解答即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，CE為AB邊上的中線，CE=5， ∴AE=CE=5， ∵AD=2， ∴DE=3， ∵CD為AB邊上的高， ∴在Rt△CDE中，CD=， 故選：C． 　 二．填空題（共12小題） 6．（xx?成都）等腰三角形的一個底角為50，則它的頂角的度數(shù)為　80?。? 【分析】本題給出了一個底角為50，利用等腰三角形的性質(zhì)得另一底角的大小，然后利用三角形內(nèi)角和可求頂角的大?。? 【解答】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180﹣502=80， ∴頂角為80． 故填80． 　 7．（xx?長春）如圖，在△ABC中，AB=AC．以點C為圓心，以CB長為半徑作圓弧，交AC的延長線于點D，連結(jié)BD．若∠A=32，則∠CDB的大小為　37　度． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=32， ∴∠ABC=∠ACB=74， 又∵BC=DC， ∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37． 故答案為：37． 　 8．（xx?哈爾濱）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADC的度數(shù)為　130或90?。? 【分析】根據(jù)題意可以求得∠B和∠C的度數(shù)，然后根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想即可求得∠ADC的度數(shù)． 【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100， ∴∠B=∠C=40， ∵點D在BC邊上，△ABD為直角三角形， ∴當(dāng)∠BAD=90時，則∠ADB=50， ∴∠ADC=130， 當(dāng)∠ADB=90時，則 ∠ADC=90， 故答案為：130或90． 　 9．（xx?吉林）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=，則該等腰三角形的頂角為　36　度． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知得出5∠A=180，求出即可． 【解答】解： ∵△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=， ∴∠A：∠B=1：2， 即5∠A=180， ∴∠A=36， 故答案為：36． 　 10．（xx?淮安）若一個等腰三角形的頂角等于50，則它的底角等于　65?。? 【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理直接求得答案． 【解答】解：∵等腰三角形的頂角等于50， 又∵等腰三角形的底角相等， ∴底角等于（180﹣50）=65． 故答案為：65． 　 11．（xx?婁底）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D點，DE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F，DE=3cm，則BF=　6　cm． 【分析】先利用HL證明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2AB?DE=AB?DE=3AB，又S△ABC=AC?BF，將AC=AB代入即可求出BF． 【解答】解：在Rt△ADB與Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC， ∴S△ABC=2S△ABD=2AB?DE=AB?DE=3AB， ∵S△ABC=AC?BF， ∴AC?BF=3AB， ∵AC=AB， ∴BF=3， ∴BF=6． 故答案為6． 　 12．（xx?桂林）如圖，在△ABC中，∠A=36，AB=AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是　3?。? 【分析】首先根據(jù)已知條件分別計算圖中每一個三角形每個角的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的判定：等角對等邊解答，做題時要注意，從最明顯的找起，由易到難，不重不漏． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=36∴△ABC是等腰三角形， ∠ABC=∠ACB==72， BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36， ∴在△ABD中，∠A=∠ABD=36，AD=BD，△ABD是等腰三角形， 在△ABC中，∠C=∠ABC=72，AB=AC，△ABC是等腰三角形， 在△BDC中，∠C=∠BDC=72，BD=BC，△BDC是等腰三角形， 所以共有3個等腰三角形． 故答案為：3 　 13．（xx?徐州）邊長為a的正三角形的面積等于　?。? 【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)求解． 【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D， ∵AD⊥BC ∴BD=CD=a， ∴AD==a， 面積則是： a?a=a2． 　 14．（xx?黑龍江）如圖，已知等邊△ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊△AB1C1；再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊△AB2C2；再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊△AB3C3；…，記△B1CB2的面積為S1，△B2C1B3的面積為S2，△B3C2B4的面積為S3，如此下去，則Sn=?。ǎ﹏?。? 【分析】由AB1為邊長為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點，求出BB1的長，利用勾股定理求出AB1的長，進而求出第一個等邊三角形AB1C1的面積，同理求出第二個等邊三角形AB2C2的面積，依此類推，得到第n個等邊三角形ABnCn的面積． 【解答】解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根據(jù)勾股定理得：AB1=， ∴第一個等邊三角形AB1C1的面積為（）2=（）1； ∵等邊三角形AB1C1的邊長為，AB2⊥B1C1， ∴B1B2=，AB1=， 根據(jù)勾股定理得：AB2=， ∴第二個等邊三角形AB2C2的面積為（）2=（）2； 依此類推，第n個等邊三角形ABnCn的面積為（）n． 故答案為：（）n． 　 15．（xx?湘潭）如圖，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC的中點，則∠BAD=　30?。? 【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個內(nèi)角相等的性質(zhì)填空． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60，AB=AC． 又點D是邊BC的中點， ∴∠BAD=∠BAC=30． 故答案是：30． 　 16．（xx?天津）如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點，EF⊥AC于點F，G為EF的中點，連接DG，則DG的長為　?。? 【分析】直接利用三角形中位線定理進而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)得出EG以及DG的長． 【解答】解：連接DE， ∵在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2， ∵EF⊥AC于點F，∠C=60， ∴∠FEC=30，∠DEF=∠EFC=90， ∴FC=EC=1， 故EF==， ∵G為EF的中點， ∴EG=， ∴DG==． 故答案為：． 　 17．（xx?福建）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=6，D是AB的中點，則CD=　3?。? 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答． 【解答】解：∵∠ACB=90，D為AB的中點， ∴CD=AB=6=3． 故答案為：3． 　 三．解答題（共2小題） 18．（xx?紹興）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題： 例1 等腰三角形ABC中，∠A=110，求∠B的度數(shù)．（答案：35） 例2 等腰三角形ABC中，∠A=40，求∠B的度數(shù)，（答案：40或70或100） 張老師啟發(fā)同學(xué)們進行變式，小敏編了如下一題： 變式 等腰三角形ABC中，∠A=80，求∠B的度數(shù)． （1）請你解答以上的變式題． （2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A=x，當(dāng)∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍． 【分析】（1）由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確，因此要分類討論； （2）分兩種情況：①90≤x＜180；②0＜x＜90，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可． 【解答】解：（1）若∠A為頂角，則∠B=（180﹣∠A）2=50； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=180﹣280=20； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=80； 故∠B=50或20或80； （2）分兩種情況： ①當(dāng)90≤x＜180時，∠A只能為頂角， ∴∠B的度數(shù)只有一個； ②當(dāng)0＜x＜90時， 若∠A為頂角，則∠B=（）； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=（180﹣2x）； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=x． 當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x， 即x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 綜上所述，可知當(dāng)0＜x＜90且x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 　 19．（xx?徐州）（A類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求證：∠A=∠C． （B類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求證：AD=CD． 【分析】（A類）連接AC，由AB=AC、AD=CD知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA，兩等式相加即可得； （B類）由以上過程反之即可得． 【解答】證明：（A類）連接AC， ∵AB=AC，AD=CD， ∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C； （B類）∵AB=AC， ∴∠BAC=∠BCA， 又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=CD．