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第三章 概率 注意事項： 1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。 2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列事件中，隨機事件的個數(shù)為（ ） ①在學(xué)校明年召開的田徑運動會上，學(xué)生張濤獲得100米短跑冠軍； ②在體育課上，體育老師隨機抽取一名學(xué)生去拿體育器材，抽到李凱； ③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽； ④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4C時結(jié)冰． A．1 B．2 C．3 D．4 2．平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意拋擲在這個平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是（ ） A． B． C． D． 3．某班有50名學(xué)生，其中男、女各25名，若這個班的一個學(xué)生甲在街上碰到一位同班同學(xué)，假定每兩名學(xué)生碰面的概率相等，那么甲碰到異性同學(xué)的概率大還是碰到同性同學(xué)的概率大（ ） A．異性 B．同性 C．同樣大 D．無法確定 4．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，cosx的值介于0到之間的概率為（ ） A． B． C． D． 5．已知某運動員每次投籃命中的概率低于40%．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)： 907　966　191　925　271　932　812　458 569　683　431　257　393　027　556　488 730　113　537　989 據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ） A．0．35 B．0．25 C．0．20 D．0．15 6．12本相同的書中，有10本語文書，2本英語書，從中任意抽取3本的必然事件是（ ） A．3本都是語文書 B．至少有一本是英語書 C．3本都是英語書 D．至少有一本是語文書 7．某人射擊4槍，命中3槍，3槍中有且只有2槍連中的概率是（ ） A． B． C． D． 8．從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于40的概率為（ ） A． B． C． D． 9．已知集合，從集合A中選取不相同的兩個數(shù)，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系上的點，觀察點的位置，則事件A＝{點落在x軸上}與事件B＝{點落在y軸上}的概率關(guān)系為（ ） A．P(A)>P(B) B．P(A)25的次數(shù)與總試驗次數(shù)的比就近似為本題結(jié)果．即． B選項正確． 12．【答案】A 【解析】可求得同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的情況有44＝16(種)，而總的情況有66＝36(種)，于是由古典概型概率公式，得．故選A． 二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上） 13．【答案】 【解析】因為球半徑為a，則正方體的對角線長為2a，設(shè)正方體的邊長為x， 則，∴，由幾何概型知，所求的概率． 14．【答案】 【解析】如圖所示，區(qū)域D表示邊長為4的正方形的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部， 因此． 15．【答案】 【解析】 記“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”為事件A，如圖所示，不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時，就是等邊三角形的邊長，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型的概率公式得． 16．【答案】 【解析】由題意可知，如圖所示，三棱錐與三棱錐的高相同，因此 (PM，BN為其高線)，又， 故，故所求概率為 (長度之比)． 三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．【答案】． 【解析】a，b都是從0，1，2，3，4五個數(shù)中任取的一個數(shù)的基本事件總數(shù)為N＝55＝25個．函數(shù)有零點的條件為Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b．因為事件“a2≥4b”包含，，，，，，，，，，，，共12個．所以事件“a2≥4b”的概率為． 18．【答案】． 【解析】設(shè)A、B、C分別表示炸中第一、第二、第三軍火庫這三個事件． 則P(A)＝0．025，P(B)＝P(C)＝0．1， 設(shè)D表示軍火庫爆炸這個事件，則有 D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件， ∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0．025＋0．1＋0．1＝0．225． 19．【答案】． 【解析】因為，，所以， 所以，所以的概率為． 20．【答案】（1）見解析；（2）；（3）公平，見解析． 【解析】（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用4′表示，其他用相應(yīng)的數(shù)字表示)為(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12種不同情況． （2）甲抽到紅桃3，乙抽到的牌的牌面數(shù)字只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率為． （3）甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大的情況有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5種，故甲勝的概率，同理乙勝的概率．因為P1＝P2， 所以此游戲公平． 21．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件為 (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18個基本事件．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用M表示“A1恰被選中”這一事件，則 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}， 事件M由6個基本事件組成，因而． （2）用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1、C1全被選中”這一事件，由于，事件由3個基本事件組成， 所以，由對立事件的概率公式得：． 22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由于實數(shù)對(a，b)的所有取值為：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－2)，(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，共16種． 設(shè)“直線y＝ax＋b不經(jīng)過第四象限”為事件A， 若直線y＝ax＋b不經(jīng)過第四象限，則必須滿足，即滿足條件的實數(shù)對(a，b)有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4種．∴．故直線y＝ax＋b不經(jīng)過第四象限的概率為． （2）設(shè)“直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點”為事件B， 若直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點，則必須滿足， 即b2≤a2＋1． 若a＝－2，則b＝－2，－1，1，2符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有4種不同取值； 若a＝－1，則b＝－1，1符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有2種不同取值； 若a＝1，則b＝－1，1符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有2種不同取值， 若a＝2，則b＝－2，－1，1，2符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有4種不同取值． ∴滿足條件的實數(shù)對(a，b)共有12種不同取值．∴． 故直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點的概率為．