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大題精做11 圓錐曲線：存在性問(wèn)題 [2019株洲一模]已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上， 且軸，的周長(zhǎng)為6． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得恒成立？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，． 【解析】（1）由題意，，，， ∵的周長(zhǎng)為6，∴， ∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件． ①當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，，， ∴， ∴當(dāng)時(shí)，； ②當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，， 聯(lián)立，化簡(jiǎn)得， ∴，． ∴ ， ∴，解得，即時(shí)，； 綜上所述，當(dāng)時(shí)，． 1．[2019宜昌調(diào)研]已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，是橢圓的上焦點(diǎn)． 問(wèn)：是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 2．[2019江西聯(lián)考]已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn))，且． （1）求拋物線的方程； （2）若直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，是否存在實(shí)數(shù)及定點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)， 都有？若存在，求出的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 3．[2019哈三中期末]在圓上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足， 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)線段中點(diǎn)的軌跡為． （1）求的方程； （2）試問(wèn)在上是否存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo) 原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  1．【答案】（1）；（2）存在直線或． 【解析】（1）∵，，且有，解得，， ∴橢圓的方程為． （2）由題可知的斜率一定存在，設(shè)為，設(shè)，， 聯(lián)立， ∴， ∵，∴為線段的中點(diǎn)，∴……④， 將④代入②解得……⑤ 將④代入③得……⑥ 將⑤代入⑥解得……⑦ 將⑦式代入①式檢驗(yàn)成立， ∴，即存在直線或合題意． 2．【答案】（1）；（2）存在及點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有． 【解析】（1）由得點(diǎn)橫坐標(biāo)為， 由拋物線定義及得，，所以， 所以拋物線的方程為． （2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)及定點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有， 設(shè)，，， 聯(lián)立，得， 則，，， 由，得 ， 所以，，，當(dāng)時(shí)不滿足題意，所以， 即存在及點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有． 3．【答案】（1）；（2）存在，． 【解析】（1）設(shè)，則點(diǎn)， 將代入圓，可得， 的方程為． （2）顯然，直線存在斜率，設(shè)直線的方程為， 聯(lián)立，消去并整理得， ，化為， 設(shè)，，則，， 依題意，可得，， 又， ， ，解得， 由的中點(diǎn)在直線上， ， ，化為， 把代入化為，解得（舍去）或， ，解得，滿足，即滿足， 在上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)， 直線的方程為．