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第30課時　直線與圓的位置關系 (60分) 一、選擇題(每題5分，共25分) 1．⊙O的半徑為7 cm，圓心O到直線l的距離為8 cm，則直線l與⊙O的位置關系是 (D) A．相交 B．內含 C．相切 D．相離 2．[xx重慶]如圖30－1，AC是⊙O的切線，切點為C，BC是⊙O的直徑，AB交⊙O與點D，連結OD，若∠BAC＝55，則∠COD的大小為 (A) A．70 B．60 C．55 D．35 【解析】　∵AC是⊙O的切線，∴∠ACB＝90. ∵∠BAC＝55，∴∠B＝35，∴∠COD＝70.故選A. 圖30－1 　　　　圖30－2 3．[xx嘉興]如圖30－2，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以點C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為 (B) A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 4．[xx梅州]如圖30－3，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切線，A為切點，BC經過圓心．若∠B＝20，則∠C的大小等于 (D) A．20 B．25 C．40 D．50 圖30－3 第4題答圖 【解析】　如答圖，連結OA， ∵AC是⊙O的切線， ∴∠OAC＝90， ∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝20， ∴∠AOC＝40，∴∠C＝50. 5．[xx無錫]如圖30－4，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為D，CD與AB的延長線交于點C，∠A＝30，給出下面3個結論：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正確結論的個數(shù)是 (A) A．3 B．2 C．1 D．0 圖30－4 第5題答圖 【解析】　連結OD，CD是⊙O的切線，可得CD⊥OD，由∠A＝30，可以得出∠ABD＝60，△ODB是等邊三角形，∠C＝∠BDC＝30，再結合在直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半，繼而得到結論①②③成立． 二、填空題(每題5分，共25分) 圖30－5 6．[xx黔西南]如圖30－5，點P在⊙O外，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠P＝50，則∠AOB等于__130__． 【解析】　∵PA，PB是⊙O的切線， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90， ∵∠P＝50，∴∠AOB＝130. 7．如圖30－6，已知△ABC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，MN與⊙O相切，切點為A，若∠MAB＝30.則∠B＝__60__度． 圖30－6 　　　第7題答圖 【解析】　連結OA， ∵MN與⊙O相切，∠MAB＝30，∴∠OAB＝60， ∵OA＝OB，∴∠B＝60. 8．[xx寧波]如圖30－7，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，過A，D兩點的⊙O與BC邊相切于點E，則⊙O的半徑為__6.25__． 圖30－7 　　　第8題答圖 【解析】　連結OE，并反向延長交AD于點F，連結OA， ∵BC是切線， ∴OE⊥BC， ∴∠OEC＝90， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90， ∴四邊形CDFE是矩形， ∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD， ∴AF＝AD＝12＝6， 設⊙O的半徑為r，則OF＝EF－OE＝8－r， 在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2， 則(8－r)2＋36＝r2， 解得r＝6.25， ∴⊙O的半徑為6.25. 9．[xx臺州]如圖30－8是一個古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連結外圓上的兩點A，B，并使AB與車輪內圓相切于點D，作CD⊥AB交外圓與點C，測得CD＝10 cm，AB＝60 cm，則這個外圓半徑為__50__cm. 圖30－8 　　　第9題答圖 【解析】　如答圖，設點O為外圓的圓心，連結OA和OC， ∵CD＝10 cm，AB＝60 cm， ∴設外圓的半徑為r，則OD＝(r－10)cm，AD＝30 cm 根據(jù)題意，得r2＝(r－10)2＋302， 解得r＝50 cm. 10．[xx宜賓]如圖30－9，AB為⊙O的直徑，延長AB至點D，使BD＝OB，DC切⊙O于點C，點B是的中點，弦CF交AB于點E，若⊙O的半徑為2，則CF＝__2__． 圖30－9 　　　　第10題答圖 【解析】　連結OC，BC， ∵DC切⊙O于點C， ∴∠OCD＝90， ∵BD＝OB，⊙O的半徑為2， ∴BC＝BD＝OB＝OC＝2，即△BOC是等邊三角形， ∴∠BOC＝60， ∵AB為⊙O的直徑，點B是的中點， ∴CE＝EF， AB⊥CF，即△OEC為直角三角形， ∵在Rt△OEC中，OC＝2，∠BOC＝60，∠OEC＝90， ∴CF＝2CE＝2OCsin∠BOC＝2. 三、解答題(共20分) 11．(10分)如圖30－10，直尺、三角尺都和⊙O相切，其中B，C是切點，且AB＝8 cm.求⊙O的直徑． 圖30－10 　　　第11題答圖 解：如答圖，連結OC，OA，OB. ∵AC，AB都是⊙O的切線，切點分別是C，B， ∴∠OBA＝∠OCA＝90， ∠OAC＝∠OAB＝∠BAC. ∵∠CAD＝60， ∴∠BAC＝120， ∴∠OAB＝120＝60， ∴∠BOA＝30， ∴OA＝2AB＝16 cm. 由勾股定理得OB＝＝＝8 cm，即⊙O的半徑是8 cm， ∴⊙O的直徑是16 cm. 12．(10分)[xx湖州]如圖30－11，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，E為AC的中點，連結DE. (1)若AD＝DB，OC＝5，求切線AC的長； (2)求證：ED是⊙O的切線． 圖30－11 　　　　第12題答圖 解：(1)如答圖，連結CD， ∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90，即CD⊥AB， ∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10； (2)證明：連結OD. ∵∠ADC＝90，E為AC的中點， ∴DE＝EC＝AC，∴∠1＝∠2， ∵OD＝OC，∴∠3＝∠4， ∵AC切⊙O于點C，∴AC⊥OC， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90，即DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切線． (20分) 13．(10分)如圖30－12，已知P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120，連結BC，PB. (1)求BC的長； (2)求證：PB是⊙O的切線． 圖30－12 　　　第13題答圖 解：(1)連結OA，OB， ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120， ∴＝，∠AOB＝120， ∴∠COB＝∠COA＝60. 又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形， ∴BC＝OC＝2； (2)證明：∵BC＝OC＝CP， ∴∠CBP＝∠CPB. ∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60. 又∵∠OCB＝∠CBP＋∠CPB＝2∠CBP， ∴∠CBP＝30， ∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90， ∴OB⊥BP. 又∵點B在⊙O上， ∴PB是⊙O的切線． 14．(10分)[xx濰坊]如圖30－13，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E.過點D作DF⊥AB，垂足為F，連結DE. (1)求證：直線DF與⊙O相切； (2)若AE＝7，BC＝6，求AC的長． 圖30－13 　　　第14題答圖 解：(1)證明：如答圖，連結OD. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C， ∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB. ∵DF⊥AB，∴OD⊥DF. ∵點D在⊙O上，∴直線DF與⊙O相切； (2)∵四邊形ACDE是⊙O的內接四邊形， ∴∠AED＋∠ACD＝180. ∵∠AED＋∠BED＝180， ∴∠BED＝∠ACD. 又∵∠B＝∠B， ∴△BED∽△BCA. ∴＝. ∵OD∥AB，AO＝CO，∴BD＝CD＝BC＝3， 又∵AE＝7，∴＝，解得BE＝2. ∴AC＝AB＝AE＋BE＝7＋2＝9. (10分) 15．(10分)[xx衡陽]如圖30－14，AB是⊙O的直徑，點C，D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E. (1)求證：CE為⊙O的切線； (2)判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由． 圖30－14 　　　第15題答圖 解：(1)證明：如答圖，連結OD， ∵點C，D為半圓O的三等分點， ∴∠AOD＝∠COD＝∠COB＝60. ∵OA＝OD， ∴△AOD為等邊三角形， ∴∠DAO＝60， ∴AE∥OC. ∵CE⊥AD， ∴CE⊥OC， ∴CE為⊙O的切線； (2)四邊形AOCD為菱形． 理由∵OD＝OC，∠COD＝60， ∴△OCD為等邊三角形， ∴CD＝CO. 同理AD＝AO. ∵AO＝CO， ∴AD＝AO＝CO＝DC， ∴四邊形AOCD為菱形．