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大題精做3 統(tǒng)計概率：分類、分步原理的應(yīng)用 [2019黃山一模]2015年11月27日至28日，中共中央扶貧開發(fā)工作會議在北京召開，為確保到2020年所有貧困地區(qū)和貧困人口一道邁入全面小康社會. 黃山市深入學習貫徹習近平總書記關(guān)于扶貧開發(fā)工作的重要論述及系列指示精神，認真落實省委、省政府一系列決策部署，精準扶貧、精準施策，各項政策措施落到實處，脫貧攻堅各項工作順利推進，成效明顯.貧困戶楊老漢就是扶貧政策受益人之一.據(jù)了解，為了幫助楊老漢早日脫貧，負責楊老漢家的扶貧隊長、扶貧副隊長和幫扶責任人經(jīng)常到他家走訪,其中扶貧隊長每天到楊老漢家走訪的概率為，扶貧副隊長每天到楊老漢家走訪的概率為，幫扶責任人每天到楊老漢家走訪的概率為． （1）求幫扶責任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率； （2）設(shè)扶貧隊長、副隊長、幫扶責任人三人某天到楊老漢家走訪的人數(shù)為，求的分布列； （3）楊老漢對三位幫扶人員非常滿意，他對別人說:“他家平均每天至少有1人走訪”，請問：他說的是真的嗎？ 【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）真的． 【解析】（1）設(shè)幫扶責任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的事件為，則， ∴幫扶責任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率為． （2）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3． ； ； ； ． 隨機變量的分布列為． 0 1 2 3 （3），∴，∴楊老漢說的是真的． 1．[2019甘肅期末]已知甲、乙兩名工人在同樣條件下每天各生產(chǎn)100件產(chǎn)品，且每生產(chǎn)1件正品可獲利20元，生產(chǎn)1件次品損失30元，甲，乙兩名工人100天中出現(xiàn)次品件數(shù)的情況如表所示． 甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件 0 1 2 3 4 對應(yīng)的天數(shù)/天 40 20 20 10 10 乙每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件 0 1 2 3 對應(yīng)的天數(shù)/天 30 25 25 20 （1）將甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)記為（單位：件），日利潤記為（單位：元），寫出與的函數(shù)關(guān)系式； （2）如果將統(tǒng)計的100天中產(chǎn)生次品量的頻率作為概率，記表示甲、乙兩名工人1天中各自日利潤不少于1950元的人數(shù)之和，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望． 2．[2019濟南期末]某企業(yè)生產(chǎn)了一種新產(chǎn)品，在推廣期邀請了100位客戶試用該產(chǎn)品，每人一臺．試用一個月之后進行回訪，由客戶先對產(chǎn)品性能作出“滿意”或“不滿意”的評價，再讓客戶決定是否購買該試用產(chǎn)品（不購買則可以免費退貨，購買則僅需付成本價）．經(jīng)統(tǒng)計，決定退貨的客戶人數(shù)是總?cè)藬?shù)的一半，“對性能滿意”的客戶比“對性能不滿意”的客戶多10人，“對性能不滿意”的客戶中恰有選擇了退貨． （1）請完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“客戶購買產(chǎn)品與對產(chǎn)品性能滿意之間有關(guān)”． 對性能滿意 對性能不滿意 合計 購買產(chǎn)品 不購買產(chǎn)品 合計 （2）企業(yè)為了改進產(chǎn)品性能，現(xiàn)從“對性能不滿意”的客戶中按是否購買產(chǎn)品進行分層抽樣，隨機抽取6位客戶進行座談．座談后安排了抽獎環(huán)節(jié)，共有6張獎券，其中一張印有900元字樣，兩張印有600元字樣，三張印有300元字樣，抽到獎券可獲得相應(yīng)獎金．6位客戶每人隨機抽取一張獎券（不放回），設(shè)6位客戶中購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎金為元，求的分布列和數(shù)學期望． 附：，其中． 3．[2019通州期末]北京地鐵八通線西起四惠站，東至土橋站，全長，共設(shè)13座車站．目前八通線執(zhí)行2014年12月28日制訂的計價標準，各站間計程票價（單位:元）如下： 四惠 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 四惠東 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 高碑店 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 傳媒大學 3 3 3 4 4 4 4 5 5 雙橋 3 3 3 4 4 4 4 4 管莊 3 3 3 3 4 4 4 八里橋 3 3 3 3 4 4 通州北苑 3 3 3 3 3 果園 3 3 3 3 九棵樹 3 3 3 梨園 3 3 臨河里 3 土橋 四惠 四惠東 高碑店 傳媒大學 雙橋 管莊 八里橋 通州北苑 果園 九棵樹 梨園 臨河里 土橋 （1）在13座車站中任選兩個不同的車站，求兩站間票價不足5元的概率； （2）甲乙二人從四惠站上車乘坐八通線，各自任選另一站下車（二人可同站下車），記甲乙二人乘車購票花費之和為元，求的分布列； （3）若甲乙二人只乘坐八通線，甲從四惠站上車，任選另一站下車，記票價為元；乙從土橋站上車，任選另一站下車，記票價為元．試比較和的方差和大?。ńY(jié)論不需要證明） 1．【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）∵甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)為，∴損失元， 則其生產(chǎn)的正品數(shù)為，獲得的利潤為元， 因而與的函數(shù)關(guān)系式為，其中，． （2）同理，對于乙來說，，，．由，得， ∴是甲、乙1天中生產(chǎn)的次品數(shù)不超過1的人數(shù)之和，∴的可能值為0，1，2， 又甲1天中生產(chǎn)的次品數(shù)不超過1的概率為， 乙1天中生產(chǎn)的次品數(shù)不超過1的概率為， ∴，，， ∴隨機變量的分布列為 0 1 2 ∴． 2．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析． 【解析】（1）設(shè)“對性能不滿意”的客戶中購買產(chǎn)品的人數(shù)為，則退貨的人數(shù)為，由此可列出下表 對性能滿意 對性能不滿意 合計 購買產(chǎn)品 50 不購買產(chǎn)品 50 合計 100 ∵，∴； 填寫列聯(lián)表如下： 對性能滿意 對性能不滿意 合計 購買產(chǎn)品 35 15 50 不購買產(chǎn)品 20 30 50 合計 55 45 100 ∴． ∴有的把握認為“客戶購買產(chǎn)品與對產(chǎn)品性能滿意之間有關(guān)”． （2）由題意知：參加座談的購買產(chǎn)品的人數(shù)為2，退貨的人數(shù)為4．的取值為：300，450，600，750， ，， ，， ∴的分布列為 300 450 600 750 ∴．∴購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎金的數(shù)學期望為500元． 3．【答案】（1）；（2）見解析；（3）． 【解析】（1）記兩站間票價不足5元為事件，在13座車站中任選兩個不同的車站， 基本事件總數(shù)為個，事件A中基本事件數(shù)為．∴兩站間票價不足5元的概率． （2）記甲乙花費金額分別為元，元． 的所有可能取值為6，7，8，9，10． ，， ， ， ． ∴的分布列為 6 7 8 9 10 （3）．