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寒假訓(xùn)練05函數(shù)應(yīng)用 [2018舒蘭一中]已知函數(shù)，， （1）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）∵， ∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，要使在上有零點(diǎn)，其圖象如圖， 則，即，∴． 所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是． （2）當(dāng)時(shí)，． ∴當(dāng)時(shí)，，記． 由題意知，當(dāng)時(shí)，顯然不適合題意． 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，∴， 記，由題意，知．∴，解得． 當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，∴， 記，由題意，知．∴，解得． 綜上所述：或． 一、選擇題 1．[2018宜昌一中]函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間的（） A． B． C． D． 2．[2018會(huì)澤縣一中]用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（） A．5 B．6 C．7 D．8 3．[2018孝感一中]某同學(xué)求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示： 則方程的近似解（精確度）可取為（） A． B． C． D． 4．[2018荊州中學(xué)]已知，并且，是方程的兩根， 實(shí)數(shù)，，，的大小關(guān)系可能是（） A． B． C． D． 5．[2018高新一中]函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（） A．0 B．1 C．2 D．3 6．[2018天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)]某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長， 則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，） A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年 7．[2018天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)]函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)可能落在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（） A． B． C． D． 8．[2018遼寧聯(lián)考]已知方程有兩個(gè)正根，則實(shí)數(shù)的取值范圍 是（） A． B． C． D． 9．[2018長春十一中]若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則（） A． B．1 C．或1 D．0 10．[2018沙市中學(xué)]函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 11．[2018銅仁一中]設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，則（） A． B． C． D． 12．[2018人大附中]設(shè)函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D． 二、填空題 13．[2018應(yīng)城一中]加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時(shí)間(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系(，，是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為________分鐘． 14．[2018鐵人中學(xué)]已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________． 15．[2018天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)]，若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 則的取值范圍為________． 16．[2018荊州中學(xué)]已知方程和的解分別為，， 則____． 三、解答題 17．[2018遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)]某工廠有一個(gè)容量為300噸的水塔，每天從早上6時(shí)起到晚上10時(shí)止供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水，已知該廠生活用水為每小時(shí)10噸，工業(yè)用水量(噸)與時(shí)間 (小時(shí)，且規(guī)定早上6時(shí))的函數(shù)關(guān)系為：．水塔的進(jìn)水量分為10級(jí)，第一級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸，以后每提高一級(jí)，每小時(shí)進(jìn)水量就增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在開始供水的同時(shí)打開進(jìn)水管． （1）若進(jìn)水量選擇為2級(jí)，試問：水塔中水的剩余量何時(shí)開始低于10噸？ （2）如何選擇進(jìn)水量，既能始終保證該廠的用水(水塔中水不空)又不會(huì)使水溢出? 18．[2018邢臺(tái)模擬]已知函數(shù)． （1）證明：函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)； （2）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)； （3）求這個(gè)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間，使這個(gè)區(qū)間的長度不超過．  寒假訓(xùn)練05函數(shù)應(yīng)用 一、選擇題 1．【答案】B 【解析】函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是，故選B． 2．【答案】C 【解析】開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 經(jīng)過此操作后，區(qū)間長度變?yōu)椋? 用二分法求函數(shù)在區(qū)間上近似解， 要求精確度為，，解得，故選C． 3．【答案】A 【解析】根據(jù)題意，由表格可知，方程的近似根在，，內(nèi)，據(jù)此分析選項(xiàng)A中符合，故選A． 4．【答案】B 【解析】設(shè)，則， 分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，其中的圖象可看成是由的圖象向上平移2個(gè)單位得到，如圖， 由圖可知，故選B． 5．【答案】B 【解析】令，得，所以，再作出函數(shù)的 圖像， 由于兩個(gè)函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，故答案為B． 6．【答案】B 【解析】由題意求滿足最小值，由， 得，， ，，，開始超過200萬元的年份是，故選B． 7．【答案】C 【解析】因?yàn)?，? 所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理得在有零點(diǎn)，故選C． 8．【答案】D 【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)正根，所以，，，故選D． 9．【答案】C 【解析】由題意知，，則原方程為， 在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，如圖所示， 由圖象可知，原方程有兩個(gè)根，一個(gè)在區(qū)間上，一個(gè)在區(qū)間上， 所以或1，故選C． 10．【答案】B 【解析】函數(shù)的零點(diǎn)即為的解集， 化簡得，令，畫出函數(shù)圖象如下圖所示， 由圖象可知，若有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為，所以選B． 11．【答案】D 【解析】如圖： 方程有兩個(gè)根分別為，，不妨令，由圖可知兩根的范圍是，則①，②，作差②-①得:， 即，故選D． 12．【答案】D 【解析】，而， 故， 當(dāng)時(shí)，，故在上的圖像如圖所示： 因?yàn)榈膱D像與的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故，故，故選D． 二、填空題 13．【答案】(或) 【解析】由題意函數(shù)關(guān)系（，，是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，，，∴，得，，， ∴， ∴得到最佳加工時(shí)間為分鐘．故答案為． 14．【答案】 【解析】∵有兩個(gè)零點(diǎn)，∴有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的 圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由可得，或． ①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示， 此時(shí)存在滿足題意，故滿足題意． ②當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故不符合題意． ③當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意． ④時(shí)，單調(diào)遞增，故不符合題意． ⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示， 此時(shí)存在使得與有兩個(gè)交點(diǎn)． 綜上可得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． 15．【答案】 【解析】函數(shù)圖象如圖， 所以若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為． 16．【答案】6 【解析】由題意可得方程和的解分別為和， 設(shè)函數(shù)的圖象和直線的圖象交點(diǎn)為， 函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為， 則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為． 函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱， 且直線自身關(guān)于直線對(duì)稱， ∴，兩點(diǎn)關(guān)于直線，即點(diǎn)在直線直線， 易得，即，故答案為6． 三、解答題 17．【答案】（1）從7時(shí)起，水塔中水的剩余量何時(shí)開始低于10噸；（2）進(jìn)水量應(yīng)選為第4級(jí)． 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由得，且， 所以，．所以從7時(shí)起，水塔中水的剩余量何時(shí)開始低于10噸． （2）根據(jù)題意，進(jìn)水級(jí)，所以． 由左邊得， 當(dāng)時(shí)，有最大值．所以． 由右邊得， 當(dāng)時(shí)，有最小值，所以， 綜合上述，進(jìn)水量應(yīng)選為第4級(jí)． 18．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）． 【解析】（1）證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，則，，∴．∴． ∴在上是增函數(shù)． （2）證明：∵，， ∴．∴在上至少有一個(gè)零點(diǎn)， 又由（1）可知在上是增函數(shù)，因此函數(shù)至多有一個(gè)根， 從而函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)． （3）解：由（2）可知的零點(diǎn)， 取，，， ∴區(qū)間長度， 取，，∴． ∴，區(qū)間長度， ∴即為符合條件的區(qū)間．