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第二十五章 25.2 用列舉法求概率 學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)： 評(píng)卷人 得分 一、選擇題 1. 隨機(jī)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次,落地后至少有一次正面向上的概率是(　　) A. B. C. D. 2. 某校開展“文明小衛(wèi)士”活動(dòng),從學(xué)生會(huì)“督查部”的3名學(xué)生(2男1女)中隨機(jī)選兩名進(jìn)行督導(dǎo),則恰好選中兩名男學(xué)生的概率是　　(　　) A. B. C. D. 3. 李紅與王英用兩顆骰子玩游戲,但是他們不用骰子上的數(shù)字,而是在這兩顆骰子的一些面涂上了紅色,其余的面則涂上了藍(lán)色. 兩人輪流擲骰子,游戲規(guī)則如下: 兩顆骰子朝上的面顏色相同時(shí),李紅是贏家; 兩顆骰子朝上的面顏色相異時(shí),王英是贏家. 已知第一顆骰子各面的顏色為5紅1藍(lán),如果要使兩人獲勝機(jī)會(huì)相等,那么第二顆骰子上藍(lán)色的面數(shù)是　　(　　) A. 6B. 5C. 4D. 3 4. 有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字-2,3,4的不透明卡片,它們除數(shù)字不同外,其余全部相同.現(xiàn)將它們背面朝上洗勻后,從中任取一張(不放回),再?gòu)氖Ｓ嗟目ㄆ腥稳∫粡?則兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為正偶數(shù)的概率是　　(　　) A. B. C. D. 5. 定義一種“十位上的數(shù)字比個(gè)位,百位上的數(shù)字都要小”的三位數(shù)叫做“V數(shù)”.如“947”就是一個(gè)“V”數(shù),若十位上的數(shù)字為2,則從1,3,4,5中任選兩數(shù),能與2組成“V數(shù)”的概率是(　　) A. B. C. D. 6. 一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)定:在過(guò)第n關(guān)時(shí)要將一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù))拋擲n次,若n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于n2,則算過(guò)關(guān);否則不算過(guò)關(guān),則能過(guò)第二關(guān)的概率是　　(　　) A. B. C. D. 7. 讓圖中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)指針?lè)謩e落在某兩個(gè)數(shù)所表示的區(qū)域，則這兩個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的概率等于(　　) A. B. C. D. 8. 如圖,電路圖上有四個(gè)開關(guān)A,B,C,D和一個(gè)小燈泡,閉合開關(guān)D或同時(shí)閉合開關(guān)A,B,C都可使小燈泡發(fā)光,則任意閉合其中兩個(gè)開關(guān),小燈泡發(fā)光的概率是　　(　　) A. B. C. D. 9. 關(guān)于x的方程x2-px-2q=0(p,q是正整數(shù)),若它的正根小于或等于4,則正根是整數(shù)的概率是　　(　　) A. B. C. D. 評(píng)卷人 得分 二、填空題 10. 如圖所示,小明和小龍玩轉(zhuǎn)陀螺游戲,他們分別同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)陀螺,當(dāng)兩個(gè)陀螺都停下來(lái)時(shí),與桌面相接觸的邊上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率是　　　　. 11. 如圖所示,在某十字路口,汽車可直行、可左轉(zhuǎn)、可右轉(zhuǎn).若這三種可能性相同,則兩輛汽車經(jīng)過(guò)該路口都向右轉(zhuǎn)的概率為　　　　. 12. 現(xiàn)有兩個(gè)不透明的盒子,其中一個(gè)裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2的兩張卡片,另一個(gè)裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片,卡片除標(biāo)號(hào)外其他均相同,若從兩個(gè)盒子中各隨機(jī)抽取一張卡片,則兩張卡片標(biāo)號(hào)恰好相同的概率是　　　　. 13. 在四個(gè)完全相同的小球上分別寫上1,2,3,4四個(gè)數(shù)字,然后裝入一個(gè)不透明的口袋內(nèi)攪勻,從口袋內(nèi)任取出一個(gè)球記下數(shù)字后作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x,放回袋中攪勻,然后再?gòu)拇腥〕鲆粋€(gè)球記下數(shù)字后作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y,則點(diǎn)P(x,y)落在直線y=-x+5上的概率是_______. 14. 甲、乙、丙三位同學(xué)打乒乓球,想通過(guò)“手心手背”游戲來(lái)決定其中哪兩人先打.規(guī)則如下：三人同時(shí)各用一只手隨機(jī)出示手心或手背,若只有兩人手勢(shì)相同(都是手心或都是手背),則這兩人先打；若三人手勢(shì)相同,則重新決定.那么通過(guò)一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的概率是_________. 15. 在平面直角坐標(biāo)中，作△OAB，其中三個(gè)頂點(diǎn)分別是O(0，0)，B(1，1)，A(x，y)(－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均為整數(shù))，則所作△OAB為直角三角形的概率是________. 評(píng)卷人 得分 三、解答題 16. 有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字:-1,1,2的卡片,它們除數(shù)字不同外其余全部相同,現(xiàn)將它們背面朝上,洗勻后從中抽出一張記下數(shù)字,放回洗勻后再?gòu)闹须S機(jī)抽出一張記下數(shù)字. (1)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法(只選其中一種),表示兩次抽出卡片上的數(shù)字的所有結(jié)果; (2)將第一次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,第二次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)y,求點(diǎn)(x,y)落在雙曲線y=上的概率. 17. 某校九年級(jí)舉行畢業(yè)典禮,需要從九(1)班的2名男生1名女生,九(2)班的1名男生1名女生共5人中選出2名主持人. (1)用樹狀圖或列表法列出所有可能情形; (2)求2名主持人來(lái)自不同班級(jí)的概率; (3)求2名主持人恰好1男1女的概率. 18. (6分) 某商場(chǎng)為了吸引顧客,設(shè)計(jì)了一種促銷活動(dòng),在一個(gè)不透明的箱子里放有4個(gè)相同的小球,在球上分別標(biāo)有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字樣,規(guī)定：顧客在本商場(chǎng)同一天內(nèi),每消費(fèi)滿200元,就可以在箱子里先后摸出兩個(gè)球(第一次摸出后不放回).商場(chǎng)根據(jù)兩小球所標(biāo)金額的和,返還相應(yīng)價(jià)格的購(gòu)物券,可以重新在本商場(chǎng)消費(fèi).某顧客剛好消費(fèi)200元. (1)該顧客至少可得到________元購(gòu)物券,至多可得到________元購(gòu)物券； (2)請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法,求出該顧客所獲得購(gòu)物券的金額不低于30元的概率. 19. 如圖,有甲、乙兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤,其中轉(zhuǎn)盤甲被平均分成三個(gè)扇形,轉(zhuǎn)盤乙被平均分成五個(gè)扇形.小明與小亮玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)則如下:同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后,轉(zhuǎn)盤甲指針?biāo)笖?shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo),轉(zhuǎn)盤乙指針?biāo)笖?shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)(當(dāng)指針指在邊界線時(shí)視為無(wú)效,重轉(zhuǎn)),從而確定一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(m,n).當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí),小明贏;當(dāng)點(diǎn)A在第二象限時(shí),小亮贏.請(qǐng)你利用畫樹狀圖或列表法分析該游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平?并說(shuō)明理由. 參考答案 1. 【答案】A【解析】共有4種可能的結(jié)果:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),其中至少有一次正面向上的共3種,所以所求概率是. 2. 【答案】A【解析】本題考查列舉法求概率,難度中等偏下.畫樹狀圖得:一共有6種可能結(jié)果,選中兩名男生的結(jié)果有2種,所以恰好選中兩名男生的概率為=.故選A. 3. 【答案】D【解析】當(dāng)?shù)诙w骰子上藍(lán)色的面數(shù)是3時(shí),兩人獲勝的機(jī)會(huì)相等.故選D. 4. 【答案】C【解析】?jī)纱纬槿〉目ㄆ系臄?shù)字之積有三種可能:-6;-8;12.則其中為正偶數(shù)的是12,故其概率為. 5. 【答案】C【解析】如圖,畫樹狀圖,得到所有可能的情況有: 321,421,521,123,423,523,124,324,524,125,325,425, 其中是“正數(shù)”的有:423,523,324,524,325,425, ∴從1,3,4,5中任選兩數(shù),能與2組成“正數(shù)”的概率是:=.故選C. 6. 【答案】A【解析】∵在過(guò)第n關(guān)時(shí)要將一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù))拋擲n次,n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于n2,則算過(guò)關(guān); ∴能過(guò)第二關(guān)的拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和需要大于5,拋擲了兩次點(diǎn)數(shù)和小于等于5的情形共有(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(4,1)共10種,總共是36種,所以點(diǎn)數(shù)之和大于5的有26種, ∴能過(guò)第二關(guān)的概率是:.故選A. 7. 【答案】C【解析】出現(xiàn)的所有情況為(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)共16個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和是2或3的倍數(shù)的是(1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)(2，4)(3，1)(3，3)(4，2)(4，4)共10個(gè)，所以概率為＝. 8. 【答案】A【解析】任意閉合兩個(gè)開關(guān)的所有可能的結(jié)果有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6種,其中小燈泡發(fā)光的有AD,BD,CD,共3種,則任意閉合其中兩個(gè)開關(guān),小燈泡發(fā)光的概率為.故選A. 9. 【答案】A【解析】根據(jù)求根公式,得x2-px-2q=0的根為,,其中正根為. 由題意得≤4,即≤8-p. 平方得p2+8q≤64-16p+p2, 化簡(jiǎn)得q+2p≤8, ∵p,q是正整數(shù), ∴所有組合為q=1,p=1,2,3;q=2,p=1,2,3;q=3,p=1,2;q=4,p=1,2;q=5,p=1;q=6,p=1,共12組, 其中是整數(shù)的有q=1,p=1;q=2,p=3;q=3,p=1;q=4,p=2;q=6,p=1,共5組,∴正根是整數(shù)的概率是.故選A. 10. 【答案】 【解析】 ∵一共有36種等可能結(jié)果,與桌面相接觸的邊上的數(shù)字都是奇數(shù)的有9種,∴與桌面相接觸的邊上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率是,所以答案是. 11. 【答案】 【解析】如圖: ∵共有9種等可能的結(jié)果,兩輛汽車經(jīng)過(guò)該路口都向右轉(zhuǎn)的有1種,∴兩輛汽車經(jīng)過(guò)該路口都向右轉(zhuǎn)的概率為.故答案為. 12. 【答案】 【解析】本題考查樹狀圖法與列表法求概率,難度中等偏下.畫樹狀圖得: ∴一共有6種等可能的結(jié)果,兩張卡片標(biāo)號(hào)恰好相同的有2種情況,∴兩張卡片標(biāo)號(hào)恰好相同的概率是.答案是. 13. 【答案】 【解析】∵所有可能的結(jié)果有16種,其中滿足y=-x+5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種,∴點(diǎn)P(x,y)落在直線y=-x+5上的概率為. 14. 【答案】 【解析】分別用A,B表示手心,手背.畫樹狀圖,得 ∵共有8種等可能的結(jié)果,通過(guò)一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的有4種情況,∴通過(guò)一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的概率是P＝＝. 15. 【答案】 【解析】因?yàn)椋?≤x≤2，－2≤y≤2，x，y為整數(shù)的點(diǎn)有20個(gè)，其能和O(0，0)，B(1，1)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)有8個(gè)，即(－2，2)，(0，2)，(－1，1)，(0，1)，(1，0)，(2，0)，(1，－1)，(2，－2)，所以所求的概率為＝. 16.(1) 【答案】畫出樹狀圖如圖: (2) 【答案】當(dāng)x=-1時(shí),y==-2;當(dāng)x=1時(shí),y==2;當(dāng)x=2時(shí),y==1. 由第1問(wèn)知一共有9種等可能的情況,點(diǎn)(x,y)落在雙曲線y=上的有2種情況,所以概率為. 17.(1) 【答案】九(1)班的男生用a11,a12表示,九(1)班的女生用b1表示,九(2)班的男生用a2表示,九(2)班的女生用b2表示.樹狀圖如下： (2) 【答案】總共有20種等可能的結(jié)果數(shù),2名主持人來(lái)自不同班級(jí)的結(jié)果數(shù)有12個(gè), ∴P(2名主持人來(lái)自不同班級(jí))==0.6; (3) 【答案】總共有20種等可能的結(jié)果數(shù),2名主持人恰好1男1女的結(jié)果數(shù)有12個(gè), ∴P(2名主持人恰好1男1女)==0.6. 18.(1) 【答案】10；50(2分) (2) 【答案】列表法： (樹狀圖略)(4分) 從上表可以看出,共有12種等可能結(jié)果,其中兩球上標(biāo)有的金額之和不低于30元的共有8種. ∴P(獲得購(gòu)物券的金額30元)＝＝.(6分) 19. 【答案】方法一:由題意可列表得: (6分) 由表可知所有可能得到的點(diǎn)A的坐標(biāo)共有15種,且每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同,其中在第一象限內(nèi)的結(jié)果有2種,在第二象限內(nèi)的結(jié)果有2種.　　(7分) P(點(diǎn)A在第一象限內(nèi))=;P(點(diǎn)A在第二象限內(nèi))=　　(9分) 所以,該游戲規(guī)則對(duì)雙方是公平的.　　(10分) 方法二:根據(jù)題意畫樹狀圖如下: 由樹狀圖可知所有可能得到的點(diǎn)A的坐標(biāo)共有15種,且每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同,其中在第一象限內(nèi)的結(jié)果有2種,在第二象限內(nèi)的結(jié)果有2種.　　(7分) P(點(diǎn)A在第一象限內(nèi))=;P(點(diǎn)A在第二象限內(nèi))=　　(9分) 所以,該游戲規(guī)則對(duì)雙方是公平的.　　(10分)