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第2章 圓錐曲線與方程 章末檢測(cè)試卷(二) (時(shí)間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1.平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1的離心率是________. 考點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　離心率問(wèn)題 答案　 解析　由題意可知，a＝2，b＝，c＝＝1， 由橢圓的離心率e＝＝. 2.雙曲線－＝1的兩條漸近線的方程為_(kāi)_________. 考點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線漸近線方程 答案　y＝x 解析　由雙曲線方程可知a＝4，b＝3，所以兩條漸近線方程為y＝x. 3.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　離心率問(wèn)題 答案　 解析　設(shè)雙曲線的方程為－＝1， 則它的漸近線方程為y＝x，故＝， 因此離心率為e＝＝＝. 4.雙曲線x2－y2＝a2(a>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則a＝________. 考點(diǎn)　圓錐曲線方程 題點(diǎn)　焦點(diǎn)問(wèn)題 答案　 解析　雙曲線x2－y2＝a2的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0)，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，從而a＝1，故a＝. 5.若雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓x2＋＝1長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________. 考點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由離心率問(wèn)題求曲線方程 答案?。? 解析　由橢圓x2＋＝1的離心率為，則雙曲線的離心率為，且雙曲線的頂點(diǎn)為(0，)，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 6.雙曲線x2－＝1的離心率大于的充分必要條件是__________. 考點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　離心率問(wèn)題 答案　m>1 解析　由e2＝2＝＝1＋m>2，得m>1. 7.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2－＝1與橢圓C2的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)A是C1，C2在第一象限的公共點(diǎn).若F1F2＝F1A，則橢圓C2的離心率是________. 考點(diǎn)　圓錐曲線方程 題點(diǎn)　求離心率問(wèn)題 答案　 解析　由題意知，F(xiàn)1F2＝F1A＝4. ∵F1A－F2A＝2，∴F2A＝2， ∴F1A＋F2A＝6，又∵F1F2＝4， ∴橢圓C2的離心率是＝. 8.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2，)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線上，則雙曲線方程為_(kāi)_____________. 考點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線方程 答案?。? 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x， 又漸近線過(guò)點(diǎn)(2，)，所以＝，即2b＝a.① 拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－， 由已知得＝，即a2＋b2＝7，② 聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝3， 所以雙曲線方程為－＝1. 9.設(shè)圓錐曲線Γ的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線Γ上存在點(diǎn)P滿足PF1∶F1F2∶PF2＝4∶3∶2，則曲線Γ的離心率為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線方程 題點(diǎn)　求離心率問(wèn)題 答案　或 解析　由題意可設(shè)PF1＝4m，F(xiàn)1F2＝3m，PF2＝2m. 當(dāng)圓錐曲線是橢圓時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝PF1＋PF2＝4m＋2m＝6m，焦距為2c＝F1F2＝3m， 所以離心率e＝＝＝＝； 當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a＝PF1－PF2＝4m－2m＝2m，焦距為2c＝F1F2＝3m， 所以離心率e＝＝＝＝. 故e＝或. 10.已知二次曲線－＝1(k<3，k≠0)與＋＝1，則下列說(shuō)法正確的是________.(填序號(hào)) ①有不同的頂點(diǎn)；②有不同的準(zhǔn)線；③有相同的焦點(diǎn)；④有相同的離心率. 考點(diǎn)　圓錐曲線方程 題點(diǎn)　幾何性質(zhì)判斷 答案?、? 解析　當(dāng)0－k>0， ∴＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓. a2＝3－k，b2＝－k. ∴a2－b2＝3＝c2，與已知橢圓有相同的焦點(diǎn). 綜上，二次曲線－＝1與＋＝1有相同的焦點(diǎn). 11.橢圓＋＝1上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積為m，則m取最大值時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)是________________. 考點(diǎn)　圓錐曲線定義 題點(diǎn)　圓錐曲線定義的運(yùn)用 答案　(0,3)或(0，－3) 解析　∵PF1＋PF2＝2a＝10， ∴PF1PF2≤2＝25. 當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2＝5時(shí)，取得最大值， 此時(shí)P點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，即P點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)或(0，－3). 12.已知點(diǎn)A(0,2)，B(2,0).若點(diǎn)C在拋物線x2＝y(tǒng)的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線定義 題點(diǎn)　圓錐曲線定義的運(yùn)用 答案　4 解析　由已知可得AB＝2，要使S△ABC＝2，則點(diǎn)C到直線AB的距離必須為，設(shè)C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝2， 當(dāng)x2＋x－2＝2時(shí)，有兩個(gè)不同的C點(diǎn)； 當(dāng)x2＋x－2＝－2時(shí)，亦有兩個(gè)不同的C點(diǎn). 因此滿足條件的C點(diǎn)有4個(gè). 13.過(guò)橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為_(kāi)_______. 答案　 解析　橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為(1,0)， 所以直線方程為y＝2(x－1). 聯(lián)立得3y2＋2y－8＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以y1，y2是3y2＋2y－8＝0的兩根， 所以y1＝－2，y2＝. 所以S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝OF|y1－y2| ＝1＝. 14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓＋＝1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　直線與圓錐曲線關(guān)系 題點(diǎn)　求離心率問(wèn)題 答案　2－5 解析　直線A1B2的方程為＋＝1； 直線B1F的方程為＋＝1. 二者聯(lián)立解得T， 又M在橢圓＋＝1(a>b>0)上， 故＋＝1，e2＋10e－3＝0， 解得e＝2－5或e＝－2－5. 又0b>0)，c＝. 設(shè)雙曲線方程為－＝1，m＝a－4. ∵＝，易得a＝7，m＝3.∴b2＝36，n2＝4. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. ②若焦點(diǎn)在y軸上，同理可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 16.(14分)已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且AB＝5. (1)求此拋物線方程； (2)若M(1,2)是拋物線上一點(diǎn)，求的值. 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　求拋物線方程和其他運(yùn)算 解　(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為F， 所以直線l的方程為y＝2. 由消去y，得4x2－6px＋p2＝0.① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝， ∴AB＝x1＋x2＋p＝＝5， ∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x. (2)方程①化為x2－3x＋1＝0， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝1，直線l的方程為y＝2x－2， ∴＝(x1－1，y1－2)(x2－1，y2－2) ＝(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2) ＝(x1－1)(x2－1)＋(2x1－4)(2x2－4) ＝5x1x2－9(x1＋x2)＋17＝5－27＋17＝－5. 17.(14分)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的上頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F1AF2＝60. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值. 考點(diǎn)　圓錐曲線定義 題點(diǎn)　圓錐曲線定義的運(yùn)用 解　(1)∠F1AF2＝60?a＝2c?e＝＝. (2)設(shè)BF2＝m，則BF1＝2a－m， 在△BF1F2中，BF＝BF＋F1F－2BF2F1F2cos120?(2a－m)2＝m2＋a2＋am?m＝a. △AF1B的面積為S＝F1ABAsin60 ?a＝40?a＝10， ∴c＝5，b＝5. 綜上a＝10，b＝5. 18.(16分)已知雙曲線C1：x2－＝1. (1)求與雙曲線C1有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P(4，)的雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)直線l：y＝x＋m分別與雙曲線C1的兩條漸近線相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)＝3時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值. 考點(diǎn)　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與雙曲線位置關(guān)系的運(yùn)用 解　(1)∵雙曲線C1：x2－＝1， ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(－，0). 設(shè)雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)， ∵雙曲線C2與雙曲線C1有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P(4，)， ∴解得 ∴雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. (2)雙曲線C1的兩條漸近線為y＝2x，y＝－2x. 由可得x＝m，y＝2m，∴A(m,2m). 由可得x＝－m，y＝m， ∴B. ∴＝－m2＋m2＝m2. ∵＝3，∴m2＝3，∴m＝. 19.(16分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，M為線段AB的中點(diǎn)，且＝－b2. (1)求橢圓的離心率； (2)已知a＝2，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，AB∥DC.記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值. 考點(diǎn)　橢圓方程與幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　橢圓方程與幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用 解　(1)A(a,0)，B(0，b)， 由M為線段AB的中點(diǎn)得M. 所以＝，＝(－a，b). 因?yàn)椋剑璪2， 所以(－a，b)＝－＋＝－b2， 整理得a2＝4b2，即a＝2b. 因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以c＝b. 所以橢圓的離心率e＝＝. (2)方法一　由a＝2，得b＝1，故橢圓方程為＋y2＝1. 從而A(2,0)，B(0,1)，直線AB的斜率為－. 因?yàn)锳B∥DC，故可設(shè)DC的方程為y＝－x＋m. 設(shè)D(x1，y1)，C(x2，y2). 聯(lián)立消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0， 所以x1＋x2＝2m，從而x1＝2m－x2. 直線AD的斜率k1＝＝，直線BC的斜率k2＝＝， 所以k1k2＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝， 即k1k2為定值. 方法二　由a＝2，得b＝1，故橢圓方程為＋y2＝1. 從而A(2,0)，B(0,1)，直線AB的斜率為－. 設(shè)C(x0，y0)，則＋y＝1. 因?yàn)锳B∥CD，故CD的方程為y＝－(x－x0)＋y0. 聯(lián)立 消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0， 解得x＝x0(舍去)或x＝2y0. 所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 所以k1k2＝＝， 即k1k2為定值. 20.(16分)如圖，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，M在PF1上，且滿足＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M，O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)若橢圓方程為＋＝1，且P(2，)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)； (2)若λ＝2，求橢圓離心率e的取值范圍. 考點(diǎn)　橢圓方程與幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　橢圓方程與幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用 解　(1)∵＋＝1，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， ∴kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝， ∴直線F2M的方程為y＝－(x－2)，直線F1M的方程為y＝(x＋2)， 由解得x＝. ∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為. (2)設(shè)P(x0，y0)，M(xM，yM)， ∵＝2，∴＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)， ∴M，＝， ∵PO⊥F2M，＝(x0，y0)， ∴x0＋y＝0， 即x＋y＝2cx0， 聯(lián)立方程 消去y0，得c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0， 解得x0＝或x0＝， ∵－a. 綜上，橢圓離心率e的取值范圍為.