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單元質(zhì)檢六　數(shù)列(A) (時(shí)間:45分鐘　滿分:100分) 一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分) 1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a6=15,S9=99,則等差數(shù)列{an}的公差是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.14 B.4 C.-4 D.-3 答案B 解析∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a6=15,S9=99, ∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11. ∴公差d=a6-a5=4. 2.已知公比為32的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且a3a11=16,則log2a16=(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案B 解析由等比中項(xiàng)的性質(zhì),得a3a11=a72=16. 因?yàn)閿?shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù),所以a7=4. 所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5. 3.在等差數(shù)列{an}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中項(xiàng),則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)的和為(　　) A.15 B.20 C.25 D.15或25 答案A 解析設(shè){an}的公差為d. ∵在等差數(shù)列{an}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中項(xiàng), ∴a1+3d=5,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得a1=-1,d=2, ∴S5=5a1+542d=5(-1)+54=15.故選A. 4.已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足3a1-a82+3a15=0,且a8=b10,則b3b17=(　　) A.9 B.12 C.16 D.36 答案D 解析由3a1-a82+3a15=0,得a82=3a1+3a15=3(a1+a15)=32a8,即a82-6a8=0. 因?yàn)閍8=b10≠0,所以a8=6,b10=6, 所以b3b17=b102=36. 5.設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則a1=(　　) A.-2 B.-1 C.12 D.23 答案B 解析∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0, 解得q=32,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1. 6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x(1-x).若數(shù)列{an}滿足a1=12,且an+1=11-an,則f(a11)= (　　) A.2 B.-2 C.6 D.-6 答案C 解析設(shè)x>0,則-x<0. 因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù), 所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x). 由a1=12,且an+1=11-an, 得a2=11-a1=11-12=2, a3=11-a2=11-2=-1, a4=11-a3=11-(-1)=12, …… 所以數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列, 即a11=a33+2=a2=2. 所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2(1+2)=6. 二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分) 7.(2018福建莆田質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an+1=2anan+1,則a6=　　　　　. 答案111 解析由an-an+1=2anan+1,得1an+1-1an=2, 即數(shù)列1an是以1a1=1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列. 所以1a6=1a1+52=11,即a6=111. 8.已知等比數(shù)列{an}滿足a2+8a5=0,設(shè)Sn是數(shù)列1an的前n項(xiàng)和,則S5S2=　　　　　　　. 答案-11 解析設(shè){an}的公比為q.由a2+8a5=0,得a1q+8a1q4=0, 解得q=-12.易知1an是等比數(shù)列,公比為-2,首項(xiàng)為1a1, 所以S2=1a1[1-(-2)2]1-(-2)=-1a1,S5=1a1[1-(-2)5]1-(-2)=11a1, 所以S5S2=-11. 三、解答題(本大題共3小題,共44分) 9.(14分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值. 解(1)設(shè){an}的公差為d,由題意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16. 10.(15分)已知數(shù)列{an}滿足an=6-9an-1(n∈N*,n≥2). (1)求證:數(shù)列1an-3是等差數(shù)列; (2)若a1=6,求數(shù)列{lg an}的前999項(xiàng)的和. (1)證明∵1an-3-1an-1-3=an-13an-1-9-1an-1-3=an-1-33an-1-9=13(n≥2),∴數(shù)列1an-3是等差數(shù)列. (2)解∵1an-3是等差數(shù)列,且1a1-3=13,d=13, ∴1an-3=1a1-3+13(n-1)=n3.∴an=3(n+1)n. ∴l(xiāng)gan=lg(n+1)-lgn+lg3. 設(shè)數(shù)列{lgan}的前999項(xiàng)的和為S, 則S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999) =999lg3+lg1000=3+999lg3. 11.(15分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=322n-1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解(1)由已知,當(dāng)n≥1時(shí), an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1 =3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1. 而a1=2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=22n-1. (2)由bn=nan=n22n-1知 Sn=12+223+325+…+n22n-1. ① 從而22Sn=123+225+327+…+n22n+1. ② ①-②,得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n22n+1, 即Sn=19[(3n-1)22n+1+2].