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閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十分優(yōu)良的性質(zhì)，這些性質(zhì)在函數(shù)的理論分析、研究中有著重大的價值，起著十分重要的作用。下面我們就不加證明地給出這些結(jié)論，好在這些結(jié)論在幾何意義是比較明顯的。,一、最大值和最小值定理,定義:,例如,,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.,,,,,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.,定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.,證,二、介值定理,定義:,幾何解釋:,,,,,,證,由零點定理,,,,,,,幾何解釋:,例1,證,由零點定理,,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.,說明:,內(nèi)必有方程的根;,取,的中點,內(nèi)必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,則,則,,,,例2,證,由零點定理,,例3,證,由零點定理知,總之,注,①方程f(x)=0的根,,函數(shù)f(x)的零點,②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法,10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)，再利用零點定理,輔助函數(shù)的作法,（1）將結(jié)論中的ξ(或x0或c)改寫成x,（2）移項使右邊為0，令左邊的式子為F(x)則F(x)即為所求,區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個端點處的函數(shù)值的符號，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。,,1.任給一張面積為A的紙片(如圖),,證明必可將它,思考與練習,一刀剪為面積相等的兩片.,提示:,建立坐標系如圖.,,則面積函數(shù),因,故由介值定理可知:,,,,,思考題,思考題解答,且,思考題,下述命題是否正確？,思考題解答,不正確.,例函數(shù),