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寒假訓(xùn)練09拋物線 典題溫故 [2018哈爾濱聯(lián)考]如圖所示，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)． （1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求線段的長(zhǎng)的最小值． 【答案】（1）或；（2）4． 【解析】由，得，其準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)． 設(shè)點(diǎn)，． 如圖，分別過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，． （1）由拋物線的定義可知，． ∵，∴，∴，∴． ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或． （2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， 由消去，整理得， ∵直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，∴． 設(shè)方程的兩根為，，則， 由拋物線的定義可知，． ②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，與拋物線相交于點(diǎn)，，此時(shí)．綜上可得， ∴線段的長(zhǎng)的最小值為4． 一、選擇題 1．[2018華師附中]拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（） A． B． C． D． 2．[2018牡丹江一中]如果拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)為，那么拋物線的方程是（） A． B． C． D． 3．[2018牡丹江一中]已知是拋物線的焦點(diǎn)，，是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（） A． B．1 C． D． 4．[2018棗莊八中]設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)到軸的距離為5，則弦的長(zhǎng)為（） A．10 B．12 C．14 D．16 5．[2018赤峰二中]如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)為（） A．5 B．6 C． D． 6．[2018贛州模擬]已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則的最小值為（） A．6 B． C． D． 7．[2018林芝二中]頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（） A． B． C．或 D．或 8．[2018遂寧期末]設(shè)拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（） A． B．2 C． D．不確定 9．[2018遂寧期末]已知拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)的距離之和的最小值為，是拋物線的焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為（） A． B． C． D． 10．[2018荊州期末]已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線上有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且，若的面積為，則等于（） A． B． C． D． 11．[2018保定期末]已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，，在軸上的射影分別為，，若直線與直線的斜率之差為，，，則的面積的最大值為（） A．6 B．8 C．10 D．16 12．[2018金山中學(xué)]已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（在軸上方），延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，， 則拋物線的方程為（） A． B． C． D． 二、填空題 13．[2018烏魯木齊七十中]若點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離少1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是____ 14．[2018銀川一中]已知拋物線的焦點(diǎn)恰好為雙曲線的上焦點(diǎn)，則___． 15．[2018如皋中學(xué)]若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，則____． 16．[2018湖南十校期末]已知雙曲線的兩條漸近線分別與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)．為坐標(biāo)原點(diǎn)．若的面積為2，則的值為_(kāi)______． 三、解答題 17．[2018成都外國(guó)語(yǔ)]（1）求與雙曲線有相同的焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 18．[2018銀川一中]已知點(diǎn)在拋物線上，直線和拋物線交于，兩點(diǎn)，焦點(diǎn)是三角形的重心，是的中點(diǎn)（不在軸上）． （1）求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求直線的方程．  寒假訓(xùn)練09拋物線 一、選擇題 1．【答案】D 【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴選D． 2．【答案】C 【解析】∵拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)為， ∴可設(shè)拋物線的方程為， ∵，∴，，選C． 3．【答案】C 【解析】設(shè)，，則由拋物線定義得， ∵，∴，∴，即線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為， 從而線段的中點(diǎn)到軸的距離為，選C． 4．【答案】D 【解析】由拋物線方程可知，， 由線段的中點(diǎn)到軸的距離為得，∴，故選D． 5．【答案】C 【解析】設(shè)、在準(zhǔn)線上的射影分別為為、，準(zhǔn)線與橫軸交于點(diǎn)，則， 由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，∴， 設(shè)，則，即，解得， ∴，故選C． 6．【答案】C 【解析】∵，∴，準(zhǔn)線方程為， 設(shè)，則，即，代入，得， 不妨取，即， 設(shè)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，可得， 故，故選C． 7．【答案】C 【解析】∵拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)， ∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得， ∴，∴此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為； 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，同理可得， ∴此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 綜上可知，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或． 故選C． 8．【答案】C 【解析】設(shè)的方程為，，， 由，得，， 又，， ∴，故選C． 9．【答案】D 【解析】通過(guò)圖像將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離， 到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)的距離之和的最小值，也即為最小， 當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，∴，解得， 由內(nèi)切圓的面積公式，解得．故選D． 10．【答案】B 【解析】如圖所示，根據(jù)可知為等邊三角形， 設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，且的面積為， ∴，解得，∴， ∵，∴．故選B． 11．【答案】B 【解析】∵點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，∴， ∵直線與直線的斜率之差為，設(shè)，， ∴，∴，∴， 因此的面積的最大值為，故選B． 12．【答案】C 【解析】設(shè)，設(shè)直線的傾斜角為， ∴直線的斜率為，∴， ∴直線的方程為， 聯(lián)立，∴，∴，， ∴，，∴，∴直線方程為， 令，∴，∴，∴，∴， ∴，∴．故選C． 二、填空題 13．【答案】 【解析】點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離少1， ∴點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等， ∴其軌跡為拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為， ∴方程為，故答案為． 14．【答案】8 【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線的焦點(diǎn)為， ∵，∴，∴，故答案為8． 15．【答案】8 【解析】根據(jù)拋物線方程可知準(zhǔn)線方程為， ∵拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6， ∴根據(jù)拋物線的定義可知其到準(zhǔn)線的距離為6， ∴，∴．故答案為8． 16．【答案】 【解析】雙曲線的兩條漸近線方程， 又拋物線的準(zhǔn)線方程是， 故，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)坐標(biāo)分別是， 又的面積為1，∴， ∵，∴得，故答案為． 三、解答題 17．【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）由題得，∴， 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代點(diǎn)的坐標(biāo)得， 解方程組得，∴． （2）∵焦點(diǎn)在直線上，且拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸， 焦點(diǎn)的坐標(biāo)為或， 若拋物線以軸對(duì)稱式，設(shè)方程為，，求得，∴此拋物線方程為； 若拋物線以軸對(duì)稱式，設(shè)方程為，，求得， ∴此拋物線方程為； 故所求的拋物線的方程為或． 18．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上，有，解得． ∴拋物線方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為． 是的重心，是的中點(diǎn)， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為． （2）由于線段的中點(diǎn)不在軸上，∴所在的直線不垂直于軸． 設(shè)所在直線的方程為， 由消得， ∴，由（2）的結(jié)論得，解得， 因此BC所在直線的方程為．