2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.3 第1課時(shí) 公式推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修5.docx
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第1課時(shí) 公式推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路.2.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè).3.能用an與Sn的關(guān)系求an. 知識(shí)點(diǎn)一 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝10150迅速求出了等差數(shù)列前100項(xiàng)的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇數(shù)項(xiàng)還是偶數(shù)項(xiàng)怎么辦？ 答案 不知道共有奇數(shù)項(xiàng)還是偶數(shù)項(xiàng)導(dǎo)致不能配對(duì)．但我們可以采用倒序相加來(lái)回避這個(gè)問(wèn)題： 設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， 又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋… ＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)， ∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝. 梳理 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 已知量 首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù) 首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù) 選用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 知識(shí)點(diǎn)二 a1，d，n，an，Sn知三求二 思考 在等差數(shù)列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn? 答案 利用an＝a1＋(n－1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn＝或Sn＝na1＋d可求Sn. 梳理 (1)兩個(gè)公式共涉及a1，d，n，an及Sn五個(gè)基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)和前n項(xiàng)和． (2)依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量，即“知三求二”． 1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝Sn－Sn－1，n∈N*.() 2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等于其首項(xiàng)、第n項(xiàng)的等差中項(xiàng)的n倍．(√) 類(lèi)型一 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用 命題角度1 a1，d，n，an，Sn知三求二 例1 已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？ 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 解 方法一 由題意知S10＝310，S20＝1220， 將它們代入公式Sn＝na1＋d， 得到 解方程組得 ∴Sn＝n4＋6＝3n2＋n. 方法二 ∵S10＝＝310，∴a1＋a10＝62，① ∵S20＝＝1220，∴a1＋a20＝122， ② ②－①，得a20－a10＝60， ∴10d＝60， ∴d＝6，a1＝4. ∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n. 反思與感悟 (1)在解決與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意方程思想和整體思想的運(yùn)用． (2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二． 跟蹤訓(xùn)練1 在等差數(shù)列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 解 由 得 解方程組得或 命題角度2 實(shí)際應(yīng)用 例2 某人用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)一件家電，價(jià)格為1150元，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月，則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢(qián)？全部貸款付清后，買(mǎi)這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢(qián)？ 考點(diǎn) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 解 設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1，a2，…，a20， 則a1＝50＋10001%＝60， a2＝50＋(1000－50)1%＝59.5， … a10＝50＋(1000－950)1%＝55.5， 即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元． 由于{an}是以60為首項(xiàng)，以－0.5為公差的等差數(shù)列， 所以有S20＝20＝1105， 即全部付清后實(shí)際付款1105＋150＝1255. 反思與感悟 建立等差數(shù)列的模型時(shí)，要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練2 甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m. (1)甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？ (2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)每分鐘走5m，那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇？ 考點(diǎn) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 解 (1)設(shè)n分鐘后第1次相遇，由題意， 得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0. 解得n＝7，n＝－20(舍去)． 所以第1次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后7分鐘． (2)設(shè)n分鐘后第2次相遇，由題意， 得2n＋＋5n＝370， 整理得n2＋13n－420＝0. 解得n＝15，n＝－28(舍去)． 所以第2次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后15分鐘． 類(lèi)型二 由Sn與an的關(guān)系求an 例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？ 考點(diǎn) an與Sn關(guān)系 題點(diǎn) 由Sn公式求an 解 根據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知 Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)， 當(dāng)n>1時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－ ＝2n－， ① 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋1＝，也滿足①式． ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－. ∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2， 故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． 引申探究 若將本例中前n項(xiàng)和改為Sn＝n2＋n＋1，求通項(xiàng)公式． 解 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1 ＝－ ＝2n－. ① 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式． ∴an＝ 反思與感悟 已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an，先由n＝1時(shí)，a1＝S1求得a1，再由n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1求得an，最后驗(yàn)證a1是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示． 跟蹤訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n，求an. 考點(diǎn) an與Sn關(guān)系 題點(diǎn) 由Sn公式求an 解 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝23n－1. 當(dāng)n＝1時(shí)，代入an＝23n－1得a1＝2≠3. ∴an＝ 1．在等差數(shù)列{an}中，若S10＝120，則a1＋a10＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案 24 解析 由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24. 2．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數(shù)列的公差d為_(kāi)_______． 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案 3 解析 方法一 由解得d＝3. 方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3. 3．在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)運(yùn)用 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和與中間項(xiàng)的關(guān)系 答案 190 解析 S19＝＝ ＝19a10＝1910＝190. 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，則an＝________. 考點(diǎn) an與Sn關(guān)系 題點(diǎn) 由Sn公式求an 答案 3(n＋1) 解析 由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，① 得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，② ①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1) ＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)， ∴an＝3(n＋1)(n≥2)． 又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝123＝6也適合上式， ∴an＝3(n＋1)，n∈N*. 5．已知在等差數(shù)列{an}中： (1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an； (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 解 (1)∵Sn＝n＋＝－15， 整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)， a12＝＋(12－1)＝－4. ∴n＝12，an＝a12＝－4. (2)由Sn＝＝＝－1022，解得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d， 解得d＝－171. 1．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱(chēng)為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到． 2．等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個(gè)量．若已知其中三個(gè)量，通過(guò)方程思想可求另外兩個(gè)量．在利用求和公式時(shí)，要注意整體思想的應(yīng)用，注意下面結(jié)論的運(yùn)用： 若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)；若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap. 3．由Sn與an的關(guān)系求an主要使用an＝ 一、填空題 1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－1，則a4＝________. 考點(diǎn) an與Sn關(guān)系 題點(diǎn) 由Sn公式求an 答案 7 解析 a4＝S4－S3＝(42－1)－(32－1)＝7. 2．在等差數(shù)列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，則數(shù)列{an＋bn}的前100項(xiàng)的和為_(kāi)_______． 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案 10000 解析 由已知得{an＋bn}為等差數(shù)列，故其前100項(xiàng)的和為S100＝ ＝50(25＋75＋100)＝10000. 3．在－20與40之間插入8個(gè)數(shù)，使這10個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這10個(gè)數(shù)的和為_(kāi)_______． 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案 100 解析 S10＝＝100. 4．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a8＝8，則該數(shù)列的前9項(xiàng)和S9為_(kāi)_______． 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案 36 解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36. 5．在等差數(shù)列{an}中，若S10＝4S5，則＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)運(yùn)用 題點(diǎn) 兩等差數(shù)列和之比與項(xiàng)之比問(wèn)題 答案 解析 由題意得 10a1＋109d＝4， ∴10a1＋45d＝20a1＋40d， ∴10a1＝5d，∴＝. 6．在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為_(kāi)_____． 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案 665 解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)7<100， ∴n<15， ∴n＝14，S14＝142＋14137＝665. 7．在等差數(shù)列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，則S10＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案?。?5 解析 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9， ∵an<0，∴a3＋a8＝－3， ∴S10＝＝＝＝－15. 8．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，則a2＋a18＝________. 考點(diǎn) an與Sn關(guān)系 題點(diǎn) 由Sn公式求an 答案 34 解析 方法一 a2＝S2－S1＝(22－22)－(12－21)＝1， a18＝S18－S17＝182－218－(172－217)＝33. ∴a2＋a18＝34. 方法二 a2＋a18＝a1＋a19，S19＝＝192－219， ∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34. 9．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為_(kāi)_______． 考點(diǎn) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 答案 10 解析 鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個(gè)． ∴鋼管總數(shù)為1＋2＋3＋…＋n＝. 當(dāng)n＝19時(shí)，S19＝190.當(dāng)n＝20時(shí)，S20＝210>200. ∴當(dāng)n＝19時(shí)，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根． 10．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案 15 解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 則S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1， S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8. 由 解得 故a9＝a1＋8d＝－1＋82＝15. 11．在等差數(shù)列{an}中，an＝2n＋3，前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c為常數(shù))，則a－b＋c＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問(wèn)題 答案?。? 解析 因?yàn)閍n＝2n＋3，所以a1＝5，Sn＝＝n2＋4n，與Sn＝an2＋bn＋c比較，得a＝1，b＝4，c＝0，所以a－b＋c＝－3. 二、解答題 12．已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a,4,3a，前k項(xiàng)和Sk＝2550，求a及k. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 解 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則由題意得 ∴(k＝－51舍) ∴a＝2，k＝50. 13．已知數(shù)列{an}的所有項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝a＋an－. (1)證明：{an}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 考點(diǎn) an與Sn關(guān)系 題點(diǎn) 由Sn和an遞推式求通項(xiàng) (1)證明 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝a＋a1－， 解得a1＝3或a1＝－1(舍去)． 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)． 所以4an＝a－a＋2an－2an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. 因?yàn)閍n＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2)． 所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． (2)解 由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 三、探究與拓展 14．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O)，則S200＝________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問(wèn)題 答案 100 解 因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O)， 所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100. 15．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且bn＝，求非零常數(shù)c. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問(wèn)題 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>0. ∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117， ∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的兩個(gè)根． 又公差d>0， ∴a3下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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