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第5課時 二次函數(shù)
1．若函數(shù)y＝(x＋4)2在某區(qū)間上是減函數(shù)，則這區(qū)間可以是( )
A．[－4，0] B．(－∞，0]
C．(－∞，－5] D．(－∞，4]
答案 C
2．若二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，則f(x)的表達(dá)式為( )
A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1
C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋1
答案 D
解析 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題意得
故解得
則f(x)＝x2－x＋1.故選D.
3．已知m>2，點(diǎn)(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函數(shù)y＝x2－2x的圖像上，則( )
A．y1
0時，則Δ＝m2－4m≤0，解得00時，x＝2，綜上可知有三解．
9．(2018鄭州質(zhì)檢)若二次函數(shù)y＝x2＋ax＋1對于一切x∈(0，]恒有y≥0成立，則a的最小值是( )
A．0 B．2
C．－ D．－3
答案 C
解析 設(shè)g(x)＝ax＋x2＋1，x∈(0，]，則g(x)≥0在x∈(0，]上恒成立，即a≥－(x＋)在x∈(0，]上恒成立．又h(x)＝－(x＋)在x∈(0，]上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x＝時，h(x)max＝h()，所以a≥－(＋2)即可，解得a≥－.
10．若二次函數(shù)y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域?yàn)閇0，＋∞)，則m＝________．
答案 9或25
解析 y＝8(x－)2＋m－7－8()2，
∵值域?yàn)閇0，＋∞)，∴m－7－8()2＝0，
∴m＝9或25.
11．(1)已知函數(shù)f(x)＝4x2＋kx－8在[－1，2]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)
解析 函數(shù)f(x)＝4x2＋kx－8的對稱軸為x＝－，則－≤－1或－≥2，解得k≥8或k≤－16.
(2)若函數(shù)y＝x2＋bx＋2b－5(x<2)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為________．
答案 (－4，＋∞)
解析 函數(shù)y＝x2＋bx＋2b－5的圖像是開口向上，以x＝－為對稱軸的拋物線，所以此函數(shù)在(－∞，－)上單調(diào)遞減．若此函數(shù)在(－∞，2)上不是單調(diào)函數(shù)，只需－<2，解得b>－4.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(－4，＋∞)．
12．已知y＝(cosx－a)2－1，當(dāng)cosx＝－1時，y取最大值，當(dāng)cosx＝a時，y取最小值，則a的范圍是________．
答案 0≤a≤1
解析 由題意知∴0≤a≤1.
13．函數(shù)f(x)＝x2＋2x，若f(x)>a在區(qū)間[1，3]上滿足：①恒有解，則a的取值范圍為________；
②恒成立，則a的取值范圍為________．
答案 ①a<15?、赼<3
解析 ①f(x)>a在區(qū)間[1，3]上恒有解，等價于a<[f(x)]max，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1，3]，當(dāng)x＝3時，[f(x)]max＝15，故a的取值范圍為a<15.②f(x)>a在區(qū)間[1，3]上恒成立，等價于a<[f(x)]min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1，3]，當(dāng)x＝1時，[f(x)]min＝3，故a的取值范圍為a<3.
14．如果函數(shù)f(x)＝x2－ax－a在區(qū)間[0，2]上的最大值為1，那么實(shí)數(shù)a＝________．
答案 1
解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－ax－a的圖像為開口向上的拋物線，所以函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得．因?yàn)閒(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以或解得a＝1.
15．(2018邯鄲一中月考)已知函數(shù)f(x)＝x2－6x＋5，x∈[1，a]，并且函數(shù)f(x)的最大值為f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 a≥5
解析 ∵f(x)的對稱軸為x＝3，要使f(x)在[1，a]上最大值為f(a)，由圖像對稱性知a≥5.
16．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．
(1)當(dāng)a＝－2時，求f(x)的最值；
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4，6]上是單調(diào)函數(shù)；
(3)當(dāng)a＝1時，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間．
答案 (1)最小值－1，最大值35
(2)a≤－6或a≥4
(3)單調(diào)遞增區(qū)間(0，6]，單調(diào)遞減區(qū)間[－6，0]
解析 (1)當(dāng)a＝－2時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，
∴f(x)在[－4，2]上單調(diào)遞減，在[2，6]上單調(diào)遞增．
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函數(shù)f(x)的圖像開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
(3)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時定義域?yàn)閤∈[－6，6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，6]，
單調(diào)遞減區(qū)間是[－6，0]．
17．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.
(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；
(2)在(1)的條件下，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
答案 (1)f(x)＝x2＋2x＋1，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1]
(2)(－∞，1)
解析 (1)由題意知
解得所以f(x)＝x2＋2x＋1.
由f(x)＝(x＋1)2知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1]．
(2)由題意知，x2＋2x＋1>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，
即k0)，設(shè)f(x)＝x的兩個實(shí)根為x1，x2.
(1)如果b＝2且|x2－x1|＝2，求a的值；
(2)如果x1<2－1.
答案 (1)a＝ (2)略
解析 (1)當(dāng)b＝2時，f(x)＝ax2＋2x＋1(a>0)．
方程f(x)＝x為ax2＋x＋1＝0.
|x2－x1|＝2?(x2－x1)2＝4?(x1＋x2)2－4x1x2＝4.由韋達(dá)定理，可知
x1＋x2＝－，x1x2＝.
代入上式，可得4a2＋4a－1＝0.
解得a＝，a＝(舍去)．
(2)證明：∵ax2＋(b－1)x＋1＝0(a>0)的兩根滿足x1<20.
又∵函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝x0，
∴x0＝－>－1.
1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋1)x＋ab，若不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤4}，則a＋2b的值為( )
A．－2 B．3
C．－3 D．2
答案 A
解析 依題意，－1，4為方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的兩根，所以解得所以a＋2b的值為－2，故選A.
2．(2018湖北黃岡中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)＝(a，b，c，d∈R)的圖像如圖所示，則a∶b∶c∶d＝( )
A．1∶6∶5∶8 B．1∶6∶5∶(－8)
C．1∶(－6)∶5∶8 D．1∶(－6)∶5∶(－8)
答案 D
解析 由圖像可知，x≠1，5，所以ax2＋bx＋c＝k(x－1)(x－5)，所以a＝k，b＝－6k，c＝5k，根據(jù)圖像可得當(dāng)x＝3時，y＝2，所以d＝－8k，所以a∶b∶c∶d＝1∶(－6)∶5∶(－8)．
3．已知函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞，1]上單調(diào)遞減，且對任意的x1，x2∈[0，t＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為( )
A．[1，] B．[－，]
C．(1，) D．(－，)
答案 A
解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，所以t≥1，所以當(dāng)x∈[0，t＋1]時，f(x)max＝f(0)，f(x)min＝f(t)．又對任意的x1，x2∈[0，t＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤2等價于f(x)max－f(x)min≤2，即f(0)－f(t)≤2，所以1－(t2－2tt＋1)≤2，所以t2≤2，又t≥1，所以1≤t≤，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為[1，]．
4．已知函數(shù)f(x)＝a－x2(1≤x≤2)與g(x)＝x＋2的圖像上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．[－，＋∞) B．[－，0]
C．[－2，0] D．[2，4]
答案 C
解析 若函數(shù)f(x)＝a－x2(1≤x≤2)與g(x)＝x＋2的圖像上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則方程a－x2＝－(x＋2)，即a＝x2－x－2在區(qū)間[1，2]上有解．令h(x)＝x2－x－2，則h(x)的圖像開口向上，且對稱軸為x＝，又1≤x≤2，故當(dāng)x＝1時，h(x)取得最小值－2，當(dāng)x＝2時，h(x)取得最大值0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2，0]．
5．“a＝－1”是“函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1在區(qū)間[－1，＋∞)上為增函數(shù)”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 本題為二次函數(shù)的單調(diào)性問題，取決于對稱軸的位置，若函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1在區(qū)間[－1，＋∞)上為增函數(shù)，則有對稱軸x＝a≤－1，故“a＝－1”是“函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1在區(qū)間[－1，＋∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件．
6．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (－2，1)
解析 ∵f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致圖像如圖中實(shí)線所示，結(jié)合圖像可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，即－20)．
所以f(x)在區(qū)間[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a＝12.
所以a＝2.
所以f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2)由(1)知f(x)＝2x2－10x＝2(x－)2－，
圖像開口向上，對稱軸為x＝.
①當(dāng)t＋1≤，即t≤時，
f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，
所以g(t)＝2(t＋1)2－10(t＋1)＝2t2－6t－8.
②當(dāng)t≥時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，所以g(t)＝2t2－10t.
③當(dāng)t<
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