《2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第9課時(shí) 二面角練習(xí) 理.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第9課時(shí) 二面角練習(xí) 理.doc（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第9課時(shí) 二面角 1．(2018皖南八校聯(lián)考)四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面是腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，則二面角V－AB－C的余弦值的大小為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　B 解析　如圖所示，取AB中點(diǎn)E，過V作底面的垂線，垂足為O，連接OE，VE，根據(jù)題意可知，∠VEO是二面角V－AB－C的平面角．因?yàn)镺E＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝，故選B. 2.如圖，三棱錐S－ABC中，棱SA，SB，SC兩兩垂直，且SA＝SB＝SC，則二面角A－BC－S的正切值為(　　) A．1 B. C. D．2 答案　C 解析　∵三棱錐S－ABC中，棱SA，SB，SC兩兩垂直，且SA＝SB＝SC，∴SA⊥平面SBC，且AB＝AC＝，如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接SD，AD，則SD⊥BC，AD⊥BC，則∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，設(shè)SA＝SB＝SC＝1，則SD＝，在Rt△ADS中，tan∠ADS＝＝＝，故選C. 另解：以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SA＝1，則S(0，0，0)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，易知＝(0，0，1)為平面SBC的一個(gè)法向量，設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，則即令z＝1，則n＝(1，1，1)為平面ABC的一個(gè)法向量，所以cos〈，n〉＝，故二面角A－BC－S的正切值為. 3．(2018福州質(zhì)量檢測(cè))三棱錐A－BCD中，△ABC為等邊三角形，AB＝2，∠BDC＝90，二面角A－BC－D的大小為150，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為(　　) A．7π B．12π C．16π D．28π 答案　D 解析　本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系、球的表面積．設(shè)球心為F，過點(diǎn)A作AO⊥平面BCD，垂足為O，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，OE，EF，則∠AEO＝30，AE＝3，AO＝，OE＝，EC＝，外接球球心F在過E且平行于AO的直線上，設(shè)FE＝x，外接球半徑為R，則R2＝3＋x2＝()2＋(－x)2，解得x＝2，R2＝7，則外接球的表面積為4πR2＝28π，故選D. 4.(2018浙江溫州中學(xué)模擬)如圖，四邊形ABCD，AB＝BD＝DA＝2，BC＝CD＝.現(xiàn)將△ABD沿BD折起，當(dāng)二面角A－BD－C處于[，]的過程中，直線AB與CD所成角的余弦值的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[，] C．[0，] D．[0，] 答案　D 解析　如圖所示，取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，∴∠AEC即為二面角A－BD－C的平面角． 而AC2＝AE2＋CE2－2AECEcos∠AEC＝4－2cos∠AEC，又∠AEC∈[，]， ∴AC∈[1，]，∴＝2cos〈，〉＝(－)＝－2＋ABBC＝1－∈[－，]， 設(shè)異面直線AB，CD所成的角為θ，∴0≤cosθ≤＝，故選D. 5.如圖，平面α與平面β相交成銳角θ，平面α內(nèi)的一個(gè)圓在平面β上的射影是離心率為的橢圓，則θ＝________． 答案　 解析　如圖，經(jīng)過平面α內(nèi)圓的圓心作平行于和垂直于二面角的棱的兩條直徑，則這兩條直徑在平面β上的射影是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，則短軸的延長(zhǎng)線和垂直于棱的直徑所在直線的夾角為二面角的平面角，記為θ.因?yàn)閑＝＝，所以＝，故cosθ＝＝，解得θ＝. 6.(2018甘肅天水一模)已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，PA＝AB＝1，PA⊥平面ABCD，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，記二面角P－ED－A的大小為θ，則tanθ的取值范圍為________． 答案　[，] 解析　由A點(diǎn)作AO⊥ED于O，連接PO， 則∠POA為二面角的平面角． tan∠POA＝＝. 又OA∈[，2]，∴tan∠POA∈[，]． 7．(2018滄州七校聯(lián)考)三棱錐A－BCD的三視圖如圖所示： 則二面角B－AD－C的正弦值為________． 答案　 解析　如圖，把三棱錐A－BCD放到長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5，3，4，△BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3，三棱錐A－BCD的高為4， 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，A(3，0，4)，C(3，5，0)，D(0，5，0)， ∴＝(3，－5，4)，＝(0，－5，0)，＝(3，0，0)． 設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ABD的一個(gè)法向量，∴n1⊥，n1⊥. ∴∴ 可取n1＝(4，0，－3)． 設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面ADC的一個(gè)法向量， ∵n2⊥，n2⊥， ∴∴ 可取n2＝(0，4，5)． cos〈n1，n2〉＝＝. ∴sin〈n1，n2〉＝＝. 即二面角B－AD－C的正弦值為. 8．(2018洛陽第一次統(tǒng)考)如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90，二面角F－AB－D是直二面角，BE∥AF，BC∥AD，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1. (1)證明：在平面BCE上，一定存在過點(diǎn)C的直線l與直線DF平行； (2)求二面角F－CD－A的余弦值． 答案　(1)略　(2) 解析　(1)由已知得，BE∥AF，AF?平面AFD，BE?平面AFD， ∴BE∥平面AFD. 同理可得，BC∥平面AFD. 又BE∩BC＝B，∴平面BCE∥平面AFD. 設(shè)平面DFC∩平面BCE＝l，則l過點(diǎn)C. ∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，平面DFC∩平面AFD＝DF， ∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在過點(diǎn)C的直線l，使得DF∥l. (2)∵平面ABEF⊥平面ABCD，F(xiàn)A?平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB， 又∠FAB＝90，∴AF⊥AB，∴AF⊥平面ABCD， ∵AD?平面ABCD，∴AF⊥AD.∵∠DAB＝90， ∴AD⊥AB. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由已知得，D(1，0，0)，C(2，2，0)，F(xiàn)(0，0，2)，∴＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)． 設(shè)平面DFC的法向量為n＝(x，y，z)， 則? 不妨取z＝1，則n＝(2，－1，1)， 不妨取平面ACD的一個(gè)法向量為m＝(0，0，1)， ∴cos〈m，n〉＝＝＝， 由于二面角F－CD－A為銳角， 因此二面角F－CD－A的余弦值為. 9．(2018安徽合肥二檢，理)如圖①，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，沿BE將△ABE折起至△PBE，如圖②所示，點(diǎn)P在平面BCDE上的射影O落在BE上． (1)求證：BP⊥CE； (2)求二面角B－PC－D的余弦值． 答案　(1)略　(2)－ 解析　(1)∵點(diǎn)P在平面BCDE上的射影O落在BE上， ∴PO⊥平面BCDE，∴PO⊥CE，由題意，易知BE⊥CE，又PO∩BE＝O， ∴CE⊥平面PBE，又∵BP?平面PBE， ∴BP⊥CE. (2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)O且平行于CD的直線為x軸，過點(diǎn)O且平行于BC的直線為y軸，PO所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則B(，－，0)，C(，，0)，D(－，，0)，P(0，0，)， ∴＝(－1，0，0)，＝(－，－，)，＝(，－，－)，＝(0，2，0)． 設(shè)平面PCD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則即令z1＝，可得n1＝(0，，)為平面PCD的一個(gè)法向量． 設(shè)平面PBC的法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 則即令z2＝，可得n2＝(2，0，)為平面PBC的一個(gè)法向量． ∴cos〈n1，n2〉＝＝， 由圖可知二面角B－PC－D為鈍角，故二面角B－PC－D的余弦值為－. 10．(2017山東，理)如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的，G是的中點(diǎn)． (1)設(shè)P是上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大?。? (2)當(dāng)AB＝3，AD＝2時(shí)，求二面角E－AG－C的大?。? 答案　(1)30　(2)60 解析　(1)因?yàn)锳P⊥BE，AB⊥BE，AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP?平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120，因此∠CBP＝30. (2)方法一：取的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH.因?yàn)椤螮BC＝120， 所以四邊形BEHC為菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC＝＝. 取AG中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC， 則EM⊥AG，CM⊥AG， 所以∠EMC為所求二面角的平面角． 又AM＝1，所以EM＝CM＝＝2. 在△BEC中，由于∠EBC＝120， 由余弦定理得EC2＝22＋22－222cos120＝12， 所以EC＝2，因此△EMC為等邊三角形， 故所求的二面角為60. 方法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BP，BA所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由題意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，，3)，C(－1，，0)， 故＝(2，0，－3)，＝(1，，0)，＝(2，0，3)，設(shè)m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的法向量． 由可得 取z1＝2，可得平面AEG的一個(gè)法向量m＝(3，－，2)． 設(shè)n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的法向量． 由可得取z2＝－2，可得平面ACG的一個(gè)法向量n＝(3，－，－2)．所以cos〈m，n〉＝＝.由圖形可知二面角E－AG－C為銳二面角，因此所求的角為60. 11．(2017廣州綜合測(cè)試一)如圖①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖②所示的幾何體． (1)求證：AB⊥平面ADC； (2)若AD＝1，二面角C－AB－D的平面角的正切值為，求二面角B－AD－E的余弦值． 答案　(1)略　(2) 解析　(1)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， 又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD. 因?yàn)锳B?平面ABD，所以DC⊥AB. 又折疊前后均有AD⊥AB，DC∩AD＝D， 所以AB⊥平面ADC. (2)由(1)知AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC，又AB⊥AD，所以二面角C－AB－D的平面角為∠CAD. 又DC⊥平面ABD，AD?平面ABD，所以DC⊥AD. 依題意tan∠CAD＝＝. 因?yàn)锳D＝1，所以CD＝. 設(shè)AB＝x(x>0)，則BD＝. 依題意△ABD∽△DCB，所以＝，即＝. 又x>0，解得x＝，故AB＝，BD＝，BC＝＝3. 方法一：如圖a所示，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，E(，，0)，A(，0，)，所以＝(，，0)，＝(，0，)． 由(1)知平面BAD的一個(gè)法向量為n＝(0，1，0)． 設(shè)平面ADE的法向量為m＝(x，y，z)， 由得 令x＝，得y＝－，z＝－， 所以m＝(，－，－)． 所以cos〈n，m〉＝＝－. 由圖可知二面角B－AD－E的平面角為銳角， 所以二面角B－AD－E的余弦值為. 方法二：因?yàn)镈C⊥平面ABD， 過點(diǎn)E作EF∥DC交BD于F，如圖b所示． 則EF⊥平面ABD. 因?yàn)锳D?平面ABD， 所以EF⊥AD. 過點(diǎn)F作FG⊥AD于G，連接GE，又EF∩FG于點(diǎn)F， 所以AD⊥平面EFG，因此AD⊥GE. 所以二面角B－AD－E的平面角為∠EGF. 由平面幾何知識(shí)求得， EF＝CD＝，F(xiàn)G＝AB＝， 所以EG＝＝. 所以cos∠EGF＝＝. 所以二面角B－AD－E的余弦值為.