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[6.2　黃金分割] 一、選擇題 1．如圖K－13－1，C是線段AB的黃金分割點(AC＞BC)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) 圖K－13－1 A．AB2＝AC2＋BC2 B．BC2＝ACBA C.＝ D.＝ 2．已知P是線段AB的一個黃金分割點(AP＞PB)，則PB∶AB的值為(　　) A. B. C. D. 3．已知線段MN＝6 cm，P是線段MN的一個黃金分割點，則其中較長線段MP的長是(　　) A．(9－3 )cm B．(3 －3)cm C．(3 －1)cm D．(3－)cm 4．寬與長的比是(約為0.618)的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形蘊藏著豐富的美學價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用下面的方法畫出黃金矩形：如圖K－13－2①，作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點E，F(xiàn)，連接EF.以點F為圓心，以FD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點G，作GH⊥AD，交AD的延長線于點H.則下列圖②中的矩形是黃金矩形的是(　　) 　　　 圖K－13－2 A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 二、填空題 5．已知C是線段AB的一個黃金分割點，且AB＝8 cm，AC＞BC，那么AC＝________ cm. 6．在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比．已知這本書的長為20 cm，則它的寬約為________cm.(結(jié)果保留2位小數(shù)) 7．從美學角度來說，人的上身長與下身長之比越接近黃金比時越給人一種美感．某女教師上身長約61.8 cm，下身長約93 cm，她要穿________ cm的高跟鞋才能達到黃金比的美感效果．(精確到1 cm) 三、解答題 8．如圖K－13－3所示，以長為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延長線上取點F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上． (1)求AM，DM的長； (2)M是AD的黃金分割點嗎？為什么？ 圖K－13－3 探究題我們把有一個內(nèi)角等于36的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長與底邊長的比(或者底邊長與腰長的比)等于黃金比.如圖K－13－4，在△ABC中，點D在邊AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠B＝36. (1)寫出圖中所有的黃金三角形，并選一個說明理由； (2)在線段BC上是否存在點P(點B，C除外)，使△PDC是黃金三角形？若存在，簡要說明畫出點P的方法(不要求證明)；若不存在，說明理由． 圖K－13－4  詳解詳析 [課堂達標] 1．[解析] C　根據(jù)黃金分割的定義，可知＝.故選C. 2．[解析] A　根據(jù)題意，得AP＝AB，∴PB＝AB－AP＝AB，∴PB∶AB＝.故選A. 3．[解析] B　MP＝6＝(3 －3)cm，故選B. 4．[解析] D　由作圖方法可知DF＝CF，所以CG＝(－1)CF，且GH＝CD＝2CF，從而得出黃金矩形．由題意易得CG＝(－1)CF，GH＝2CF，∴＝＝，∴矩形DCGH是黃金矩形．故選D. 5．[答案] (4 －4) [解析] 由題意得AC＝AB＝8＝(4 －4)cm. 6．[答案] 12.36 [解析] ∵書的寬與長之比為黃金比，長為20 cm， ∴它的寬＝20＝10(－1)≈12.36(cm)． 故答案為12.36. 7．[答案] 7 [解析] 設(shè)她要穿x cm的高跟鞋．由題意得＝，解得x≈7. 8．解：(1)在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2， 由勾股定理，得PD＝＝＝， ∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝－1， ∴DM＝AD－AM＝2－(－1)＝3－. 故AM的長為－1，DM的長為3－. (2)M是AD的黃金分割點．理由如下： ∵＝， ∴M是AD的黃金分割點． [素養(yǎng)提升] 解：(1)所有的黃金三角形有三個：△DBC，△ADC，△BAC. 選△DBC說明：∵∠B＝36，DB＝DC， ∴△DBC是黃金三角形． 或選△ADC說明：∵DB＝DC＝AC， ∴∠BCD＝∠B＝36，∠A＝∠CDA＝∠BCD＋∠B＝72， ∴∠ACD＝180－∠CDA－∠A＝36. ∴△ADC是黃金三角形． 或選△BAC說明： ∵DB＝DC＝AC， ∴∠BCD＝∠B＝36，∠A＝∠CDA＝∠BCD＋∠B＝72， ∴∠ACB＝180－∠B－∠A＝72， ∴∠A＝∠ACB，∴BA＝BC. 又∵∠B＝36，∴△BAC是黃金三角形． (2)存在．有兩個符合條件的點P. ①以CD為底邊的黃金三角形：作CD的垂直平分線交BC于點P1； ②以CD為腰的黃金三角形：以點C為圓心，CD長為半徑作弧交BC于點P2. 點P1，P2即為所求．