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提分專練(七)　以圓為背景的綜合計算與證明題 |類型1|　圓與切線有關(guān)的問題 1.[xx南充] 如圖T7-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90,以AC為直徑作☉O交AB于點D,E為BC的中點,連接DE并延長交AC的延長線于點F. (1)求證:DE是☉O的切線; (2)若CF=2,DF=4,求☉O直徑的長. 圖T7-1 2.[xx沈陽] 如圖T7-2,BE是☉O的直徑,點A和點D是☉O上的兩點,過點A作☉O的切線交BE延長線于點C. (1)若∠ADE=25,求∠C的度數(shù); (2)若AB=AC,CE=2,求☉O半徑的長. 圖T7-2 |類型2|　圓與平行四邊形結(jié)合的問題 3.如圖T7-3,AB是半圓O的直徑,點C,D為半圓O的三等分點,過點C作CE⊥AD,交AD的延長線于點E. (1)求證:CE為半圓O的切線; (2)判斷四邊形AOCD是否為菱形?并說明理由. 圖T7-3 4.如圖T7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90,點M是AC的中點,以AB為直徑作☉O分別交AC,BM于點D,E. (1)求證:MD=ME; (2)填空:①若AB=6,當(dāng)AD=2DM時,DE=　　　　; ②連接OD,OE,當(dāng)∠A的度數(shù)為　　　　時,四邊形ODME是菱形. 圖T7-4 |類型3|　圓與三角函數(shù)結(jié)合的問題 5.[xx咸寧] 如圖T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O與邊BC,AC分別交于D,E兩點,過點D作DF⊥AC,垂足為點F. (1)求證:DF是☉O的切線; (2)若AE=4,cosA=25,求DF的長. 圖T7-5 6.[xx金華、麗水] 如圖T7-6,在Rt△ABC中,點O在斜邊AB上,以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點D,E,連接AD.已知∠CAD=∠B. (1)求證:AD是☉O的切線; (2)若BC=8,tanB=12,求☉O的半徑. 圖T7-6 |類型4|　圓與相似三角形結(jié)合的問題 7.[xx天門] 如圖T7-7,AB為☉O的直徑,C為☉O上一點,AD與過點C的切線互相垂直,垂足為D,AD交☉O于點E,連接CE,CB,AC. (1)求證:CE=CB; (2)若AC=25,CE=5,求AE的長. 圖T7-7 8.如圖T7-8,AB,BC,CD分別與☉O相切于點E,F,G,且AB∥CD,BO=6 cm,CO=8 cm. (1)求證:BO⊥CO; (2)求BE和CG的長. 圖T7-8  參考答案 1.[解析] (1)連接OD,欲證DE是☉O的切線,需證OD⊥DE,即需證∠ODE=90,而∠ACB=90,連接CD,根據(jù)“等邊對等角”可知∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,進(jìn)而得出∠ODE=90,從而得證. (2)在Rt△ODF中,利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解. 解:(1)證明:連接OD,CD. ∵AC是☉O的直徑, ∴∠ADC=90. ∴∠BDC=90. 又E為BC的中點, ∴DE=12BC=CE. ∴∠EDC=∠ECD. ∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD. ∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90. ∴∠ODE=90.∴DE是☉O的切線. (2)設(shè)☉O的半徑為x. 在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2, 即x2+42=(x+2)2,解得x=3. ∴☉O的直徑為6. 2.解:(1)如圖,連接OA, ∵AC為☉O的切線,OA是☉O半徑, ∴OA⊥AC.∴∠OAC=90. ∵∠ADE=25, ∴∠AOE=2∠ADE=50. ∴∠C=90-∠AOE=90-50=40. (2)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C. ∵∠OAC=90, ∴∠AOC+∠C=90,3∠C=90,∠C=30. ∴OA=12OC. 設(shè)☉O的半徑為r,∵CE=2,∴r=12(r+2). ∴r=2.∴☉O的半徑為2. 3.解:(1)證明:如圖,連接OD, ∵點C,D為半圓O的三等分點, ∴∠AOD=∠COD=∠COB=60. ∵OA=OD,∴△AOD為等邊三角形, ∴∠DAO=60,∴AE∥OC. ∵CE⊥AD,∴CE⊥OC, ∴CE為半圓O的切線. (2)四邊形AOCD為菱形. 理由:∵OD=OC,∠COD=60, ∴△OCD為等邊三角形,∴CD=CO. 同理:AD=AO. ∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC, ∴四邊形AOCD為菱形. 4.解:(1)證明:在Rt△ABC中, ∵點M是AC的中點,∴MA=MB,∴∠A=∠MBA. ∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形, ∴∠ADE+∠ABE=180, 又∠ADE+∠MDE=180,∴∠MDE=∠MBA. 同理可證:∠MED=∠A, ∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME. (2)①2 [解析] 由MD=ME,MA=MB,得DE∥AB, ∴MDMA=DEAB,又AD=2DM, ∴MDMA=13,∴DE6=13,∴DE=2. ②60 [解析] 當(dāng)∠A=60時,△AOD是等邊三角形,這時易證∠DOE=60,△ODE和△MDE都是等邊三角形,且全等,∴四邊形ODME是菱形. 5.解:(1)證明:連接OD. ∵OB=OD,∴∠ODB=∠B. 又∵AB=AC,∴∠C=∠B, ∴∠ODB=∠C, ∴OD∥AC. ∵DF⊥AC,∴∠DFC=90, ∴∠ODF=∠DFC=90, ∴DF是☉O的切線. (2)過點O作OG⊥AC,垂足為G.∴AG=12AE=2. ∵cosA=AGOA,∴OA=AGcosA=5, ∴OG=OA2-AG2=21. ∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90, ∴四邊形OGFD是矩形,∴DF=OG=21. 6.解:(1)證明:連接OD. ∵OB=OD,∴∠3=∠B. ∵∠B=∠1,∴∠3=∠1. 在Rt△ACD中,∠1+∠2=90,∴∠3+∠2=90, ∴∠4=180-(∠2+∠3)=180-90=90. ∴OD⊥AD.∴AD是☉O的切線. (2)設(shè)☉O的半徑為r. 在Rt△ABC中,AC=BCtanB=812=4, ∴AB=AC2+BC2=42+82=45. ∴OA=45-r. 在Rt△ACD中,tan∠1=tanB=12, ∴CD=ACtan∠1=412=2, ∴AD2=AC2+CD2=42+22=20. 在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2, ∴(45-r)2=r2+20.解得r=32 5. 故☉O的半徑是32 5. 7.解:(1)證明:連接OC, ∵CD為☉O的切線,∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠1=∠3. 又∵OA=OC,∴∠2=∠3, ∴∠1=∠2,∴CE=CB. (2)∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90. ∵AC=25,CB=CE=5, ∴AB=AC2+CB2=(25)2+(5)2=5. ∵∠ADC=∠ACB=90,∠1=∠2, ∴△ADC∽△ACB. ∴ADAC=ACAB=DCCB,即AD25=255=DC5, ∴AD=4,DC=2. 在Rt△DCE中,DE=EC2-DC2=(5)2-22=1, ∴AE=AD-ED=4-1=3. 8.解:(1)證明:∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠BCD=180. ∵AB,BC,CD分別與☉O相切于點E,F,G, ∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB, ∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠DCB, ∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠DCB)=12180=90, ∴∠BOC=90,∴BO⊥CO. (2)如圖,連接OF,則OF⊥BC. ∴Rt△BOF∽Rt△BCO,∴BFBO=BOBC. ∵在Rt△BOC中,BO=6 cm,CO=8 cm, ∴BC=62+82=10(cm), ∴BF6=610,∴BF=3.6 cm. ∵AB,BC,CD分別與☉O相切, ∴BE=BF=3.6 cm,CG=CF. ∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm), ∴CG=CF=6.4 cm.