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（試卷一）一、 填空題（本題總計 20 分，每小題 2分）1. 排列 7623451 的逆序數是 15 。_2. 若 ，則 3 121?a?160321a3. 已知 階矩陣 、 和 滿足 ，其中 為nABCEAB?E階單位矩陣，則 。n ??14. 若 為 矩陣，則非齊次線性方程組nm?有唯一解的充分要條件是AXb?R(A)=R(A,b)=n_5.設 為 的矩陣，已知它的秩為 4，則以86?為系數矩陣的齊次線性方程組的解空間A維數為__2___________。6. 設 A 為三階可逆陣， ，則 ????????12301A?*A7.若 A 為 矩陣，則齊次線性方程組nm?有非零解的充分必要條件是 R（A） ＜ 0x?n 8.已知五階行列式 ，則12345015432?D0 ???4543241AA9. 向量 的模（范數） 。?(,12)T? _10.若 與 正交，則 1??k??T1???k1-2k+1=0二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分）1. 向量組 線性相關且秩為 s，則(D)r?,,21?Ａ． 　　　　 Ｂ．sr? r?Ｃ． 　　　　　　　Ｄ．s? s?2. 若 A 為三階 方陣，且，則 (A)043,02, ????EEA?Ａ． 　　　　　　　　　　Ｂ．8 8?Ｃ． 　　　　　　　?。模? 343．設向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則( D )Ａ． 　　?。拢?(RB? )(ARB?Ｃ． 　　　　?。模瓵? ?4. 設 階矩陣 的行列式等于 ，則 等nAD???kA于 。C_)(A?k)(B?Akn )(C??kn1D5. 設 階矩陣 ， 和 ，則下列說法正確的nAC是 B 。_則 ,則 或)(AC?B?)(B0?A0)(TTB)(D2)(B??三、計算題（本題總計 60 分。1-3 每小題8 分,4-7 每小題 9 分）1. 計算 階行列式 。n221??D232??????? 1?n?222．設 A 為三階矩陣， 為 A 的伴隨矩陣，*且 ，求 .1?*A)3(1?3．求矩陣的逆 210????????4. 討論 為何值時，非齊次線性方程組?21231x???????① 有唯一解； ②有無窮多解； ③無解。5. 求下非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系和此方程組的通解。??????521341x6.已知向量組 、 、??T201????T?、 、 ，求此??T313???944 15向量組的一個最大無關組，并把其余向量用該最大無關組線性表示．7. 求矩陣 的特征值和特征向量．????????20134A四、證明題（本題總計 10 分）設 為 的一個解， 為對應?bAX???0?12,nr??? ?齊次線性方程組 的基礎解系，證明線性無關。12,,nr??? ?（答案一）一、填空題（本題總計 20 分，每小題 2 分）1~15； 2、3； 3、 ；4、 ；5、2；6、CA??nbAR?),(；7、 ；8、0；9、3；10、1。.二、選??????1230??nAR?擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、計算題（本題總計 60 分，1-3 每小題 8 分，4-7 他每小題 9 分）1、 解： -----D),43(2niri???021???????? 032?n?2-3 分-------6 分12r?00?21???????? 032?n?2----------8 分)!()2(321)( ??????n?（此題的方法不唯一，可以酌情給分。 ）解：（1） ------1 分?????????????????????12412312AB------5????????????260???????402分 （2） ------???????????????17602395132BA ????????1628704--8 分3. 設 A 為三階矩陣， 為 A 的伴隨矩陣，且 ，* 2?A求 . 因 A＝ ，故 3 分 *2)3(1?*E21?41??n*5 分 *1??A8 分2716434232)3(1 ??????????? ***4、解： ---3 分??????101),(EA132r????????100---6 分23r???????20)(32??r ??????21故 -------8 分 （利用?????????11A公式求得結果也正確。 ）???A15、解； ???????21),(?bA13r?????????32210??2r?---------3 分?????????)()(2012?（1）唯一解： ------3,?bAR21???且5 分 （2）無窮多解： --------73),()??bAR1??分（3）無解： --------9),()AR?2?分 （利用其他方法求得結果也正確。 ）6、解： --------3 分???????520113),(bA? ?? r ???????003152基礎解系為 ， -----??????24321x ???????012?????????102?6 分令 ，得一特解： ---7 分 ??????3524321x043?x ????????035?故原方程組的通解為：，其中 ---9 分（此題結?????????????????102035121 kk?? Rk?21,果表示不唯一，只要正確可以給分。 ）7、解：特征方程 從而21043()12AE??????(4 分)123,1??當 時，由 得基礎解系 ，即對應于(20AEX??1(0,)T??的全部特征向量為 (7 分)1 1k?(0)?當 時，由 得基礎解系 ，即對應23??() 2(,1T?于 的全部特征向量為 231?? 2k?(0)?四、證明題（本題總計 10 分）證： 由 為對應齊次線性方程組 的基礎12,nr??? ? 0?AX解系，則 線性無關。(3 分)r? ?反證法：設 線性相關，則 可由12,,nr???? ? ?線性表示，即： (6 分)12,nr??? ? r?????1因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故 必是 的解。這與已知條件 為?0AX ?bAX?的一個解相矛盾。(9 分 ). 有上可知，??0?b線性無關。(10 分)12,,nr??? ?(試卷二)一、填空題（本題總計 20 分，每小題 2 分）1. 排列 6573412 的逆序數是 ．2.函數 中 的系數是 ．()fx?21x?3x3．設三階方陣 A 的行列式 ,則 = A/3 3A?*1()?．4．n 元齊次線性方程組 AX=0 有非零解的充要條件是 R（A）＜n ．5．設向量 ， = 正交，則 -2 (1,2)T???????????2???．6．三階方陣 A 的特征值為 1， ，2，則 ?A＝-2 ．7. 設 ，則 .1203????????_??8. 設 為 的矩陣，已知它的秩為 4，則A86?以 為系數矩陣的齊次線性方程組的解空間維數為__2___________．9．設 A 為 n 階方陣，且 2 則 A＝ 1*()3A???．21n）（ －10．已知 相似于 ，則 2031Ax????????12By?????????x， ．?y二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分）1. 設 n 階矩陣 A 的行列式等于 ，則 等DA－ 5于 A ．(A) (B)-5 (C) 5 (5)nD? D(D) 1()n2. 階方陣 與對角矩陣相似的充分必要條nA件是 .(A) 矩陣 有 個線性無關的特征向n量(B) 矩陣 有 個特征值A(C) 矩陣 的行列式 0A?(D) 矩陣 的特征方程沒有重根3．A 為 矩陣，則非齊次線性方程組mn?有唯一解的充要條件是 C ．Xb?(A) (B)(,)RAb?()RAm?(C) (D)(),)bn?(),)bn??4.設向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則( D )(A)． 　　　 (B)．)(RB?)(ARB?(C)． 　　　 　(D)．)(A?)(?5. 向量組 線性相關且秩為 r，則 12,,s??B ． (A) (B) (C) rs?rs?rs?(D) s?三、計算題（本題總計 60 分，每小題 10 分）1. 計算 n 階行列式: .221??D232??????? 1?n?222．已知矩陣方程 ，求矩陣 ,其中AX??X.013A???????3. 設 階方陣 滿足 ,證明 可逆，nA042??EA3AE?并求 .1(3)E?4．求下列非齊次線性方程組的通解及所對應的齊次線性方程組的基礎解系: 1234234895xx????????5．求下列向量組的秩和一個最大無關組,并將其余向量用最大無關組線性表示．12341234,,,5.0????????????????????????????6．已知二次型：，3231212321321 845),( xxxxf ???用正交變換化 為標準形，并求出),(f其正交變換矩陣 Q．四、證明題（本題總計 10 分，每小題 10 分）設 , , , , 且向量組1ba?212a?? 12rrba???線性無關，證明向量組 線性ra,21? rb,21?無關.(答案二)一、填空題（本題總計 20 分，每小題 2 分）1. 17 2. -2 3． 4． 5． 6．-2 1A()Rn????7． 或 8． 29、 10、16A?103???????2n）（ － 2,0yx二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、計算題（本題總計 60 分，每小題 10 分）1、 解： -----D),43(2niri???021???????? 032?n?2-4 分-------7 分12r?00?21???????? 032?n?2---------10 分（此)!()2(321)( ??????n?題的方法不唯一，可以酌情給分。 ）2．求解 ，其中AX?2013A???????解：由 得AX??(3??1XAE??分)(6 分) ??120,31AE?????????(8 分)102613r???????:所以 26031X????????(10 分)3．解：利用由 可得： ------042??EA 0)(3???EA--5 分即 ------7 分 故 可逆且EA??)(3 3--------10 分)()3(1??4．求下列非齊次線性方程組的通解及所對應的齊次線性方程組的基礎解系． 1234123895xx????????解： (2 分) 12328()9504Ab?????????123040r???????:(4 分)則有 12100r??????:(6 分)14230x???????取 為自由未知量，令 ，則通解為： 4x 4xc?1234102xc?????????????(8 分)cR?對應齊次線性方程組的基礎解系為： 21???????(10 分)5．求下列向量組的秩和一個最大無關組,并將其余向量用最大無關組線性表示．解：12341234,,,5.0????????????????????????????= ??1234121321335000???????????????????:: 102??????:(2 分) 為一個極大無關組 . (4 分) 設 12,?， 312x???412y???解得 ， . 2x???? 12y????(8 分) 則有 ， 31???412???6 解 332123221 85),( xxxxf ?的矩陣 (2 分) 的特????????42A A征多項式 (4 分))10())(????的兩個正交的特征向量 , 121? ???????10p????????142p的特征向量 03?? ????????213p 正交矩陣 8 分) 正????????321240Q交變換 ：標準形 yx? 3210yyf?四、證明題（本題總計 10 分）若設且向量組 線性無關，,212121,, rraabab???? ra,21?證明向量組 線性無關. 證明：設存在r,?，使得 也即 12λ,rR?? 12rb+b=0???化簡得 1212()()0rraa?????? ?12rrra? ? ?又因為 線性無關，則 12,r?120rr??????????(8 分)解得 120r???所以， 線性無關.12rb, , ?（試卷三）一、填空題（本題總計 20 分，每小題 2 分）1、按自然數從小到大為標準次序，則排列的逆序數為 (2)2n??2、設 4 階行列式 ，則 0 4abcdD?12314A??3、已知 ，則 10327A?????????1*A??4、已知 n 階矩陣 A、B 滿足 ，則BA????1EB??5、若 A 為 矩陣，則齊次線性方程組m?只有零解的充分必要條件是 x06、若 A 為 矩陣，且 ，則齊次n()3min{,}RA??線性方程組 的基礎解系中包含解向A?x0量的個數為 7、若向量 與向量 正交，則??123T????1T?????8、若三階方陣 A 的特征多項式為，則 2(1)AE?????9、設三階方陣 、 ，已知 ，123????????12B????????6A?，則 1B?AB??10、設向量組 線性無關，則當常數123,?滿足 時，向量組l線性無關.213213,,???二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分）1、 以下等式正確的是( )Ａ． Ｂ．?????????????dcbak dcbak?Ｃ． Ｄ．? ab2、 4 階行列式 中的項 和 的det()ija1342a24312符號分別為（ ）Ａ．正、正 Ｂ．正、負Ｃ．負、負 Ｄ．負、正3、 設 A 是 矩陣，C 是 n 階可逆陣，mn?滿足 B＝AC. 若 A 和 B 的秩分別為 和Ar，則有( )BrＡ． 　　　　　　　　 Ｂ．ABr? ABr?Ｃ． 　　　　　　　　 Ｄ．以?上都不正確 4、 設 A 是 矩陣，且 ，則非齊mn?()RAmn??次線性方程組 ( )A?xbＡ．有無窮多解 　　 ?。拢形ㄒ唤猓茫疅o解 　 ?。模疅o法判斷解的情況5、已知向量組 線性無關，則以下1234,,?線性無關的向量組是（ ）Ａ． 12341,,,???Ｂ． 12341,,,????Ｃ． ??Ｄ． 12341,,,三、計算題（本題總計 60 分，每小題 10分）1． 求矩陣 的特征值和特征向量．124????????A2． 計算 階行列式n?011100nnaDa????????3． 已知矩陣 ，1A???????， ，且滿足 ，求矩10B???????4320C???????AXBC?陣 X.4． 求下列非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系及此方程組的通解 12345123451605xx???????5． 已知矩陣 ，求矩陣 A 的122464397A?????????列向量組的一個最大無關組，并把其余向量用該最大無關組線性表示．6． 已知 A 為三階矩陣，且 ，求2A????1*32????????四、證明題（本題總計 10 分）設向量組 中前 個向量線性相12,,n?? 1?關，后 個向量線性無關，試證：1n?（1） 可由向量組 線性表示；1 231,n???（2） 不能由向量組 線性表示.n?2,?（試卷四）一、填空題（本題總計 16 分，每小題 2 分）1、按自然數從小到大為標準次序，則排列的逆序數為 3(21)4(2)nn?? ?2、4 階行列式 4816452D??3、已知 ， 為 A 的伴隨矩陣，則1029A????????*??1*?4、已知 n 階方陣 A 和 B 滿足 ，則AB????1EB??5、已知 A 為 矩陣，且 ，則以mn?()min{,}Rr?A 為系數矩陣的齊次線性方程組 的A?x0基礎解系中包含解向量的個數為 6、已知四維列向量 、??T31521??、 ，且??T1052??43?，則 ?xx????2137、把向量 單位化得 ?2T8、若三階方陣 A 的特征多項式為，則 2()1)(f????E??二、選擇題（本題總計 14 分，每小題 2 分）1、 已知 ，則以下等式正確的是( ),abcdkR?Ａ． Ｂ．?????????????k dcbak?Ｃ． Ｄ．?dcbacba ab2、 設 A 和 B 為 n 階方陣，下列說法正確的是（ ）Ａ．若 ，則 Ｂ．若 ，C?? 0AB?則 或0ABＣ．若 ，則 或 Ｄ．若 ，0ABE?則 AE?3、 設 A 是 矩陣，且 ，則非齊mn?()RAmn??次線性方程組 ( )A?xbＡ．有唯一解 　　 ?。拢袩o窮多解Ｃ．無解 　 ?。模疅o法判斷解的情況4、 向量組的秩就是向量組的（ ）Ａ．極大無關組中的向量 　　Ｂ．線性無關組中的向量Ｃ．極大無關組中的向量的個數 ?。模€性無關組中的向量的個數5、 已知 n 階方陣 A、B 和 C 滿足ABC=E，其中 E 為 n 階單位矩陣，則( )1B??Ａ． 　　 ?。拢?AC? ACＣ． 　 　Ｄ． 1?6、 設 A 為三階方陣， 為 A 的伴隨矩陣，*且 ，則 （ ）41???*A3)4(1Ａ． 　　　　　　　　　　　　　276Ｂ． ?Ｃ． 　　　　　　　　　　　Ｄ．121?7、 已知 n 元齊次線性方程組 的系數A?x0矩陣的秩等于 n-3，且 是 的三123,?個線性無關的解向量，則 的基礎解系可為（ ）Ａ． Ｂ．1231,,????312123,,???Ｃ． Ｄ．??31?三、計算題（本題總計 60 分，1-3 每小題8 分，4-7 每小題 9 分）1． 計算 階行列式nnxaDax???????2． 已知三階方陣 ，求10A????????21()4)AE??3． 已知矩陣 ， ，求 .210???????102B??????B4． 求下列非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系及此方程組的通解 123451xx??????5． 判定向量組的線性相關性。123(2,),(0,),(2,41)TTT?????????6． 已知矩陣 ，求矩陣 的秩1201243A????????A及列向量組的一個最大無關組.7． 已知 ，求可逆陣 P，使得21043A????????為對角陣. 1P?四、證明題（本題總計 10 分）設 為非齊次線性方程組 的一個解，?Axb?為對應齊次線性方程組的基礎解系.試12,r??證：向量組 線性無關。12,,r??