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培優(yōu)點十二 數(shù)列求和 1．錯位相減法 例1：已知是等差數(shù)列，其前項和為，是等比數(shù)列，且，， ． （1）求數(shù)列與的通項公式； （2）記，，求證：． 【答案】（1），；（2）見解析． 【解析】（1）設的公差為，的公比為， 則，， 即，解得：， ，． （2），① ，② 得 ， ∴所證恒等式左邊，右邊， 即左邊右邊，所以不等式得證． 2．裂項相消法 例2：設數(shù)列，其前項和，為單調遞增的等比數(shù)列，， ． （1）求數(shù)列，的通項公式； （2）若，求數(shù)列的前項和． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）時，， 當時，符合上式，， ∵為等比數(shù)列，， 設的公比為，則，而， ，解得或， ∵單調遞增，，． （2）， ． 對點增分集訓 一、單選題 1．已知等差數(shù)列中，，，則項數(shù)為（ ） A．10 B．14 C．15 D．17 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴，，故選C． 2．在等差數(shù)列中，滿足，且，是前項的和，若取得最大值，則（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】設等差數(shù)列首項為，公差為， 由題意可知，，， 二次函數(shù)的對稱軸為，開口向下， 又∵，∴當時，取最大值．故選C． 3．對于函數(shù)，部分與的對應關系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 7 5 9 6 1 8 2 4 數(shù)列滿足：，且對于任意，點都在函數(shù)的圖象上，則（ ） A．7554 B．7549 C．7546 D．7539 【答案】A 【解析】由題意可知：，，，，， 點都在函數(shù)的圖象上，則，，，，， 則數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列， 由于，且， 故．故選A． 4．設等差數(shù)列的前項和，，，若數(shù)列的前項和為，則（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】為等差數(shù)列的前項和，設公差為，，， 則，解得，則． 由于，則， 解得．故答案為10．故選C． 5．在等差數(shù)列中，其前項和是，若，，則在，，，中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，， ∴可得，， 這樣，，，，，，，而，， ∴在，，，中最大的是．故選C． 6．設數(shù)列的前項和為，則對任意正整數(shù)，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵數(shù)列是首項與公比均為的等比數(shù)列． ∴其前項和為．故選D． 7．已知數(shù)列滿足，，，，若恒成立，則的最小值為（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】由題意知，，由， 得， ∴， ∴恒成立，，故最小值為，故選D． 8．數(shù)列的前項和為，若，則（ ） A．2018 B．1009 C．2019 D．1010 【答案】B 【解析】由題意，數(shù)列滿足， ∴ ，故選B． 9．已知數(shù)列中，，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設， 由，解得， 令，故．故選A． 10．已知函數(shù)，且，則（ ） A．20100 B．20500 C．40100 D．10050 【答案】A 【解析】，當為偶數(shù)時，， 當為奇數(shù)時，， 故 ．故選A． 11．已知數(shù)列滿足：，，，則的整數(shù)部分為（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 ， ∴原式， 當時，， ∴整數(shù)部分為1，故選B． 12．對于任意實數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如，，．已知數(shù)列滿足，其前項和為，若是滿足的最小整數(shù)，則的值為（ ） A．305 B．306 C．315 D．316 【答案】D 【解析】由題意，，當時，可得，（1項） 當時，可得，（2項） 當時，可得，（4項） 當時，可得，（8項） 當時，可得，（16項） 當時，可得，（項） 則前項和為， ， 兩式相減得， ∴，此時， 當時，對應的項為，即，故選D． 二、填空題 13．已知數(shù)列滿足，記為的前項和，則__________． 【答案】440 【解析】由可得： 當時，有， ① 當時，有， ② 當時，有， ③ 有，有， 則 ． 故答案為440． 14．表示不超過的最大整數(shù)．若， ， ， ，則__________． 【答案】， 【解析】第一個等式，起始數(shù)為1，項數(shù)為，， 第二個等式，起始數(shù)為2，項數(shù)為，， 第三個等式，起始數(shù)為3，項數(shù)為，， 第個等式，起始數(shù)為，項數(shù)為，，， 故答案為，． 15．已知函數(shù)，則________； 【答案】2018 【解析】∵ ， 設， ① 則， ② 得， ∴．故答案為2018． 16．定義為個正整數(shù)，，，的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列的前 項的“均倒數(shù)”為，又，則_________； 【答案】 【解析】∵數(shù)列的前項的“均倒數(shù)”為， ∴，解得，∴， 當時，， 當時，上式成立，則， ∴，， 則． 故答案為． 三、解答題 17．正項等差數(shù)列中，已知，，且，，構成等比數(shù)列的前三項． （1）求數(shù)列，的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，則由已知得：，即， 又，解得或（舍去），， ∴， 又，，∴，∴； （2）∵， ， 兩式相減得， 則． 18．已知為數(shù)列的前項和，且，，，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若對，，求數(shù)列的前項的和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），， 當時，，化為， ∵，∴， 當時，，且，解得． ∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，公差為3．∴； （2）． ∴， ∴的前項的和．