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專題04 平面向量 1．平面向量的有關(guān)概念問(wèn)題 名稱 定義 表示方法 注意事項(xiàng) 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模) 向量或； ?；? 平面向量是自由向量 零向量 長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的 記作 零向量方向是任意的 單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 常用表示 非零向量的單位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 與共線可記為 與任一向量平行或共線 共線向量 平行向量又叫共線向量 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量 的相反向量為 2．平面向量的線性運(yùn)算 (1)應(yīng)用平行四邊形法則與三角形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算與減法運(yùn)算，注意法則應(yīng)用的區(qū)分，向量共起點(diǎn)時(shí)可以使用平行四邊形法則；一個(gè)向量的終點(diǎn)在另一個(gè)向量的起點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)向量的加法則可以使用三角形法則，如. (2)共線向量體現(xiàn)了兩個(gè)向量在同向或反向的情況下其模的大小的等量關(guān)系，通?？杀硎緸?，其中，為確定的常數(shù). 3．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理反映了如何用平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量來(lái)唯一線性表示任意向量的原理，數(shù)學(xué)表達(dá)式為，此處要不共線，要唯一確定.通常把不共線的稱為一組基底.應(yīng)該明確基底不唯一，只要兩個(gè)向量不共線，都可以作為基底去表示平面內(nèi)的任意一個(gè)向量. (2)當(dāng)基底單位正交時(shí)（即垂直且模為1），可以建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)來(lái)表示向量，，也可以利用向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的確定來(lái)表示向量，如若，則. (3)向量的坐標(biāo)化線性運(yùn)算：設(shè)， 則，； 若，則. 4．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及其坐標(biāo)化運(yùn)算 (1)掌握向量數(shù)量積運(yùn)算的定義，理解其幾何意義：在方向上的投影：.注意根據(jù)向量夾角的變化，其投影可能為負(fù)，可能為正，也可能為0. (2)掌握向量的運(yùn)算法則及相關(guān)性質(zhì)：如；；若，則等，并作簡(jiǎn)單的應(yīng)用. (3)掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)化運(yùn)算：設(shè)，則；；若，則；. 5．平面向量的應(yīng)用 (1)應(yīng)用向量考查模的大小或模的取值范圍問(wèn)題，可以從向量坐標(biāo)化的角度進(jìn)行處理，注意對(duì)模的使用，同時(shí)注意對(duì)等式含義的表述，如表示向量的終點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上等.也可以利用條件中所呈現(xiàn)的幾何意義，結(jié)合向量數(shù)量積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化. (2)以向量為載體研究三角函數(shù)問(wèn)題，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，確立三角函數(shù)關(guān)系式，并利用三角恒等變換化簡(jiǎn)為的形式，然后利用整體代換來(lái)考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等. 一、平面向量的概念及線性運(yùn)算 【例1】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，若，則等于 A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)?b D．a(chǎn)?b 【答案】A 【解析】.故選A． 【名師點(diǎn)睛】（1）對(duì)于向量的概念問(wèn)題：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件，要特別注意零向量的特殊性． （2）平面向量的線性運(yùn)算是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，題型以選擇題、填空題為主，難度較小，屬中、低檔題，主要考查向量加法的平行四邊形法則與三角形法則及減法的三角形法則或向量相等，做題時(shí)，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素． 【例2】已知O為內(nèi)一點(diǎn)，且，，若B,O,D三點(diǎn)共線，則t的值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)線段BC的中點(diǎn)為M，則， 因?yàn)?，所以? 則， 由B,O,D三點(diǎn)共線，得，解得.故選B． 【名師點(diǎn)睛】（1）證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線． （2）對(duì)于三點(diǎn)共線有以下結(jié)論：對(duì)于平面上的任一點(diǎn)O，不共線，滿足(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y=1. 二、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 【例3】如圖，在中，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則實(shí)數(shù)的值為 A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)， ∴． 又，∴，解得，∴．選D． 【名師點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的． 【例4】已知向量，若與共線，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意，得，， 因?yàn)榕c共線，則， 解得，故選B． 【名師點(diǎn)睛】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)． （2）向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的． 三、平面向量的數(shù)量積 【例5】已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，且，則的值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且， ，故選B． 【名師點(diǎn)睛】?jī)上蛄康膴A角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過(guò)移動(dòng)，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角． 【例6】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則向量與的夾角的余弦值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意，， 故的夾角的余弦值為，故選B． 【名師點(diǎn)睛】?jī)上蛄繆A角的范圍為[0，π]，特別地當(dāng)兩向量共線且同向時(shí)，其夾角為0，共線且反向時(shí)，其夾角為π.在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍． 四、平面向量的應(yīng)用 【例7】已知非零向量，，，，是一組平行向量，且數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)____________. 【答案】 【解析】非零向量，，，，是一組平行向量，，，數(shù)列是等比數(shù)列， 設(shè)公比為，，，，，， 故數(shù)列的前項(xiàng)和為. 【名師點(diǎn)睛】向量的兩個(gè)作用： (1)載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題； (2)工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題． 【例8】G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若，則角 A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】D 【解析】因?yàn)镚是的重心，所以有. 又，所以a∶b∶c＝1∶1∶1， 設(shè)c＝，則有a＝b＝1， 由余弦定理可得，cosA＝＝，所以A＝30，故選D. 【名師點(diǎn)睛】若點(diǎn)G是的重心，則或(其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn))． 反之，若，則點(diǎn)G是的重心． 1．已知向量，則向量在向量上的投影是 A．2 B．1 C．?1 D．?2 【答案】D 【解析】向量在向量上的投影是，選D． 2．已知向量和的夾角為，且，則等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵向量和的夾角為，且， ∴，故選D． 3．已知正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，那么 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以， 點(diǎn)是的中點(diǎn)， 所以， 所以，故選D． 4．已知向量，且，則實(shí)數(shù) A． 3 B． 1 C． 4 D． 2 【答案】A 【解析】, 根據(jù)得,解得,故選A． 5．已知向量滿足，若，則的最小值為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)?，所以? 所以， 又因?yàn)樗裕? 所以，故選C. 6．在中，，點(diǎn)是的重心，則的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)的中點(diǎn)為， 因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以， 再令，則， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選B． 7．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，，其中，且，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意，拋物線，準(zhǔn)線方程為，故在拋物線C上. 因?yàn)椋裕? 則，故選B． 8．已知向量的夾角為，且，若，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則__________. 【答案】 【解析】依題意，知，則， 則， 故. 9．已知兩個(gè)不共線向量的夾角為，M、N分別為線段OA、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，且，則的最小值為_(kāi)______． 【答案】 【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以， 所以，， 表示原點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的平方，它的最小值為，故填． 1．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ文科）已知向量，滿足，，則 A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【解析】向量，滿足，，則. 故選B. 2．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ文科）設(shè)非零向量，滿足，則 A．⊥ B． C．∥ D． 【答案】A 【解析】由平方得，即，則，故選A. 3．（2018天津文科）在如圖的平面圖形中，已知,則的值為 A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】如圖所示，連結(jié)MN， 由 可知點(diǎn)M,N分別為線段AB,AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則， 由題意可知：，， 結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：. 本題選擇C選項(xiàng). 4．（2018北京文科）設(shè)向量a=（1,0），b=（?1,m）,若，則m=_________. 【答案】-1 【解析】，∴ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m)， 由得：，，即m=-1. 5．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ文科）已知向量，，．若，則________． 【答案】 【解析】∵向量，，∴. ∵，，∴，解得. 6．（2017天津文科）在中，，，．若， ，且，則的值為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】由題可得， 則．