《2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
3．3.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題．
知識(shí)點(diǎn) 生活中的優(yōu)化問(wèn)題
1．生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題．
2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值．
3．解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：
上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程．
1．生活中常見到的收益最高、用料最省等問(wèn)題就是數(shù)學(xué)中的最大、最小值問(wèn)題．( √ )
2．解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．( √ )
題型一 幾何中的最值問(wèn)題
例1 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝xcm.
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x應(yīng)取何值？
(2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．
考點(diǎn) 幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 幾何體體積的最值問(wèn)題
解 (1)由題意知包裝盒的底面邊長(zhǎng)為xcm，
高為(30－x)cm,0
0，得010，y>8.
(1)兩欄面積之和為2(y－8)＝720，
由此得y＝＋8(x>10)．
(2)試卷的面積S＝xy＝x，
∴S′＝＋8，
令S′＝0，得x＝40(負(fù)數(shù)舍去)，
∴函數(shù)在(10,40)上單調(diào)遞減，在(40，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＝40時(shí)，S取得最小值，
故當(dāng)試卷的長(zhǎng)為40cm，寬為32cm時(shí)，可使試卷的面積最?。?
題型二 實(shí)際生活中的最值問(wèn)題
命題角度1 利潤(rùn)最大問(wèn)題
例2 某工廠共有10臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬(wàn)件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)(4≤x≤12)之間滿足關(guān)系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元．(利潤(rùn)＝盈利－虧損)
(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為x的函數(shù)；
(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)為多少時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題
解 (1)由題意得，所獲得的利潤(rùn)為y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．
(2)由(1)知，y′＝＝，
當(dāng)4≤x≤6時(shí)，y′≥0，函數(shù)在[4,6]上為增函數(shù)；
當(dāng)6≤x≤12時(shí)，y′≤0，函數(shù)在[6,12]上為減函數(shù)，
所以當(dāng)x＝6時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，
最大利潤(rùn)為y＝206－362＋96ln6－90＝96ln6－78(萬(wàn)元)．
反思感悟 解決此類有關(guān)利潤(rùn)的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有：
(1)利潤(rùn)＝收入－成本．
(2)利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)銷售件數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練2 某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中30，g(x)為增函數(shù)，
所以當(dāng)x＝8時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值．
故當(dāng)建成8個(gè)球場(chǎng)時(shí)，每平方米的綜合費(fèi)用最?。?
反思感悟 費(fèi)用、用料最省問(wèn)題是日常生活中常見的問(wèn)題之一，解決這類問(wèn)題要明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象．正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答．
跟蹤訓(xùn)練3 為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；
(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題
解 (1)由題意知，每年的能源消耗費(fèi)用為C(x)＝(0≤x≤10)，且C(0)＝8，故k＝40，所以C(x)＝(0≤x≤10)．
設(shè)建造費(fèi)用為C1(x)，則C1(x)＝6x.
所以f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)因?yàn)閒(x)＝＋6x(0≤x≤10)，
所以f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5(負(fù)值舍去)．
當(dāng)0≤x<5時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；
當(dāng)50，f(x)為增函數(shù)．
故x＝5是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝＋65＝70.
故當(dāng)隔熱層修建厚度為5cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元．
損耗最少問(wèn)題
典例 已知A，B兩地相距200千米，一艘船從A地逆水而行到B地，水速為8千米/時(shí)，船在靜水中的速度為v千米/時(shí)(80)，則y1＝kv2.
∵當(dāng)v＝12時(shí)，y1＝720，∴720＝k122，得k＝5.
設(shè)全程燃料費(fèi)為y元，由題意，
得y＝y(tǒng)1＝(80，y為增函數(shù)．
故當(dāng)v＝16時(shí)，y取得極小值，也是最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最?。?
若v0<16，當(dāng)v∈(8，v0]時(shí)，y′<0，y在(8，v0]上為減函數(shù)．
故當(dāng)v＝v0時(shí)，y取得最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最?。?
綜上可得，若v0≥16，則當(dāng)v＝16千米/時(shí)時(shí)，全程燃料費(fèi)最??；
若v0<16，則當(dāng)v＝v0時(shí)，全程燃料費(fèi)最?。?
[素養(yǎng)評(píng)析] (1)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，要先找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化、形式化、抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再化歸為常規(guī)問(wèn)題，最后選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解．
(2)確定函數(shù)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的要求較高，有利于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升．
1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是( )
A．8B.C．－1D．－8
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 函數(shù)類型的其他問(wèn)題
答案 C
解析 原油溫度的瞬時(shí)變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值－1.
2．用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2∶1，則該長(zhǎng)方體的最大體積為( )
A．2m3B．3m3C．4m3D．5m3
考點(diǎn) 幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 幾何體體積的最值問(wèn)題
答案 B
解析 設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，高為h＝＝－3x(m)，
故長(zhǎng)方體的體積為V(x)＝2x2
＝9x2－6x3，
從而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．
當(dāng)00；當(dāng)10)；生產(chǎn)總成本y2(萬(wàn)元)也是x(千臺(tái))的函數(shù)，y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤(rùn)最大，則應(yīng)生產(chǎn)( )
A．9千臺(tái)B．8千臺(tái)C．6千臺(tái)D．3千臺(tái)
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題
答案 C
解析 利潤(rùn)y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0)，
求導(dǎo)得y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6或x＝0(舍去)．
所以當(dāng)生產(chǎn)6千臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大．
4．容積為256的方底無(wú)蓋水箱，它的高為時(shí)最省材料．
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題
答案 4
解析 設(shè)水箱高為h，底面邊長(zhǎng)為a，則a2h＝256，
其表面積為S＝a2＋4ah＝a2＋4a＝a2＋.
令S′＝2a－＝0，得a＝8.
當(dāng)08時(shí)，S′>0，
故當(dāng)a＝8時(shí)，S最小，此時(shí)h＝＝4.
5．某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件．如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知當(dāng)商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期多賣出24件．
(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；
(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題
解 (1)設(shè)商品降價(jià)x元，則每星期多賣的商品數(shù)為kx2.
若記商品在一個(gè)星期的獲利為f(x)，則有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知條件，得24＝k22，于是k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．
(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,21]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
故當(dāng)x＝12時(shí)，f(x)取得極大值．
因?yàn)閒(0)＝9072，f(12)＝11664.
所以當(dāng)定價(jià)為30－12＝18(元)時(shí)，才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大．
1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟
(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)．
(2)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值．
2．正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問(wèn)題的主要思路．另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系；(3)必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.
一、選擇題
1．已知某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋36x＋126，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為( )
A．11萬(wàn)件B．9萬(wàn)件C．7萬(wàn)件D．6萬(wàn)件
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題
答案 D
解析 由y′＝－x2＋36＝0，
解得x＝6或x＝－6(舍去)．
當(dāng)00；
當(dāng)x>6時(shí)，y′<0，
∴在x＝6時(shí)y取最大值．
2．將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使其立方和最小，那么這兩個(gè)數(shù)為( )
A．2,6 B．4,4
C．3,5 D．以上都不對(duì)
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 函數(shù)類型的其他問(wèn)題
答案 B
解析 設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，
其立方和為y＝x3＋(8－x)3
＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，
則y′＝48x－192.
令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.
當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0；
當(dāng)40，
所以當(dāng)x＝4時(shí)，y取得極小值，也是最小值．
所以這兩個(gè)數(shù)為4,4.
3．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是( )
A．150B．200C．250D．300
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題
答案 D
解析 由題意得，總利潤(rùn)
P(x)＝
∴P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，
當(dāng)00，
當(dāng)300P(390)＝31090.故選D.
4．某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價(jià)為15元，箱壁每1m2的造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為( )
A．900元B．840元C．818元D．816元
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題
答案 D
解析 設(shè)箱底一邊的長(zhǎng)度為xm，箱子的總造價(jià)為l元，
根據(jù)題意得箱底面積為＝16(m2)，
則箱底另一邊的長(zhǎng)度為m，
所以l＝1615＋12
＝240＋72，
l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．
當(dāng)04時(shí)，l′>0.
故當(dāng)x＝4時(shí)，l取得極小值，也就是最小值，為816.
因此，當(dāng)箱底是邊長(zhǎng)為4m的正方形時(shí)，箱子的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為816元．
5．若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時(shí)底面邊長(zhǎng)為( )
A.B.C.D．2
考點(diǎn) 幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 面積的最值問(wèn)題
答案 C
解析 設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，
則表面積S＝x2＋V(x>0)，
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
可判斷得當(dāng)x＝時(shí)，直棱柱的表面積最?。?
6．在三棱錐O－ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y(tǒng)，且x＋y＝3，則三棱錐O－ABC體積的最大值為( )
A．4B．8C.D.
考點(diǎn) 幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 幾何體體積的最值問(wèn)題
答案 C
解析 V＝y(tǒng)＝＝
＝(00，右側(cè)L′(p)<0，
所以L(30)是極大值，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知，L(30)是最大值．
二、填空題
9．用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為cm.
考點(diǎn) 幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 幾何體體積的最值問(wèn)題
答案 8
解析 設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，
鐵盒的體積為Vcm3，則鐵盒的底面邊長(zhǎng)為(48－2x) cm，
由題意，得V＝x(48－2x)2(00)，
y′＝－x2.
由y′＝0，得x＝25，當(dāng)x∈(0,25)時(shí)，y′>0；
當(dāng)x∈(25，＋∞)時(shí)，y′<0，
所以當(dāng)x＝25時(shí)，y取最大值．
11．統(tǒng)計(jì)表明：某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙兩地相距100千米，則當(dāng)汽車以千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油量最少．
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題
答案 80
解析 當(dāng)速度為x千米/時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為y升，由題意，得
y＝
＝＋－(00，該函數(shù)遞增，故當(dāng)x＝80時(shí)，y取得最小值．
三、解答題
12．某單位用3240萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少15層、每層3000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥15)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為840＋kx(單位：元)．已知樓房建為15層時(shí)，每平方米的平均建筑費(fèi)用為1245元．
(1)求k的值．
(2)當(dāng)樓房建為多少層時(shí)，樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝)
考點(diǎn)
題點(diǎn)
解 (1)由題意可得840＋15k＝1245，解得k＝27.
(2)設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)，
則f(x)＝(840＋27x)＋
＝840＋27x＋(x≥15且x∈N＋)，
f′(x)＝27－，令f′(x)＝0，得x＝20，
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
[15,20)
20
(20，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以當(dāng)x＝20時(shí)，f(x)有最小值．
答 為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為20層．
13．已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬(wàn)元，且R(x)＝
(1)求年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，并求出最大值．
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題
解 (1)當(dāng)010時(shí)，
W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
所以W＝
(2)①當(dāng)00；當(dāng)x∈(9,10]時(shí)，W′<0.
所以當(dāng)x＝9時(shí)，W取得最大值，
即Wmax＝8.19－93－10＝38.6.
②當(dāng)x>10時(shí)，W＝98－
≤98－2＝38，
當(dāng)且僅當(dāng)＝2.7x，即x＝時(shí)，W取得最大值38.
綜合①②知，當(dāng)x＝9千件時(shí)，W取得最大值38.6萬(wàn)元．
答 當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為38.6萬(wàn)元．
14．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．設(shè)存款利率為x，x∈(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為( )
A．0.0162 B．0.0324
C．0.0243 D．0.0486
考點(diǎn) 函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題
答案 B
解析 由題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．
所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(00；
當(dāng)0.03240?r<2，
所以定義域?yàn)?0,2)．
(2)因?yàn)閥′＝－＋16πr＝，
所以令y′>0，得2
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2020版高中數(shù)學(xué)
第三章
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
3.3.3
導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版選修1
-1
2020
高中數(shù)學(xué)
第三
導(dǎo)數(shù)
及其
應(yīng)用
3.3
實(shí)際
解析
新人
選修
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2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx
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