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9.6 拋物線及其性質
考綱解讀
考點
內容解讀
要求
高考示例
?？碱}型
預測熱度
1.拋物線的定義及其標準方程
掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質
掌握
2017課標全國Ⅱ,16;
2016課標全國Ⅰ,10;2016四川,8;
2016浙江,9;2015陜西,14;
2014湖南,15;2013廣東,20
選擇題
解答題
★★★
2.拋物線的幾何性質
掌握
2017課標全國Ⅰ,10;
2016天津,14;2015浙江,5;
2014上海,3;2013北京,7
選擇題
解答題
★★★
3.直線與拋物線的位置關系
掌握
2017北京,18;2016江蘇,22;
2014大綱全國,21;2014課標Ⅱ,10
選擇題
解答題
★★★
分析解讀 1.熟練掌握拋物線的定義及四種不同的標準方程形式.2.會根據拋物線的標準方程研究得出幾何性質,會由幾何性質確定拋物線的標準方程.3.能夠把直線與拋物線的位置關系的問題轉化為方程組解的問題,判斷位置關系及解決相關問題.4.本節(jié)在高考中以求拋物線的方程和研究拋物線的性質為主,分值約為12分,屬偏難題.
五年高考
考點一 拋物線的定義及其標準方程
1.(2016課標全國Ⅰ,10,5分)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準線的距離為( )
A.2 B.4
C.6 D.8
答案 B
2.(2016四川,8,5分)設O為坐標原點,P是以F為焦點的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點,M是線段PF上的點,且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為( )
A. B.
C. D.1
答案 C
3.(2017課標全國Ⅱ,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|= .
答案 6
4.(2016浙江,9,4分)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是 .
答案 9
教師用書專用(5—8)
5.(2015陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的準線經過雙曲線x2-y2=1的一個焦點,則p= .
答案 2
6.(2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a
0)經過C,F兩點,則= .
答案 1+
7.(2013廣東,20,14分)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為.設P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.
(1)求拋物線C的方程;
(2)當點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;
(3)當點P在直線l上移動時,求|AF||BF|的最小值.
解析 (1)依題意,設拋物線C的方程為x2=4cy,由題意易知=,且結合c>0,解得c=1.所以拋物線C的方程為x2=4y.
(2)拋物線C的方程為x2=4y,即y=x2,求導得y=x.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則切線PA,PB的斜率分別為x1,x2,所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.
因為切線PA,PB均過點P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.
所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.
(3)由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
聯立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.
由一元二次方程根與系數的關系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.
又點P(x0,y0)在直線l上,所以x0=y0+2,
所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.
所以當y0=-時,|AF||BF|取得最小值,且最小值為.
8.(2013湖南,21,13分)過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點F作斜率分別為k1,k2的兩條不同直線l1,l2,且k1+k2=2,l1與E相交于點A,B,l2與E相交于點C,D,以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在直線記為l.
(1)若k1>0,k2>0,證明:<2p2;
(2)若點M到直線l的距離的最小值為,求拋物線E的方程.
解析 (1)由題意得,拋物線E的焦點為F,直線l1的方程為y=k1x+.
由得x2-2pk1x-p2=0.
設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實數根.
從而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.
所以點M的坐標為,=(pk1,p).
同理可得點N的坐標為,=(pk2,p),
于是=p2(k1k2+).
由題設知k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,
所以00,所以點M到直線l的距離
d===.
故當k1=-時,d取最小值.由題設知=,解得p=8.故所求的拋物線E的方程為x2=16y.
考點二 拋物線的幾何性質
1.(2015浙江,5,5分)如圖,設拋物線y2=4x的焦點為F,不經過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是( )
A. B.
C. D.
答案 A
2.(2013四川,6,5分)拋物線y2=4x的焦點到雙曲線x2-=1的漸近線的距離是( )
A. B. C.1 D.
答案 B
3.(2016天津,14,5分)設拋物線(t為參數,p>0)的焦點為F,準線為l.過拋物線上一點A作l的垂線,垂足為B.設C,AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面積為3,則p的值為 .
答案
教師用書專用(4—5)
4.(2013北京,7,5分)直線l過拋物線C:x2=4y的焦點且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于( )
A. B.2 C. D.
答案 C
5.(2013江西,14,5分)拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,其準線與雙曲線-=1相交于A,B兩點,若△ABF為等邊三角形,則p= .
答案 6
考點三 直線與拋物線的位置關系
1.(2014課標Ⅱ,10,5分)設F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為( )
A. B. C. D.
答案 D
2.(2014遼寧,10,5分)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為( )
A. B. C. D.
答案 D
3.(2017北京,18,14分)已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點.
(1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程;
(2)求證:A為線段BM的中點.
解析 (1)由拋物線C:y2=2px過點P(1,1),得p=.
所以拋物線C的方程為y2=x.
拋物線C的焦點坐標為,準線方程為x=-.
(2)由題意,設直線l的方程為y=kx+(k≠0),l與拋物線C的交點為M(x1,y1),N(x2,y2).
由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
則x1+x2=,x1x2=.
因為點P的坐標為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點A的坐標為(x1,x1).直線ON的方程為y=x,點B的坐標為.
因為y1+-2x1=
=
===0,
所以y1+=2x1.
故A為線段BM的中點.
教師用書專用(4—5)
4.(2016江蘇,22,10分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).
(1)若直線l過拋物線C的焦點,求拋物線C的方程;
(2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.
①求證:線段PQ的中點坐標為(2-p,-p);
②求p的取值范圍.
解析 (1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為,
由點在直線l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.
所以拋物線C的方程為y2=8x.
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點M(x0,y0).
因為點P和Q關于直線l對稱,所以直線l垂直平分線段PQ,
于是直線PQ的斜率為-1,則可設其方程為y=-x+b.
①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)
因為P和Q是拋物線C上的相異兩點,所以y1≠y2,
從而Δ=(2p)2-4(-2pb)>0,化簡得p+2b>0.
方程(*)的兩根為y1,2=-p,從而y0==-p.
因為M(x0,y0)在直線l上,所以x0=2-p.
因此,線段PQ的中點坐標為(2-p,-p).
②因為M(2-p,-p)在直線y=-x+b上,
所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.
由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.
因此,p的取值范圍是.
5.(2014大綱全國,21,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程.
解析 (1)設Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.
由題設得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程為y2=4x.(5分)
(2)依題意知l與坐標軸不垂直,故可設l的方程為x=my+1(m≠0).
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中點為D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).
又l的斜率為-m,所以l的方程為x=-y+2m2+3.
將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
設M(x3,y3),N(x4,y4),
則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中點為E,
|MN|=|y3-y4|
=.(10分)
由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2,
即4(m2+1)2++
=.
化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)
三年模擬
A組 2016—2018年模擬基礎題組
考點一 拋物線的定義及其標準方程
1.(2018陜西西安一模,3)若拋物線y2=2px的焦點與雙曲線-=1的右焦點重合,則p的值為( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
答案 D
2.(2018云南昆明質檢,7)已知點M是拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,F為C的焦點,MF的中點坐標是(2,2),則p的值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
3.(2017皖北協作區(qū)3月聯考,3)已知拋物線C:x2=2py(p>0),若直線y=2x被拋物線所截弦長為4,則拋物線C的方程為( )
A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y
答案 C
4.(2017河南百校聯盟質檢,4)已知拋物線C:y2=4x上一點A到焦點F的距離與其到對稱軸的距離之比為5∶4,且|AF|>2,則點A到原點的距離為( )
A.3 B.4 C.4 D.4
答案 B
5.(2017河南新鄉(xiāng)二模,14)已知點A(1,y1),B(9,y2)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,y2>y1>0,點F是拋物線的焦點,若|BF|=5|AF|,則+y2的值為 .
答案 10
考點二 拋物線的幾何性質
6.(2018青海西寧模擬,8)拋物線y2=16x的焦點為F,點A在y軸上,且滿足||=||,B是拋物線的準線與x軸的交點,則=( )
A.-4 B.4
C.0 D.-4或4
答案 C
7.(2018貴州貴陽一模,8)過點M作圓x2+y2=1的切線l,l與x軸的交點為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點,l與拋物線E交于A、B兩點,則AB的中點到拋物線E的準線的距離為 ( )
A. B.3
C. D.4
答案 D
8.(2017江西紅色七校一聯,7)已知拋物線y=x2和y=-x2+5所圍成的封閉曲線如圖所示,給定點A(0,a),若在此封閉曲線上恰有三對不同的點,滿足每一對點關于點A對稱,則實數a的取值范圍是( )
A.(1,3) B.(2,4)
C. D.
答案 D
9.(2017江西九校聯考,14)已知過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點,|AF|=2,則|BF|= .
答案 2
考點三 直線與拋物線的位置關系
10.(2018河南安陽模擬,7)已知點A(-1,-2)在拋物線C:y2=2px(p>0)的準線上,記C的焦點為F,過點F且與x軸垂直的直線與拋物線交于M,N兩點,則線段MN的長為( )
A.4 B.2 C.2 D.1
答案 A
11.(2018四川南充模擬,7)如圖,過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于A,B兩點,交其準線于點C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,則p=( )
A.1 B.2 C. D.3
答案 B
12.(2017廣東汕頭一模,11)過拋物線C:x2=2y的焦點F的直線l交拋物線C于A,B兩點,若拋物線C在點B處的切線的斜率為1,則|AF|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
13.(人教A選2—1,二,2-4A,5,變式)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的一條直線與雙曲線x2-=1的一條漸近線平行,并交拋物線于A、B兩點,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,則拋物線的方程為( )
A.y2=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=x
答案 A
B組 2016—2018年模擬提升題組
(滿分:40分 時間:40分鐘)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.(2018河南開封一模,10)拋物線M:y2=4x的準線與x軸交于點A,點F為焦點,若拋物線M上一點P滿足PA⊥PF,則以F為圓心且過點P的圓被y軸所截得的弦長約為(參考數據:≈2.24)( )
A. B. C. D.
答案 D
2.(2017山西五校3月聯考,11)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(5,m)到焦點的距離為6,P、Q分別為拋物線C與圓M:(x-6)2+y2=1上的動點,當|PQ|取得最小值時,向量在x軸正方向上的投影為( )
A.2- B.2-1 C.1- D.-1
答案 A
二、填空題(每小題5分,共15分)
3.(2017河北唐山調研,15)已知拋物線x2=4y與圓C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)有公共點P,若拋物線在P點處的切線與圓C也相切,則r= .
答案
4.(2017河南商丘模擬,16)如圖所示,已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點恰好是橢圓+=1(a>b>0)的右焦點F,且兩曲線交點的連線也過焦點F,則該橢圓的離心率為 .
答案 -1
5.(2017湖北孝感模擬,16)已知拋物線x2=4py(p>0)的焦點為F,直線y=x+2與該拋物線交于A,B兩點,M是線段AB的中點,過M作x軸的垂線,垂足為N,若+(+)=-1-5p2,則p的值為 .
答案
三、解答題(共15分)
6.(2018遼寧大連模擬,20)如圖,已知過拋物線E:x2=4y的焦點F的直線交拋物線E于A、C兩點,經過點A的直線l1分別交y軸、拋物線E于點D、B(B與C不重合),∠FAD=∠FDA,經過點C作拋物線E的切線為l2.
(1)求證:l1∥l2;
(2)求三角形ABC面積的最小值.
解析 (1)證明:拋物線E:x2=4y的焦點為F(0,1),且直線AF的斜率一定存在,故設AF的方程為y=kx+1.
設A(x1,y1),C(x2,y2)(不妨設x2>0),
由得x2-4kx-4=0?x1+x2=4k,x1x2=-4,
∵∠FAD=∠FDA,∴|AF|=|DF|,y1+=yD-1,∴yD=y1+2.
∴直線l1的斜率k1==,
∵x1x2=-4,∴k1==x2,
又∵y=x,∴過C(x2,y2)的切線斜率k2=x2.
即k1=k2,∴l(xiāng)1∥l2.
(2)由(1)得直線l1的斜率為x2,故直線l1的方程為y=x2x++2,聯立得x2-2x2x--8=0,
∴x1+xB=2x2,x1xB=-(+8).
∴|AB|==2,
點C到直線l1的距離d=====,
三角形ABC的面積S=|AB|d=(x2-x1)3.
由(1)可得x2-x1=4,∴當k=0時,(x2-x1)min=4,
∴當k=0時,三角形ABC的面積S=(x2-x1)3取到最小值,Smin=43=16.
C組 2016—2018年模擬方法題組
方法1 求拋物線的標準方程的方法
1.(2018廣西欽州模擬,6)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M(x0,2)是拋物線C上一點,圓M與y軸相切且與線段MF相交于點A,若=2,則p等于( )
A.1 B.2 C.2 D.4
答案 B
2.(2017江西贛州二模,4)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上一點,若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍,且三角形OAF的面積為1,O為坐標原點,則p的值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
3.(2017福建福州模擬,14)函數y=ax-1(a>0且a≠1)的圖象恒過點P,則焦點在x軸上且過點P的拋物線的標準方程是 .
答案 y2=x
方法2 拋物線定義的應用策略
4.(2018湖南長沙模擬,7)已知點A(3,0),過拋物線y2=4x上一點P的直線與直線x=-1垂直相交于點B,若|PB|=|PA|,則點P的橫坐標為( )
A.1 B. C.2 D.
答案 C
5.(2018浙江溫州模擬,7)設拋物線的頂點在原點,其焦點在x軸上,又拋物線上的點A(-1,a)與焦點F的距離為2,則a=( )
A.4 B.4或-4 C.-2 D.-2或2
答案 D
6.(2018云南玉溪模擬,14)已知F是拋物線y=x2的焦點,M、N是該拋物線上的兩點,|MF|+|NF|=3,則線段MN的中點到x軸的距離為 .
答案
7.(2017福建四地六校4月模擬,15)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過點F與拋物線C交于A,B兩點,且|AB|=6,若AB的垂直平分線交x軸于P點,則P點的坐標為 .
答案 (4,0)
8.(2016陜西西安模擬,13)如圖,點F是拋物線y2=8x的焦點,點A,B分別在拋物線及圓(x-2)2+y2=16的實線部分上運動,且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長的取值范圍是 .
答案 (8,12)
方法3 解決直線與拋物線位置關系問題的方法
9.(2018廣東汕頭一模,9)過拋物線C:x2=2y的焦點F的直線l交拋物線C于A、B兩點,若拋物線C在點B處的切線斜率為1,則線段|AF|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
10.(2017湖南長沙長郡中學模擬,20)在平面直角坐標系xOy中,過點C(2,0)的直線與拋物線y2=4x相交于A、B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求證:y1y2為定值;
(2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值?如果存在,求出該直線的方程和弦長,如果不存在,說明理由.
解析 (1)證明:設直線AB的方程為my=x-2.由得y2-4my-8=0,∴y1y2=-8,為定值.
(2)存在.設存在直線x=a滿足條件.設AC的中點為E,則E,|AC|=,
因此以AC為直徑的圓的半徑r=|AC|==,點E到直線x=a的距離d=,
所以所截弦長為2=2==.
當1-a=0,即a=1時,弦長為定值2,這時直線方程為x=1.
2019高考數學一輪復習 第九章 平面解析幾何 9.6 拋物線及其性質練習 理.doc
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