《2019高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學案 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學案 理.doc（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第三講 不等式、線性規(guī)劃
考點一 不等式的解法
求解不等式的方法
(1)對于一元二次不等式，應先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集．
(2)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價轉化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解．
(3)解決含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當分類，關鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因，確定好分類標準，有理有據(jù)、層次清楚地求解．
[對點訓練]
1．(2018湖南衡陽一模)若a，b，c為實數(shù)，且a
D．a(chǎn)2>ab>b2
[解析] ∵c為實數(shù)，∴取c＝0，得ac2＝0，bc2＝0，此時ac2＝bc2，故選項A不正確；－＝，∵a0，ab>0，∴>0，即>，故選項B不正確；∵a0，∴a2>ab，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，故選項D正確，故選D．
[答案] D
2．(2018福建六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
[解析] 易知f(x)在R上是增函數(shù)，∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，解得－20的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
[解析] 關于x的不等式ax－b<0即ax0可化為
(x＋1)(x－3)<0，解得－11時不等式x＋≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
[解析] ∵x>1，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當x－1＝，即x＝2時等號成立，所以最小值為3，∴a≤3，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]．故選A．
[答案] A
[快速審題] (1)看到有關不等式的命題或結論的判定，想到不等式的性質．
(2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步驟．
(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對應的一元二次方程；第三步，若有兩個不相等的實根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集．
(2)解一元二次不等式恒成立問題的3種方法：①圖象法；②分離參數(shù)法；③更換主元法．
考點二 基本不等式的應用
1．基本不等式：≥
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．
(3)應用：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值．
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．當且僅當a＝b時取等號．
(2)ab≤2(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號．
(3)≥2(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號．
(4)＋≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號．
[對點訓練]
1．下列結論中正確的是( )
A．lgx＋的最小值為2
B．＋的最小值為2
C．的最小值為4
D．當00，＋≥2＝2，當且僅當＝，即x＝1時取等號；對于C，當且僅當sin2x＝，即sinx＝2時取等號，但sinx的最大值為1；對于D，x－在(0,2]上為增函數(shù)，因此有最大值．故選B．
[答案] B
2．(2018吉林長春二模)已知x>0，y>0，且x＋y＝2xy，則x＋4y的最小值為( )
A．4 B．
C． D．5
[解析] 由x＋y＝2xy得＋＝2.由x>0，y>0，x＋4y＝(x＋4y)＝≥(5＋4)＝，當且僅當＝時等號成立，即x＋4y的最小值為.故選C．
[答案] C
3．(2018海淀期末)已知正實數(shù)a，b滿足a＋b＝4，則＋的最小值為________．
[解析] ∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥(2＋2)＝，當且僅當a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1時取等號，∴＋的最小值為.
[答案]
4．(2018河南洛陽一模)若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為________．
[解析] 依題意知a>0，b>0，則＋≥2＝，當且僅當＝，即b＝2a時，“＝”成立．因為＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值為2.
[答案] 2
[快速審題] 看到最值問題，想到“積定和最小”，“和定積最大”．
利用基本不等式求函數(shù)最值的3個關注點
(1)形式：一般地，分子、分母有一個一次、一個二次的分式結構的函數(shù)以及含有兩個變量的函數(shù)，特別適合用基本不等式求最值．
(2)條件：利用基本不等式求最值需滿足“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤．
(3)方法：使用基本不等式時，一般通過“拆、拼、湊”的技巧把求最值的函數(shù)或代數(shù)式化為ax＋(ab>0)的形式，常用的方法是變量分離法和配湊法．
考點三 線性規(guī)劃問題
1．線性目標函數(shù)z＝ax＋by最值的確定方法
把線性目標函數(shù)z＝ax＋by化為y＝－x＋，可知是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值．
2．常見的目標函數(shù)類型
(1)截距型：形如z＝ax＋by，可以轉化為y＝－x＋，利用直線在y軸上的截距大小確定目標函數(shù)的最值；
(2)斜率型：形如z＝，表示區(qū)域內的動點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率；
(3)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示區(qū)域內的動點(x，y)與定點(a，b)的距離的平方；形如z＝|Ax＋By＋C|，表示區(qū)域內的動點(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的倍．
[對點訓練]
1．(2018天津卷)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為( )
A．6 B．19
C．21 D．45
[解析] 由變量x，y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示)．
作出初始直線l0：3x＋5y＝0，平移直線l0，當直線經(jīng)過點A(2,3)時，z取最大值，即zmax＝32＋53＝21，故選C．
[答案] C
2．(2018廣東肇慶二模)已知實數(shù)x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為3，則實數(shù)b＝( )
A． B．
C．1 D．
[解析] 作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移初始直線y＝－2x，
由圖可知當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A時，直線y＝－2x＋z的縱截距最小，此時z最小，為3，
即2x＋y＝3.
由解得即A，
又點A也在直線y＝－x＋b上，即＝－＋b，∴b＝.故選A．
[答案] A
3．(2018江西九江二模)實數(shù)x，y滿足線性約束條件若z＝的最大值為1，則z的最小值為( )
A．－ B．－
C． D．－
[解析] 作出可行域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)z＝的幾何意義是可行域內的點(x，y)與點A(－3,1)兩點連線的斜率，當取點B(a,2a＋2)時，z取得最大值1，故＝1，解得a＝2，則C(2,0)．當取點C(2,0)時，z取得最小值，即zmin＝＝－.故選D．
[答案] D
4．設x，y滿足約束條件則z＝(x＋1)2＋y2的取值范圍是________．
[解析]
由解得即C.
(x＋1)2＋y2的幾何意義是區(qū)域內的點(x，y)與定點(－1，0)間距離的平方．
由圖可知，點(－1,0)到直線AB：2x＋y＋1＝0的距離最小，為＝，故zmin＝；點(－1,0)到點C的距離最大，故zmax＝2＋2＝.所以z＝(x＋1)2＋y2的取值范圍是.
[答案]
[快速審題] (1)看到最優(yōu)解求參數(shù)，想到由最值列方程(組)求解．
(2)看到最優(yōu)解的個數(shù)不唯一，想到直線平行；看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其幾何意義．
(3)看到最優(yōu)解型的實際應用題，想到線性規(guī)劃問題，想到確定實際意義．
求目標函數(shù)的最值問題的3步驟
(1)畫域，根據(jù)線性約束條件，畫出可行域；
(2)轉化，把所求目標函數(shù)進行轉化，如截距型，即線性目標函數(shù)轉化為斜截式；如斜率型，即根據(jù)兩點連線的斜率公式，轉化為可行域內的點與某個定點連線的斜率；平方型，即根據(jù)兩點間距離公式，轉化為可行域內的點與某個定點的距離；
(3)求值，結合圖形，利用函數(shù)的性質，確定最優(yōu)解，求得目標函數(shù)的最值．
1．(2016全國卷Ⅰ)設集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝( )
A． B．
C． D．
[解析] ∵x2－4x＋3<0?(x－1)(x－3)<0?10?x>，∴B＝，
∴A∩B＝＝.故選D．
[答案] D
2．(2018北京卷)設集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，則( )
A．對任意實數(shù)a，(2,1)∈A
B．對任意實數(shù)a，(2,1)?A
C．當且僅當a<0時，(2,1)?A
D．當且僅當a≤時，(2,1)?A
[解析] 若(2,1)∈A，則有解得a>.結合四個選項，只有D說法正確．故選D．
[答案] D
3．(2018全國卷Ⅲ)設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則( )
A．a(chǎn)＋blog0.21＝0，b＝log20.3ab，
∴ab0有解，則m的取值范圍為( )
A．m>－4 B．m<－4
C．m>－5 D．m<－5
[解析] 記f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在區(qū)間(1,2)上有解，需滿足f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故選C．
[答案] C
2．(2018海淀模擬)當00，ab>0，故－＝>0，即>，故A項錯誤；由a0，故ab>b2，故B項錯誤；由a0，即a2>ab，故－ab>－a2，故C項錯誤；由a0，故－－＝<0，即－<－成立．故D項正確．
解法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，則＝－>－1＝，ab＝2>1＝b2，－ab＝－2>－4＝－a2，－＝<1＝－.故A，B，C項錯誤，D正確．
[答案] D
2．已知a∈R，不等式≥1的解集為p，且－2?p，則a的取值范圍為( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
[解析] ∵－2?p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
[答案] D
3．(2018大連一模)設函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
[解析] 由題意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)＝3，即f(x)>3，
如果x<0，則x＋6>3，可得－33，可得x>3或0≤x<1.
綜上，不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)．
故選A．
[答案] A
4．(2018長春第二次質檢)若關于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，則關于x的不等式>0的解集為( )
A．(－2,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(－∞，－2)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
[解析] 關于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，＝－2，∴b＝－2a，∴＝.∵a<0，∴<0，解得x<0或10，≤a恒成立，則a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)>
C．a(chǎn)< D．a(chǎn)≤
[解析] 因為對任意x>0，≤a恒成立，
所以對x∈(0，＋∞)，a≥max，
而對x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
當且僅當x＝時等號成立，∴a≥.
[答案] A
6．(2018江西師大附中摸底)若關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，則其表示的區(qū)域面積為( )
A．或 B．或
C．1或 D．1或
[解析] 由不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，得k＝0或1，當k＝0時，表示區(qū)域的面積為；當k＝1時，表示區(qū)域的面積為，故選A．
[答案] A
7．(2018昆明質檢)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝2x＋5y的最小值為( )
A．－4 B．6
C．10 D．17
[解析] 解法一(圖解法)：已知約束條件所表示的平面區(qū)域為下圖中的陰影部分(包含邊界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，可知當直線y＝－x＋過點B(3,0)時，z取得最小值23＋50＝6.
解法二(界點定值法)：由題意知，約束條件所表示的平面區(qū)域的頂點分別為A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．將A，B，C三點的坐標分別代入z＝2x＋5y，得z＝10,6,17，故z的最小值為6.
[答案] B
8．(2018合肥一模)在關于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2個整數(shù)，則a的取值范圍是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－3,5] D．[－2,4]
[解析] 關于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化為(x－1)(x－a)<0.當a＝1時，不等式的解集為?；當a>1時，不等式的解集為10，b>0，且2a＋b＝ab，則a＋2b的最小值為( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
[解析] 解法一：∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2.
則a＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2＝9，當且僅當b＝3，a＝3時等號成立，其最小值為9.
解法二：∵a>0，b>0，∴ab>0.
∵2a＋b＝ab，∴＋＝1，
∴(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2
＝5＋4＝9.
當且僅當＝時，等號成立，又2a＋b＝ab，即a＝3，b＝3時等號成立，其最小值為9.
[答案] D
11．(2018湖南湘東五校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿足且z＝x＋y的最大值為6，則(x＋5)2＋y2的最小值為( )
A．5 B．3
C． D．
[解析] 如圖，作出不等式組對應的平面區(qū)域，
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直線y＝－x，由圖可知當直線y＝－x＋z經(jīng)過點A時，直線y＝－x＋z在y軸上的截距最大，此時z最大，為6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，
∵直線y＝k過點A，∴k＝3.
(x＋5)2＋y2的幾何意義是可行域內的點(x，y)與D(－5,0)的距離的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5,0)到直線x＋2y＝0的距離的平方．
則(x＋5)2＋y2的最小值為2＝5.故選A．
[答案] A
12．(2018廣東清遠一中一模)若正數(shù)a，b滿足：＋＝1，則＋的最小值為( )
A．16 B．9
C．6 D．1
[解析] ∵正數(shù)a，b滿足＋＝1，∴a＋b＝ab，＝1－>0，＝1－>0，∴b>1，a>1，則＋≥2＝2＝6，∴＋的最小值為6，故選C．
[答案] C
二、填空題
13．已知集合，則M∩N＝________.
[解析] 不等式<0等價于(x－2)(x－3)<0，
解得2
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專題一
集合、常用邏輯用語、算法、復數(shù)、推理與證明、不等式
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