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階段訓練五
(范圍：1～2)
一、選擇題
1．已知某商品生產成本c與產量q(0
0；
當－22時，f′(x)>0.
由此可以得到函數(shù)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值，故選D.
3．函數(shù)f(x)＝exsinx在區(qū)間上的值域為( )
A. B.
C. D.
考點 利用導數(shù)求函數(shù)的最值
題點 不含參數(shù)的函數(shù)求最值
答案 A
解析 f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，
∵x∈，∴f′(x)>0，
則f(x)在上是增加的，
f(x)min＝f(0)＝0，
f(x)max＝f＝e，
∴函數(shù)f(x)＝exsinx在區(qū)間上的值域為.
4．函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0,2]上的最大值是3，則a的值為( )
A．2B．1C．－2D．－1
答案 B
解析 由題意得，f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－(舍去)，
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
所以f(x)的最大值為a＋2＝3，故a＝1.
5．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋1在x＝1處取得極大值3，則f(x)的極小值為( )
A．－1B．0C．1D．2
考點 函數(shù)的極值與導數(shù)的關系
題點 含參數(shù)的函數(shù)求極值問題
答案 C
解析 由題意知f(1)＝a＋b＋1＝3，即a＋b＝2.①
因為f′(x)＝3ax2＋2bx，f′(1)＝0，
所以3a＋2b＝0.②
由①②得a＝－4，b＝6.
所以f′(x)＝－12x2＋12x＝0，
解得x＝0或x＝1.
易知在x＝0處f(x)取極小值1.故選C.
6．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在區(qū)間(1，＋∞)內恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 D
解析 ∵f(x)＝ax－lnx，f(x)>1在(1，＋∞)內恒成立，
∴a>在(1，＋∞)內恒成立．
設g(x)＝，
∴當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＝<0，
即g(x)在(1，＋∞)上是減少的，∴g(x)0)．要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，斷面的寬x應為( )
A. B.
C.d D.d
答案 C
解析 設斷面高為h，則h2＝d2－x2.設橫梁的強度函數(shù)為f(x)，則f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，00，f(x)是增加的；當dx－.
令f(x)＝x－，
所以f′(x)＝1＋2－xln2>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，
所以a的取值范圍為(－1，＋∞)．
三、解答題
12．已知函數(shù)f(x)＝x(x＋a)－lnx，其中a為常數(shù)．
(1)當a＝－1時，求f(x)的極值；
(2)若f(x)是區(qū)間內的單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
考點 導數(shù)的綜合應用
題點 導數(shù)的綜合應用
解 (1)當a＝－1時，f′(x)＝2x－1－＝＝(x>0)，
所以f(x)在區(qū)間(0,1)上是減少的，在(1，＋∞)上是增加的，
于是f(x)有極小值f(1)＝0，無極大值．
(2)易知f′(x)＝2x＋a－在區(qū)間上是增加的，
又由題意可得f′(x)＝2x＋a－＝0在上無解．
即f′≥0或f′(1)≤0，
解得a≥1或a≤－1，
即a的取值范圍為(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
13．設函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴當x＝－t時，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1，t＝－1(不合題意，舍去)．
當t變化時，g′(t)，g(t)的變化情況如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
1－m
↘
∴對t∈(0,2)，當t＝1時，g(t)max＝1－m，
h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0對t∈(0,2)恒成立，
只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)
14．函數(shù)f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋1的圖像經過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.∪
考點 導數(shù)的綜合應用
題點 導數(shù)的綜合應用
答案 D
解析 f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，
要使函數(shù)f(x)的圖像經過四個象限，則f(－2)f(1)<0，
即<0，解得a<－或a>.
15．設函數(shù)f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0
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第四章
導數(shù)應用
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