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第3講 不等式及線性規(guī)劃
一、選擇題
1．若實數(shù)a，b∈R且a>b，則下列不等式恒成立的是( )
A．a2>b2 B.>1
C．2a>2b D．lg(a－b)>0
解析：根據(jù)函數(shù)的圖象與不等式的性質可知：當a>b時，2a>2b，故選C.
答案：C
2．設函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：由題意知f(1)＝3，故原不等式可化為或解得－3
3，所以原不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：A
3．已知a∈R，不等式≥1的解集為p，且－2?p，則a的取值范圍為( )
A．(－3，＋∞)
B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：∵－2?p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
答案：D
4．若對任意正實數(shù)x，不等式≤恒成立，則實數(shù)a的最小值為( )
A．1 B.
C. D.
解析：因為≤，即a≥，而＝≤(當且僅當x＝1時取等號)，所以a≥.
答案：C
5．(2018蘭州模擬)若變量x，y滿足約束條件則z＝2xy的最大值為( )
A．16 B．8
C．4 D．3
解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．
又z＝2xy＝2x－y，令u＝x－y，則直線u＝x－y在點(4,0)處u取得最大值，此時z取得最大值且zmax＝24－0＝16.
答案：A
6．對于任意實數(shù)a，b，c，d，有以下四個命題：
①若ac2>bc2，則a>b；
②若a>b，c>d，則a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，則ac>bd；
④若a>b，則>.
其中正確的命題有( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析：①由ac2>bc2，得c≠0，則a>b，①正確；
②由不等式的同向可加性可知②正確；
③錯誤，當d－2，
但 <.故正確的命題有2個．
答案：B
7．(2018成都質檢)若實數(shù)x，y滿足不等式組且x－y的最大值為5，則實數(shù)m的值為( )
A．0 B．－1
C．－2 D．－5
解析：根據(jù)不等式組，作出可行域如圖中陰影部分所示，令z＝x－y，則y＝x－z，當直線y＝x－z過點B(1－m，m)時，z取得最大值5，所以1－m－m＝5?m＝－2.
答案：C
8．對于函數(shù)f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，則稱(x0，f(x0))與(－x0，f(－x0))為函數(shù)圖象的一組奇對稱點．若f(x)＝ex－a(e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象上存在奇對稱點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(e，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：因為存在實數(shù)x0(x0≠0)，使得f(x0)＝－f(－x0)，則 又x0≠0，所即a>1.
答案：B
9．(2018長沙模擬)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，則x－2y的最大值與最小值之和是( )
A．0 B．－2
C．2 D．6
解析：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，
即變量x，y滿足約束條件
即
作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，
可得x－2y在A(2，－1)，C(4,3)處取得最大值、最小值分別為4，－2，其和為2.
答案：C
10.已知函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集為( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1,2)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
解析：由f(x)的圖象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f′(x)>0，在(－1,1)上，f′(x)<0.由(x2－2x－3)f′(x)>0，得
或
即或
所以不等式的解集為(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
答案：D
11．(2018九江模擬)已知點P(x，y)滿足過點P的直線與圓x2＋y2＝14相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：不等式組所表示的平面區(qū)域為△CDE及其內部(如圖)，
其中C(1,3)，D(2,2)，E(1,1)，且點C，D，E均在圓x2＋y2＝14的內部，故要使|AB|最小，則AB⊥OC，因為|OC|＝，所以|AB|＝2＝4，故選D.
答案：D
12．某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料．已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為( )
甲
乙
原料限額
A(噸)
3
2
12
B(噸)
1
2
8
A.12萬元 B．16萬元
C．17萬元 D．18萬元
解析：根據(jù)題意，設每天生產甲x噸，乙y噸，則目標函數(shù)為z＝3x＋4y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
作出直線3x＋4y＝0并平移，易知當直線經(jīng)過點A(2，3)時，z取得最大值且zmax＝32＋43＝18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元，選D.
答案：D
二、填空題
13．(2017高考全國卷Ⅰ)設x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為__________．
解析：作出不等式組
所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當直線y＝x－過點A時，在y軸上的截距最大，此時z最小，由解得
∴zmin＝－5.
答案：－5
14．在R上定義運算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1對任意的x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
解析：由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，則不等式(x－a)*(x＋a)≤1對任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝2－≥－，則a2－a－1≤－，解得－≤a≤.
答案：
15．(2018湖南五市十校聯(lián)考)設z＝kx＋y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k＝__________.
解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示．
由圖可知當0≤－k<時，直線y＝－kx＋z經(jīng)過點M(4，4)時z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；當－k≥時，直線y＝－kx＋z經(jīng)過點B(0,2)時z最大，此時z的最大值為2，不合題意；當－k<0時，直線y＝－kx＋z經(jīng)過點
M(4,4)時z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合．綜上可知k＝2.
答案：2
16．記min{a，b}為a，b兩數(shù)的最小值．當正數(shù)x，y變化時，
令t＝min，則t的最大值為__________．
解析：因為x>0，y>0，所以問題轉化為t2≤(2x＋y)＝≤＝＝2，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，
所以0
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