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第一章 統(tǒng)計案例 章末復習 學習目標　1.理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.2.會求回歸直線方程，并用回歸直線進行預報． 1．22列聯(lián)表 22列聯(lián)表如表所示： B 合計 A n11 n12 n1＋ n21 n22 n2＋ 合計 n＋1 n＋2 n 其中n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22， n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22， n＝n11＋n21＋n12＋n22. 2．最小二乘法 對于一組數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n，如果它們線性相關，則回歸直線方程為＝x＋，其中＝＝，＝－ . 3．獨立性檢驗 常用統(tǒng)計量 χ2＝來檢驗兩個變量是否有關系． 類型一　獨立性檢驗 例1　為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班48人進行了問卷調(diào)查得到了如下的22列聯(lián)表： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 6 女生 10 合計 48 已知在全班48人中隨機抽取1人，抽到喜愛打籃球的學生的概率為. (1)請將上面的22列聯(lián)表補充完整；(不用寫計算過程) (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜愛打籃球與性別有關？說明你的理由． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的綜合應用 解　(1)列聯(lián)表補充如下： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合計 32 16 48 (2)由χ2＝≈4.286. 因為4.286>3.841，所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜愛打籃球與性別有關． 反思與感悟　通過公式χ2＝ 計算出χ2的值，再與臨界值作比較，最后得出結論． 跟蹤訓練1　奧運會期間，為調(diào)查某高校學生是否愿意提供志愿者服務，用簡單隨機抽樣方法從該校調(diào)查了60人，結果如下： 是否愿意提供 志愿者服務 性別 愿意 不愿意 男生 20 10 女生 10 20 (1)用分層抽樣的方法在愿意提供志愿者服務的學生中抽取6人，其中男生抽取多少人？ (2)你能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該高校學生是否愿意提供志愿者服務與性別有關？ 下面的臨界值表供參考： P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 考點　獨立性檢驗思想的應用 題點　獨立性檢驗在分類變量中的應用 解　(1)由題意，可知男生抽取6＝4(人)． (2)χ2＝≈6.667，由于6.667＞6.635，所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該高校學生是否愿意提供志愿者服務與性別有關． 類型二　線性回歸分析 例2　某城市理論預測2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關系如表所示： 年份201x(年) 0 1 2 3 4 人口數(shù)y(十萬) 5 7 8 11 19 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸直線方程＝x＋； (3)據(jù)此估計2019年該城市人口總數(shù)． 考點　回歸分析思想的應用 題點　回歸分析思想的應用 解　(1)散點圖如圖： (2)因為＝＝2， ＝＝10， iyi＝05＋17＋28＋311＋419＝132， ＝02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以＝＝3.2， ＝－ ＝3.6. 所以回歸直線方程為＝3.2x＋3.6. (3)令x＝9，則＝3.29＋3.6＝32.4， 故估計2019年該城市人口總數(shù)為32.4(十萬)． 反思與感悟　解決回歸分析問題的一般步驟 (1)畫散點圖．根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點圖． (2)判斷變量的相關性并求回歸方程．通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關關系；在此基礎上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫出回歸方程． (3)實際應用．依據(jù)求得的回歸方程解決實際問題． 跟蹤訓練2　某運動員訓練次數(shù)與運動成績之間的數(shù)據(jù)關系如下： 次數(shù)x 30 33 35 37 39 44 46 50 成績y 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散點圖； (2)求出回歸直線方程； (3)計算相關系數(shù)并進行相關性檢驗； (4)試預測該運動員訓練47次及55次的成績． 解　(1)作出該運動員訓練次數(shù)x與成績y之間的散點圖，如圖所示，由散點圖可知，它們之間具有線性相關關系． (2)列表計算： 次數(shù)xi 成績yi x y xiyi 30 30 900 900 900 33 34 1 089 1 156 1 122 35 37 1 225 1 369 1 295 37 39 1 369 1 521 1 443 39 42 1 521 1 764 1 638 44 46 1 936 2 116 2 024 46 48 2 116 2 304 2 208 50 51 2 500 2 601 2 550 由上表可求得＝39.25，＝40.875，x＝12 656， y＝13 731，xiyi＝13 180， ∴ ＝≈1.041 5， ＝－ ＝－0.003 88， ∴回歸直線方程為y＝1.041 5x－0.003 88. (3)計算相關系數(shù)r＝0.992 7，因此運動員的成績和訓練次數(shù)兩個變量有較強的相關關系． (4)由上述分析可知，我們可用回歸直線方程y＝1.041 5x－0.003 88作為該運動員成績的預報值． 將x＝47和x＝55分別代入該方程可得y≈49和y≈57.故預測該運動員訓練47次和55次的成績分別為49和57. 1．從某地區(qū)老人中隨機抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示，則(　　) 性別 人數(shù) 生活能否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 A.有95%的把握認為老人生活能否自理與性別有關 B．有99%的把握認為老人生活能否自理與性別有關 C．沒有充分理由認為老人生活能否自理與性別有關 D．以上都不對 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的思想 答案　C 解析　經(jīng)計算，得χ2＝ ≈2.925<3.841， 故我們沒有充分的理由認為老人生活能否自理與性別有關． 2．“回歸”一詞是在研究子女的身高與父母的身高之間的遺傳關系時由高爾頓提出的，他的研究結果是子代的平均身高向中心回歸．根據(jù)他的結論，在兒子的身高y與父親的身高x的回歸直線方程＝x＋中，的值(　　) A．在(－1,0)內(nèi) B．等于0 C．在(0,1)內(nèi) D．在[1，＋∞)內(nèi) 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應用 答案　C 解析　子代平均身高向中心回歸，應為正的真分數(shù)，故選C. 3．四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸方程，分別得到以下四個結論： ①y與x負相關且＝2.347x－6.423； ②y與x負相關且＝－3.476x＋5.648； ③y與x正相關且＝5.437x＋8.493； ④y與x正相關且＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結論的序號是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應用 答案　D 解析　①中，回歸方程中x的系數(shù)為正，不是負相關；④中，回歸方程中x的系數(shù)為負，不是正相關，所以①④一定不正確． 4．對于回歸直線方程＝x＋，當x＝3時，對應的y的估計值是17，當x＝8時，對應的y的估計值是22，那么，該回歸直線方程是________，根據(jù)回歸直線方程判斷當x＝________時，y的估計值是38. 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應用 答案?。絰＋14　24 解析　首先把兩組值代入回歸直線方程，得 解得 所以回歸直線方程是＝x＋14. 令x＋14＝38，可得x＝24，即當x＝24時，y的估計值是38. 1．建立回歸模型的基本步驟 (1)確定研究對象，明確哪個變量是自變量，哪個變量是因變量． (2)畫出散點圖，觀察它們之間的關系． (3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型． (4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)． 2．獨立性檢驗是對兩個分類變量間是否存在相關關系的一種案例分析方法. 一、選擇題 1．當χ2>3.841時，認為事件A與事件B(　　) A．有95%的把握有關 B．有99%的把握有關 C．沒有理由說它們有關 D．不確定 答案　A 2．下表顯示出樣本中變量y隨變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 14 18 19 20 23 25 28 A.線性函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型 C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型 考點　回歸分析 題點　建立回歸模型的基本步驟 答案　A 解析　畫出散點圖(圖略)可以得到這些樣本點在某一條直線上或在該直線附近，故最可能是線性函數(shù)模型． 3．下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散點圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關關系，其回歸直線方程是＝－0.7x＋，則等于(　　) A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25 考點　回歸直線方程 題點　樣本中心點的應用 答案　D 解析　樣本點的中心為(2.5,3.5)，將其代入回歸直線方程可解得＝5.25. 4．據(jù)統(tǒng)計，用于數(shù)學學習的時間(單位：小時)與成績(單位：分)近似于線性相關關系，對某小組每周用于數(shù)學學習時間x與數(shù)學成績y進行數(shù)據(jù)收集如表： x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 115 120 由表中樣本數(shù)據(jù)求回歸直線方程＝x＋，則點(，)與直線x＋18y＝110的位置關系為(　　) A．點在直線左側 B．點在直線右側 C．點在直線上 D．無法確定 考點　回歸直線方程 題點　樣本點中心的性質(zhì) 答案　C 解析　由題意知＝18，＝110，樣本點中心為(18,110)在回歸直線上，故110＝18＋，即點(，)在直線上． 5．某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(單位：千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(單位：千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有線性相關關系，回歸直線方程為＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消費水平為7.675千元，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為(　　) A．83% B．72% C．67% D．66% 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應用 答案　A 解析　將y＝7.675代入回歸直線方程，可計算得x≈9.26，所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.6759.26≈0.83，即約為83%. 6．已知變量x和y滿足關系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關．下列結論中正確的是(　　) A．x與y正相關，x與z負相關 B．x與y正相關，x與z正相關 C．x與y負相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應用 答案　C 解析　因為y＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x與y負相關．又y與z正相關，故可設z＝ay＋b(a>0)，所以z＝－0.1ax＋a＋b，－0.1a<0，所以x與z負相關．故選C. 二、填空題 7．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)： x 0 2 4 6 y a 3 5 3a 已求得關于y與x的回歸直線方程為 ＝1.2x＋0.55，則a＝________. 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應用 答案　2.15 解析?。?，＝a＋2，將(3，a＋2)代入方程，得a＋2＝3.6＋0.55，解得a＝2.15. 8．某工廠為了新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單位x(元) 4 5 6 7 8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 由表中數(shù)據(jù)，求得回歸直線方程為 ＝－4x＋ ，若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線左下方的概率為________． 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應用 答案　 解析　由表中數(shù)據(jù)得＝6.5，＝80，由點(，)在直線 ＝－4x＋ 上，得 ＝106，即回歸直線方程為 ＝－4x＋106，經(jīng)過計算只有點(9,68)和(5,84)在直線的左下方，故所求概率為＝. 9．某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入之間的關系，隨機調(diào)查了部分工人，得到如下表所示的22列聯(lián)表(單位：人)： 月收入2 000元以下 月收入2 000元及以上 總計 高中文化以上 10 45 55 高中文化及以下 20 30 50 總計 30 75 105 由22列聯(lián)表計算可知，我們有________以上的把握認為“文化程度與月收入有關系”. P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　97.5% 解析　由表中的數(shù)據(jù)可得χ2＝≈6.109， 由于6.109>5.024， 所以我們有97.5%以上的把握認為“文化程度與月收入有關系”． 10．某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設H0：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用22列聯(lián)表計算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.則下列結論中，正確結論的序號是________． ①在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為“這種血清能起到預防感冒的作用”； ②若某人未使用該血清，則他在一年中有95%的可能性得感冒； ③這種血清預防感冒的有效率為95%. 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案?、? 解析　查臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”.95%僅是指“血清與預防感冒有關”的可信程度，但也有“在100個使用血清的人中一個患感冒的人也沒有”的可能．故答案為①. 三、解答題 11．某城區(qū)為研究城鎮(zhèn)居民家庭月人均生活費支出和月人均收入的相關關系，隨機抽取10戶進行調(diào)查，其結果如下： 月人均收入x(元) 300 390 420 520 570 月人均生活費y(元) 255 324 335 360 450 月人均收入x(元) 700 760 800 850 1 080 月人均生活費y(元) 520 580 600 630 750 (1)作出散點圖； (2)求出回歸直線方程； (3)試預測月人均收入為1 100元和月人均收入為1 200元的兩個家庭的月人均生活費． 考點　 題點　 解　(1)作出散點圖如圖所示，由圖可知月人均生活費與月人均收入之間具有較強的線性相關關系． (2)通過計算可知＝639，＝480.4， x＝4 610 300，xiyi＝3 417 560， ∴ ＝≈0.659 9， ＝－＝58.723 9， ∴回歸直線方程為 ＝0.659 9x＋58.723 9. (3)由以上分析可知，我們可以利用線性回歸方程 ＝0.659 9x＋58.723 9來計算月人均生活費的預測值． 將x＝1 100代入，得y≈784.61， 將x＝1 200代入，得y≈850.60. 故預測月人均收入分別為1 100元和1 200元的兩個家庭的月人均生活費分別為784.61元和850.60元． 12．某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結果如下表： 甲廠： 分組 [29.86，29.90) [29.90，29.94) [29.94，29.98) [29.98，30.02) [30.02，30.06) [30.06，30.10) [30.10，30.14] 頻數(shù) 12 63 86 182 92 61 4 乙廠： 分組 [29.86，29.90) [29.90，29.94) [29.94，29.98) [29.98，30.02) [30.02，30.06) [30.06，30.10) [30.10，30.14] 頻數(shù) 29 71 85 159 76 62 18 (1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率； (2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的22列聯(lián)表，并問能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”？ 甲廠 乙廠 合計 優(yōu)質(zhì)品 非優(yōu)質(zhì)品 合計 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 解　(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為＝72%； 乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為＝64%. (2)22列聯(lián)表如下： 甲廠 乙廠 合計 優(yōu)質(zhì)品 360 320 680 非優(yōu)質(zhì)品 140 180 320 合計 500 500 1 000 χ2＝≈7.353>6.635， 所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異．” 四、探究與拓展 13．某校高一年級理科有8個班，在一次數(shù)學考試中成績情況分析如下： 班級 1 2 3 4 5 6 7 8 大于145分的人數(shù) 6 6 7 3 5 3 3 7 不大于145分的人數(shù) 39 39 38 42 40 42 42 38 附：xiyi＝171，x＝204. 求145分以上人數(shù)y對班級序號x的回歸直線方程．(精確到0.000 1) 考點　獨立性檢驗思想的應用 題點　獨立性檢驗與回歸直線方程、期望的綜合應用 解?。?.5，＝5，xiyi＝171，x＝204， ＝＝ ＝－≈－0.214 3， ＝－＝5－(－0.214 3)4.5≈5.964 4， ∴回歸直線方程為＝－0.214 3x＋5.964 4.