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11.2　古典概型與幾何概型 考綱解讀 考點 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預測熱度 1.古典概型 ①理解古典概型及其概率計算公式; ②會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 掌握 2017山東,8; 2016天津,16; 2015廣東,4; 2014陜西,6 選擇題 解答題 ★★★ 2.幾何概型 ①了解隨機數(shù)的意義,能運用模擬方法估計概率; ②了解幾何概型的意義 了解 2017課標全國Ⅰ,2; 2016課標全國Ⅰ,4; 2015湖北,7 選擇題 ★☆☆ 分析解讀　1.掌握在古典概型條件下,能應用任何事件的概率公式解決實際問題.2.通過實例,理解幾何概型及其概率計算公式,并會運用公式求解一些簡單的有關(guān)概率的問題.本節(jié)在高考中單獨命題時,通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn),分值約為5分,屬中低檔題.隨機事件,古典概型與隨機變量的分布列,期望與方差等綜合在一起考查時一般以解答題形式出現(xiàn),分值約為12分,屬中檔題. 五年高考 考點一　古典概型 1.(2017山東,8,5分)從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　C 2.(2015廣東,4,5分)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球,其中有10個白球,5個紅球.從袋中任取2個球,所取的2個球中恰有1個白球,1個紅球的概率為(　　) A. B. C. D.1 答案　B 3.(2014陜西,6,5分)從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 4.(2016天津,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會. (1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率; (2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望. 解析　(1)由已知,有P(A)==. 所以,事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==. 所以,隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0+1+2=1. 教師用書專用(5—11) 5.(2016江蘇,7,5分)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是　　　　. 答案　 6.(2014江蘇,4,5分)從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù),則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是　　　　. 答案　 7.(2014江西,12,5分)10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是　　　　. 答案　 8.(2014廣東,11,5分)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數(shù),則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為　　　　. 答案　 9.(2013江蘇,7,5分)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以任意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為　　　　. 答案　 10.(2013重慶,18,13分)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次摸獎中,摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球,再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球.根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù),設(shè)一、二、三等獎如下: 獎　級 摸出紅、藍球個數(shù) 獲獎金額 一等獎 3紅1藍 200元 二等獎 3紅0藍 50元 三等獎 2紅1藍 10元 其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級. (1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率; (2)求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額X的分布列與期望E(X). 解析　設(shè)Ai表示摸到i個紅球,Bj表示摸到j個藍球,則Ai(i=0,1,2,3)與Bj(j=0,1)獨立. (1)恰好摸到1個紅球的概率為P(A1)==. (2)X的所有可能的值為:0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)==, P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)==, P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)===, P(X=0)=1---=. 綜上知X的分布列為 X 0 10 50 200 P 從而有E(X)=0+10+50+200=4(元). 11.(2013湖南,18,12分)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗,一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米. (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率; (2)從所種作物中隨機選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望. 解析　(1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12,從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結(jié)果有=36種.選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種. 故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物,它們恰好“相近”的概率為=. (2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列. 因為P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4). 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可. 記nk為其“相近”作物恰有k(k=1,2,3,4)株的作物株數(shù),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由P(X=k)=得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)==. 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 所求的數(shù)學期望為 E(Y)=51+48+45+42==46. 考點二　幾何概型 1.(2017課標全國Ⅰ,2,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 2.(2016課標全國Ⅰ,4,5分)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　B 3.(2014湖北,7,5分)由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1,不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2,在Ω1中隨機取一點,則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 4.(2017江蘇,7,5分)記函數(shù)f(x)=的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數(shù)x,則x∈D的概率是　　　　. 答案　 5.(2016山東,14,5分)在[-1,1]上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為　　　　. 答案　 教師用書專用(6—11) 6.(2015湖北,7,5分)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≥”的概率,p2為事件“|x-y|≤”的概率,p3為事件“xy≤”的概率,則(　　) A.p10”發(fā)生的概率為　　　　. 答案　 三年模擬 A組　2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組 考點一　古典概型 1.(2018廣東興寧沐彬中學第二次月考,9)“微信搶紅包”自2015年以來異常火爆,在某個微信群某次進行的搶紅包活動中,若所發(fā)紅包的總金額為8元,被隨機分配為1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元,共5份,供甲、乙等5人搶,每人只能搶一次,則甲、乙二人搶到的金額之和不低于3.5元的概率是　(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　B 2.(2017高考押題卷(一),4)世界最大口徑射電望遠鏡FAST于2016年9月25日在貴州省黔南州落成啟用,它被譽為“中國天眼”,從選址到啟用歷經(jīng)22年,FAST選址時對一萬多個地方逐一審查,為了加快選址的工作進度,將初選地方分配給工作人員進行審查.若分配給某個研究員8個地方,其中有3個地方是貴州省的,某月該研究員從這8個地方中任選2個地方進行實地研究,則這個月他能到貴州省的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 3.(2017福建福州外國語學校上學期適應性測試(一),7)2位男生和3位女生共5位同學站成一排,則3位女生中有且只有兩位女生相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 4.(人教A必3,三,3-2-1,例3,變式)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,向上的點數(shù)之差的絕對值為3的概率是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　B 考點二　幾何概型 5.(2018河北衡水高考模擬聯(lián)考,2)如圖所示是一個長方形,其內(nèi)部陰影部分為兩個半圓,在此圓形中任取一點,則此點取自陰影部分的概率為(　　) A. B. C.1- D.1- 答案　B 6.(2017陜西榆林二模,4)若函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,e]上隨機取一個實數(shù)x,則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.1- C. D. 答案　B 7.(2017湖南永州第一次模擬,8)如圖所示的陰影部分是由x軸,直線x=1及曲線y=ex-1圍成的,現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機投擲一點,則該點落在陰影部分的概率是(　　) A. B. C.1- D. 答案　D 8.(2017北京師大附中期中,14)已知菱形ABCD的邊長為4,∠ABC=150,若在菱形內(nèi)任取一點,則該點到菱形的四個頂點的距離均不小于1的概率為　　　　. 答案　1- B組　2016—2018年模擬提升題組 (滿分:45分　時間:30分鐘) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2018廣西柳州高級中學、南寧第二中學第二次聯(lián)考,10)老師計劃在晚修19:00—20:00解答甲、乙兩名學生的問題,預計解答完一名學生的問題需要20分鐘.若甲、乙兩人在晚修內(nèi)的任意時刻去問問題是相互獨立的,則兩人獨自去時不需要等待的概率為　(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　B 2.(2018陜西西安長安區(qū)第一中學第八次質(zhì)量檢測,9)如圖,三行三列的方陣中有9個數(shù)aij(i=1,2,3; j=1,2,3),從中任取三個數(shù),則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 3.(2017湖北襄陽優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考,10)已知λ=3x2dx,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,則在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)任取一點P,使得≥λ的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 4.(2017山西大學附中第二次模擬,10)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=-20,在區(qū)間(3,5)內(nèi)任取一個實數(shù)作為數(shù)列{an}的公差,則Sn的最小值僅為S6的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 5.(2016湖北華師一附中3月聯(lián)考,5)在區(qū)間[0,4]上隨機取兩個實數(shù)x,y,使得x+2y≤8的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　D 二、填空題(共5分) 6.(2018江西重點中學盟校第一次聯(lián)考,14)從左至右依次站著甲、乙、丙3個人,從中隨機抽取2個人進行位置調(diào)換,則經(jīng)過兩次這樣的調(diào)換后,甲在乙左邊的概率是　　　　. 答案　 三、解答題(共15分) 7.(2018廣東佛山三水區(qū)實驗中學第一次模擬,19)某游樂園為吸引游客推出了一項有獎轉(zhuǎn)盤活動.如圖所示,假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻,每個游客憑門票只可以參與一次活動,一次活動需轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,工作人員便會記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y,獎勵規(guī)則如下: ①若xy≤3,則獎勵玩具一個; ②若xy≥8,則獎勵水杯一個; ③其余情況則獎勵飲料一瓶. (1)求在一次活動中獲得玩具的概率; (2)請比較一次活動中獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由. 解析　(1)用數(shù)對(x,y)表示游客轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應.因為S中元素個數(shù)是44=16,所以基本事件總數(shù)n=16. 記“xy≤3”為事件A,則事件A包含的基本事件共有5個, 為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=, 故在一次活動中獲得玩具的概率為. (2)記“xy≥8”為事件B,“3,所以獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. C組　2016—2018年模擬方法題組 方法1　古典概型及其求解方法 1.(2017山西呂梁孝義高考熱身試題,5)大廈一層有A,B,C,D四部電梯,3人在一層乘坐電梯上樓,則其中2人恰好乘坐同一部電梯的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　A 2.(2017江西宜春二模,9)將一個質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次,記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b,若已知出現(xiàn)了點數(shù)5,則使不等式a-b+3>0成立的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 3.(2018上海復旦大學附屬中學月考,10)從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取兩個數(shù),要使取到的一個數(shù)大于k,另一個數(shù)小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是,則k=　　　　. 答案　7 方法2　幾何概型的概率求法 4.(2017湖南長沙四縣3月聯(lián)考,4)如圖,在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器,圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切,圓錐的頂點在魚缸的缸底上,現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食,則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是(　　) A.1- B. C. D.1- 答案　A 5.(2017湖北黃石調(diào)研,9)假設(shè)小明家訂了一份牛奶,送奶工在早上6:00~7:00之間隨機地把牛奶送到小明家,而小明在早上6:30~7:30之間隨機地離家上學,則小明在離開家前能收到牛奶的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 6.(2018廣東東莞模擬,14)已知|x|≤2,|y|≤2,點P的坐標為(x,y),當x,y∈R時,滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率為　　　　. 答案