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第6講 線段的垂直平分線 考點(diǎn)講解： 1. 線段垂直平分線的性質(zhì)定理： 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 如圖，∵點(diǎn)在直線上， ∴ 2. 線段垂直平分線的判定定理： 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 ∵，∴點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上。 3. 三角形的三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（三角形的外心） 如圖，△ABC中，邊AB和BC的垂直平分線MN和GH 相交于點(diǎn)P，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理則有PA=PB=PC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理，點(diǎn)在線段AC的垂直平分線上，因此，△ABC三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 【典型例題】 例1. 如圖所示，已知AB＝AC，∠A＝40，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D。 求∠DBC的度數(shù)． 例2. 已知：如圖所示，在Rt△ABC中，過(guò)直角邊AC上的一點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)M，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且∠APM＝∠A． 求證：點(diǎn)M在BN的垂直平分線上． 例3. 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N．求證：CM=2BM． 例4. 如圖，河的同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，要在河邊修一揚(yáng)水站向兩個(gè)村莊鋪設(shè)管道供水，若鋪設(shè)的管道最短，揚(yáng)水站應(yīng)建在哪個(gè)位置？說(shuō)明理由。 例5. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC上的什么位置時(shí)，PB+PE的值最小？最小值是多少？ 【模擬試題】 一、選擇題 1. 如左下圖，AC=AD，BC=BD，則（ ） A、CD垂直平分AB B、AB垂直平分CD C、CD平分∠ACB D、以上結(jié)論均不對(duì) 2. 如果三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形的外部，那么這個(gè)三角形是 ( ) A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、等邊三角形 3. 如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周長(zhǎng)是 ( ) A、6 cm B、7 cm C、8 cm D、9 cm 4. 三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的位置一定在（ ） A、三角形內(nèi)部 B、三角形外部 C、三角形的一條邊上 D、三種情況都有可能 二、填空題 5. 三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離_________ 6. 如圖，D為BC邊上一點(diǎn)，且BC=BD+AD，則AD__________DC，點(diǎn)D在__________的垂直平分線上． 7. 如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AC于E，交BC于D，△ABD的周長(zhǎng)是12 cm，AC=5cm，則AB+BD+DC=_____cm；△ABC的周長(zhǎng)是__________cm. 8. 如圖，∠BAC=120，AB=AC，AC的垂直平分線交BC于D，則∠ADB=__________度． 三、解答題 9. 已知：如圖所示，△ABC是等邊三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分線． 求證：△ADE是等邊三角形． 10．已知：如圖所示，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD． 求證：點(diǎn)D在線段BE的垂直平分線上．