2019高考數學大二輪復習 專題8 解析幾何 第2講 綜合大題部分增分強化練 理.doc
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第2講 綜合大題部分 1．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為2，長軸的長為4. (1)求橢圓C的標準方程； (2)設過點F1的直線l與橢圓C交于E，D兩點，試問：在x軸上是否存在定點M，使得直線ME，MD的斜率之積為定值？若存在，求出該定值及定點M的坐標；若不存在，請說明理由． 解析：(1)因為橢圓C的焦距為2，長軸的長為4， 所以2c＝2,2a＝4，解得c＝1，a＝2， 所以b2＝a2－c2＝3， 所以橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)設E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m,0)． 易知F1(－1,0)，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)． 聯立方程，得 得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 又y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝k2(－＋1) ＝， 直線ME，MD的斜率kME＝，kMD＝， 則kMEkMD＝＝ ＝＝ ＝ ＝. 要使直線ME，MD的斜率之積為定值，需3m2－12＝0， 解得m＝2. 當m＝2時，kMEkMD＝＝＝－； 當m＝－2時， kMEkMD＝＝＝－. 當直線l的斜率不存在時， 不妨設E(－1，)，D(－1，－)， 此時，當m＝2時，M(2,0)，kMEkMD＝－； 當m＝－2時，M(－2,0)，kMEkMD＝－. 綜上，在x軸上存在兩個定點M，使得直線ME，MD的斜率之積為定值． 當定點M的坐標為(2,0)時，直線ME，MD的斜率之積為定值－； 當定點M的坐標為(－2,0)時，直線ME，MD的斜率之積為定值－. 2．(2018高考浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2＝4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上． (1)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸； (2)若P是半橢圓x2＋＝1(x<0)上的動點，求 △PAB面積的取值范圍． 解析：(1)證明：設P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)． 因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程()2＝4 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的兩個不同的實根． 所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y軸． (2)由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y(tǒng)－3x0， |y1－y2|＝2. 因此，△PAB的面積S△PAB＝|PM||y1－y2|＝(y－4x0). 因為x＋＝1(x0<0)， 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]， 因此，△PAB面積的取值范圍是[6，]． 3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，過右焦點F且垂直于x軸的弦長為2. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l：y＝x＋m與橢圓C交于M，N兩點，求△MFN的面積取最大值時m的值． 解析：(1)由題意知解得 ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)聯立方程得 消去y，得3x2＋4mx＋2m2－4＝0， Δ＝16m2－12(2m2－4)＝－8m2＋48>0， ∴|m|<. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴|MN|＝|x1－x2|＝＝ ＝. 又點F(，0)到直線MN的距離d＝， ∴S△FMN＝|MN|d ＝|＋m|(|m|<)． 令u(m)＝(6－m2)(m＋)2(|m|<)， 則u′(m)＝－2(2m＋3)(m＋)(m－)， 令u′(m)＝0，得m＝－或m＝－或m＝， 當－
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