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第1章 計數(shù)原理 章末總結(jié) 知識點一　兩個計數(shù)原理 應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決有關(guān)計數(shù)問題的關(guān)鍵是區(qū)分事件是分類完成還是分步完成，而分類與分步的區(qū)別又在于任取其中某一方法是否能完成事件．能完成便是分類，否則便是分步，對于有些較復(fù)雜問題可能既要分類又要分步，此時應(yīng)注意層次分明，不重不漏． 例1　現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有(　　) A．24種 B．30種 C．36種 D．48種 例2　某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用周六組織學生到某工廠進行社會實踐活動． (1)任選一個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法？ (2)三個年級各選一個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法？ (3)選兩個班的學生參加社會實踐，要求這兩個班來自不同年級，有多少種不同選法？ 知識點二　排列組合應(yīng)用題 解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵在于區(qū)別它是排列問題，還是組合問題，也就是看它有無“順序”． 解答排列組合應(yīng)用題還應(yīng)善于運用轉(zhuǎn)化思想，把一些問題與排列組合基本類型相聯(lián)系，從而把這些問題轉(zhuǎn)化為基本類型，然后加以解決． 例3　有四名男生和三名女生排成一排，按下列要求各有多少種不同的排法？ (1)男甲排在正中間； (2)男甲不在排頭，女乙不在排尾． 例4　用1,2,3,4,5,6,7,8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有多少個？ 知識點三　二項式定理及應(yīng)用 二項式定理的重點是二項展開式及通項公式的聯(lián)系和應(yīng)用．二項展開式的通項公式是解決與二項式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ)；二項展開式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；利用二項展開式可以證明整除性問題，討論項的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進行近似計算等．賦值法與待定系數(shù)法是解決二項式定理相關(guān)問題常用的方法． 例5　二項式(2＋x)n的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式的第8項的系數(shù)為________．(用數(shù)字表示) 例6　已知(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，那么a1＋a2＋a3＋…＋a11＝________. 例7　求證：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n為大于1的偶數(shù))． 章末總結(jié) 答案 重點解讀 例1　D　[將原圖從上而下4部分區(qū)域標為1,2,3,4.因為1,2,3之間不能同色，1與4可以同色，因此，要分類討論1,4同色與不同色兩種情況，則不同的著色方法種數(shù)為432＋4321＝48.故選D.] 例2　解　(1)分三類：第一類從高一年級選一個班，有6種不同方法，第二類從高二年級選一個班，有7種不同方法，第三類從高三年級選一個班，有8種不同方法，由分類加法計數(shù)原理，共有6＋7＋8＝21(種)不同選法． (2)分三步：第一步從高一年級選一個班，有6種不同的方法；第二步從高二年級選一個班，有7種不同的方法；第三步從高三年級選一個班，有8種不同的方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有678＝336(種)不同的選法． (3)分三類，每類又分兩步，第一類要從高一、高二兩個年級各選一個班，有67種不同方法；第二類從高一、高三兩個年級各選一個班，有68種不同方法；第三類從高二、高三兩個年級各選一個班，有78種不同方法，故共有67＋68＋78＝146(種)不同選法． 例3　解　(1)男甲排在正中間位置，其他六人排在余下的六個位置上，共有A＝720(種)不同的排法． (2)分四類考慮(特殊元素法)： ①男甲不在排頭，女乙不在排尾，男甲也不在排尾，女乙也不在排頭(即男甲、女乙在中間5個位置上)，有AA種排法； ②女乙在排頭男甲不在排尾，有AA種排法； ③男甲在排尾女乙不在排頭，有AA種排法； ④男甲在排尾且女乙在排頭，共有A種排法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有AA＋2AA＋A＝3 720(種)排法． 例4　解　將1、2,3、4,5、6看成3個整體，進行全排列有A種排法，3個整體間分別進行排列有AAA種方法．在由3個整體形成的4個空檔中選出2個插入7、8兩個數(shù)，共有A種方法，故共有AAAAA＝576(種)排法． 例5　16 解析　第1項為2n，第2項為C2n－1x，第3項為C2n－2x2.∴2C2n－1＝2n＋C2n－2.∴n＝8. ∴T8＝C2x7，其系數(shù)為2C＝16. 例6　－65 解析　令x＝0，得a0＝1； 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－64； ∴a1＋a2＋…＋a11＝－65. 例7　證明　因為1＋3＋32＋…＋33n－1 ＝＝(33n－1)＝(27n－1)＝[(26＋1)n－1] 而(26＋1)n－1＝C26n＋C26n－1＋…＋C26＋C260－1＝C26n＋C26n－1＋…＋C26. 因為n為大于1的偶數(shù)，所以原式能被26整除．