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培優(yōu)點十一 數列求通項公式 1.累加、累乘法 例1：數列滿足：，且，求． 【答案】． 【解析】，，，， 累加可得：， ． 2．與的關系的應用 例2：在數列中，，，則的通項公式為_________． 【答案】． 【解析】∵當時，， ， 整理可得：，， 為公差為2的等差數列，， ，． 3．構造法 例3：數列中，，，求數列的通項公式． 【答案】． 【解析】設即，對比，可得， ，是公比為3的等比數列， ，． 對點增分集訓 一、單選題 1．由，給出的數列的第34項是（ ） A． B．100 C． D． 【答案】A 【解析】由，， 則，，， ，，， 由此可知各項分子為1，分母構成等差數列，首項，公差為， ∴，∴，故選A． 2．數列滿足，，則等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】時，，，，， ∴數列的周期是3，∴．故選B． 3．在數列中，若，且對任意正整數、，總有，則的前項和為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】遞推關系中，令可得：， 即恒成立， 據此可知，該數列是一個首項，公差的等差數列， 其前項和為：．故選C． 4．數列的前項和為，若，則的值為（ ） A．2 B．3 C．2017 D．3033 【答案】A 【解析】，故選A． 5．已知數列是遞增數列，且對，都有，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵是遞增數列，∴， ∵恒成立，即， ∴對于恒成立，而在時取得最大值， ∴，故選D． 6．在數列中，已知，，，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】將等式兩邊取倒數得到，， 是公差為的等差數列，， 根據等差數列的通項公式的求法得到，故．故選B． 7．已知數列的前項和，若，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得，．兩式相減可得：，． 即，．數列是從第二項起的等比數列，公比為4， 又，．∴，．∴．故選B． 8．已知是上的奇函數，，則數列的通項公式為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題已知是上的奇函數， 故，代入得：，， ∴函數關于點對稱， 令，則，得到， ∵，， 倒序相加可得，即，故選B． 9．在數列中，若，，則的值（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意，數列中，若，， 則， ∴， ∴，故選A． 10．已知數列的首項，且滿足，如果存在正整數， 使得成立，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意時， ， 由，即， ∴且，，， 其中最小項為，， 其中最大項為，因此．故選C． 11．已知數列滿足，，是數列的前項和，則（ ） A． B． C．數列是等差數列 D．數列是等比數列 【答案】B 【解析】數列數列滿足，， 當時，兩式作商可得：， ∴數列的奇數項，，，，成等比，偶數項，，，，成等比， 對于A來說，，錯誤； 對于B來說， ，正確； 對于C來說，數列是等比數列，錯誤； 對于D來說，數列不是等比數列，錯誤，故選B． 12．已知數列滿足：，．設，， 且數列是單調遞增數列，則實數λ的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵數滿足：，． ，化為， ∴數列是等比數列，首項為，公比為2， ∴，， ∵，且數列是單調遞增數列， ∴，∴，解得， 由，可得，對于任意的恒成立， ，故答案為．故選B． 二、填空題 13．已知數列的前項和為，且，則___________． 【答案】 【解析】數列的前項和為，且， ，兩式想減得到． 此時，檢驗當時，符合題意，故．故答案為． 14．數列中，若，，則______． 【答案】 【解析】∵，，則， ∴．故答案為． 15．設數列滿足，，___________． 【答案】 【解析】∵， ， ∴，，累加可得， ∵，， ∴．故答案為． 16．已知數列滿足，，則_______． 【答案】 【解析】令，則， 由題意可得， 即，整理可得， 令，則，由題意可得， 且，，故， 即，，，， 據此可知． 三、解答題 17．已知各項均為正數的數列的前項和為，且． （1）求； （2）設，求數列的前項和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意得，兩式作差得， 又數列各項均為正數，∴，即， 當時，有，得，則， 故數列為首項為2公差為2的等差數列，∴． （2）， ∴． 18．在數列中，，． （1）求證：數列是等差數列； （2）求數列的前項和． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）的兩邊同時除以，得， ∴數列是首項為4，公差為2的等差數列． （2）由（1），得， ∴，故， ∴ ．