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幾何證明與計(jì)算 1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝AD，DG＝DC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點(diǎn)． (1)求證：DE＝DF，DE⊥DF； (2)連接EF，若AC＝10，求EF的長(zhǎng)． 2. 如圖，在?ABCD中，DE＝CE，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. (1)求證：△ADE≌△FCE； (2)若AB＝2BC，∠F＝36.求∠B的度數(shù)． 3. 如圖，在菱形ABCD中，G是BD上一點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E. (1)求證：AG＝CG； (2)求證：AG2＝GEGF. 4. 如圖，在△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，AD是△ABC的角平分線，DE∥BA交AC于點(diǎn)E，DF∥CA交AB于點(diǎn)F，已知CD＝3. (1)求AD的長(zhǎng)； (2)求四邊形AEDF的周長(zhǎng)．(注意：本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào)) 5. 如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，OE，OF. (1)求證：△BCE≌△DCF； (2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AEOF是正方形？請(qǐng)說明理由． 6. 如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE，過頂點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G. (1)求證：BG＝DE； (2)若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求的值． 7. 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連接AG. (1)寫出線段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠AGF＝105，求線段BG的長(zhǎng)． 8. 如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F. (1)求證：△ACD∽△BFD； (2)當(dāng)tan∠ABD＝1，AC＝3時(shí)，求BF的長(zhǎng)． 9. 如圖，在菱形ABCD中，G是BD上一點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E. (1)求證：AG＝CG； (2)求證：AG2＝GEGF. 10. 如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90，AB＝AC，CB＝CD.延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E，使AE＝AC；延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使BF＝BC.連接AD，AF，DF，EF，延長(zhǎng)DB交EF于點(diǎn)N. (1)求證：AD＝AF； (2)求證：BD＝EF； (3)試判斷四邊形ABNE的形狀，并說明理由． 11. 在△ABC中，∠ABM＝45，AM⊥BM，垂足為M，點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC. (1)如圖①，若AB＝3，BC＝5，求AC的長(zhǎng)； (2)如圖②，點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn)，MD＝MC，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF. 12. 如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N. (1)求證：△ABM∽△EFA； (2)若AB＝12，BM＝5，求DE的長(zhǎng)． 參考答案： 1. 解：(1)證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90. 在△BDG和△ADC中， ，∴△BDG≌△ADC. ∴BG＝AC，∠BGD＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90， E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點(diǎn)，∴DE＝BG＝EG， DF＝AC＝AF.∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD. ∴∠EDG＋∠FDA＝90，∴DE⊥DF. (2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝5，由勾股定理，得EF＝＝5. 2. 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠D＝∠ECF.在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA)． (2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC，AB＝2BC， ∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36.∴∠B＝180－236＝108. 3. 證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD， ∠ADB＝∠CDB.又GD為公共邊，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG.∵AB∥CD， ∴∠DCG＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE， ∴△AGE∽△FGA.∴＝.∴AG2＝GEGF. 4. 解：(1)∵∠C＝90，∠B＝30，∴∠CAB＝60. ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB＝30. 在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90，∠CAD＝30，∴AD＝2CD＝6. (2)∵DE∥BA交AC于點(diǎn)E，DF∥CA交AB于點(diǎn)F， ∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四邊形AEDF是菱形．∴AE＝DE＝DF＝AF. 在Rt△CED中，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B＝30. ∴DE＝＝2.∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)為8. 5. 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D， AB＝BC＝DC＝AD.∵點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)， ∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC. 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF(SAS)． (2)當(dāng)AB⊥BC時(shí)，四邊形AEOF是正方形， 理由如下：由(1)得AE＝OE＝OF＝AF， ∴四邊形AEOF是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC， ∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90.∴四邊形AEOF是正方形． 6. 解：(1)證明：∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90.∵∠BCG＝90， ∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE. 在△BCG與△DCE中. ∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG＝DE. (2)設(shè)CG＝x，∵G為CD的中點(diǎn)，∴GD＝CG＝x， 由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE＝x. 由勾股定理可知DE＝BG＝x，∵sin∠CDE＝＝， ∴GF＝x.∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH.∴＝＝. ∴BH＝x，GH＝x.∴＝. 7. 解：(1)結(jié)論：AG2＝GE2＋GF2.理由：連接CG. ∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)A，C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱． ∵點(diǎn)G在BD上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90.∴四邊形EGFC是矩形． ∴CF＝GE.在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2. (2)過點(diǎn)B作BN⊥AG于點(diǎn)N，在BN上取一點(diǎn)M，使得AM＝BM. 設(shè)AN＝x.∵∠AGF＝105，∠FBG＝∠FGB＝∠ABG＝45， ∴∠AGB＝60，∠GBN＝30，∠ABM＝∠MAB＝15. ∴∠AMN＝30.∴AM＝BM＝2x，MN＝x. 在Rt△ABN中，∵AB2＝AN2＋BN2，∴1＝x2＋(2x＋x)2， 解得x＝，∴BN＝.∴BG＝＝. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90，∴∠C＋∠DBF＝90，∠C＋∠DAC＝90，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD　 (2)∵tan∠ABD＝1，∠ADB＝90，∴＝1，∵△ACD∽△BFD，∴＝＝1，∴BF＝AC＝3 9. 解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，可證△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG＝CG (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠DCG＝∠F，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG2＝GEGF 10. 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90，∴∠ABC＝∠ACB＝45，∴∠ABF＝135，∵∠BCD＝90，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135，∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD，可證△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD＝AF (2)由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC，∵∠BAC＝90，∴∠EAB＝∠BAC＝90，∴∠EAF＝∠BAD，可證△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD＝EF (3)四邊形ABNE是正方形．理由如下：∵CD＝CB，∠BCD＝90，∴∠CBD＝45，又∵∠ABC＝45，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝90，由(2)知∠EAB＝90，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90，∴四邊形ABNE是矩形，又∵AE＝AB，∴四邊形ABNE是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45，AM⊥BM， ∴AM＝BM＝ABcos45＝3＝3. 則CM＝BC－BM＝5－3＝2，∴AC＝＝＝. (2)證明：延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使得FG＝EF，連接BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC＝BD.又CE＝AC，∴BD＝CE.∵BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，F(xiàn)G＝FE，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE，∠G＝∠E.∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝90，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF. 又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90，AB＝AD＝12，BM＝5，∴AM＝＝13. ∵F是AM的中點(diǎn)，∴AF＝AM＝6.5.∵△ABM∽△EFA， ∴＝，即＝.∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9.