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高考大題專項六　高考中的概率與統(tǒng)計 1.(2019河北衡水中學(xué)一模,18)某高校為了對2018年錄取的大一理工科新生有針對性地進行教學(xué),從大一理工科新生中隨機抽取40名,對他們2018年高考的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)進行分析,研究發(fā)現(xiàn)這40名新生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x在[100,150]內(nèi),且其頻率y滿足y=10a-n20(其中10n≤x<10(n+1),n∈N+). (1)求a的值; (2)請畫出這20名新生高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,并估計這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表); (3)將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機調(diào)查4名該校的大一理工科新生,記調(diào)查的4名大一理工科新生中“高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于130分”的人數(shù)為隨機變量ξ,求ξ的均值. 2.(2018山東青島調(diào)研,18)近期,某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動,活動設(shè)置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用x表示活動推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示: 表1 x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了如下圖所示的散點圖. (1)根據(jù)散點圖判斷,在推廣期內(nèi),y=a+bx與y=cdx(c,d均為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由); (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次; (3)推廣期結(jié)束后,車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計,結(jié)果如表2. 表2 支付方式 現(xiàn)金 乘車卡 掃碼 比例 10% 60% 30% 已知該線路公交車票價為2元,使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠,使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠,掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知,使用掃碼支付的乘客,享受7折優(yōu)惠的概率為16,享受8折優(yōu)惠的概率為13,享受9折優(yōu)惠的概率為12.根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,估計一名乘客一次乘車的平均費用. 參考數(shù)據(jù): y v ∑i=17xiyi ∑i=17xivi 100.54 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中vi=lg yi,v=17∑i=17vi 3.(2019廣東化州一模,18)2018年9月16日下午5時左右,今年第22號臺風(fēng)“山竹”在廣東江門川島鎮(zhèn)附近正面登陸,給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢敭a(chǎn)損失,某記者調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟損失,將收集的數(shù)據(jù)分成[0,2 000],(2 000,4 000],(4 000,6 000],(6 000,8 000],(8 000,10 000]五組,并作出如下頻率分布直方圖. (1)臺風(fēng)后居委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,記者調(diào)查的100戶居民捐款情況如下表格,在下面表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有95%的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4 000元有關(guān)? 經(jīng)濟損失不超 過4000元 經(jīng)濟損失超 過4000元 合計 捐款超過 500元 60 捐款不超 過500元 10 合計 (2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中,采用隨機抽樣方法每次抽取1戶居民,抽取3次,記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟損失超過4 000元的人數(shù)為ξ,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求ξ的分布列,均值Eξ和方差Dξ. 參考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d),其中n=a+b+c+d P(χ2>k0) 0.050 0.010 k0 3.841 6.635 4.(2018長春質(zhì)量監(jiān)測一,18)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25 ℃,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20 ℃,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高 氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列; (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的均值達到最大值? 5.(2019廣東省六校第一次聯(lián)考,19)某市大力推廣純電動汽車,對購買用戶依照車輛出廠續(xù)駛里程R的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn),予以地方財政補貼.其補貼標(biāo)準(zhǔn)如下表: 出廠續(xù)駛里程R(千米) 補貼(萬元/輛) 150≤R<250 3 250≤R<350 4 R≥350 4.5 2017年底隨機調(diào)査該市1 000輛純電動汽車,統(tǒng)計其出廠續(xù)駛里程R,得到頻率分布直方圖如下圖所示.用樣本估計總體,頻率估計概率,解決如下問題: (1)求該市每輛純電動汽車2017年地方財政補貼的均值; (2)某企業(yè)統(tǒng)計2017年其充電站100天中各天充電車輛數(shù),得到如下的頻數(shù)分布表: 輛數(shù) [5 500, 6 500) [6 500, 7 500) [7 500, 8 500) [8 500, 9 500) 天數(shù) 20 30 40 10 (同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表) 2018年2月,國家出臺政策,將純電動汽車財政補貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來.該企業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補貼資金用于添置新型充電設(shè)備.現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購置.直流充電樁5萬元/臺,每臺每天最多可以充電30輛車,每天維護費用500元/臺; 交流充電樁1萬元/臺,每臺每天最多可以充電4輛車,每天維護費用80元/臺. 該企業(yè)現(xiàn)有兩種購置方案: 方案一:購買100臺直流充電樁和900臺交流充電樁; 方案二:購買200臺直流充電樁和400臺交流充電樁. 假設(shè)車輛充電時優(yōu)先使用新設(shè)備,且充電一輛車產(chǎn)生25元的收入,用2017年的統(tǒng)計數(shù)據(jù),分別估計該企業(yè)在兩種方案下使用新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤.(日利潤=日收入-日維護費用) 6.2017年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年,有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識,面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機會,通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1 000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示: (1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ,210),μ近似為這1 000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布求P(50.53.841, 所以有95%的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4 000元有關(guān). (2)由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟損失超過4 000元的居民的頻率為0.3,將頻率視為概率. 由題意知ξ的可能取值有0,1,2,3,ξ~B3,310, P(ξ=0)=C3031007103=3431000; P(ξ=1)=C3131017102=4411000; P(ξ=2)=C3231027101=1891000; P(ξ=3)=C3331037100=271000. 從而ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 3431000 4411000 1891000 271000 　　Eξ=np=3310=0.9, Dξ=np(1-p)=3310710=0.63. 4.解 (1)由題意知,X所有的可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知, P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=25+7+490=0.4. 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 　　(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200≤n≤500. 當(dāng)300≤n≤500時, 若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n. 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n; 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n. 當(dāng)200≤n<300時, 若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n. 若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n; 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n. 所以n=300時,Y的均值達到最大值,最大值為520元. 5.解 (1)依題意可得純電動汽車地方財政補貼的分布列為: 補貼(萬元/輛) 3 4 4.5 概率 0.2 0.5 0.3 　　純電動汽車2017年地方財政補貼的平均數(shù)為30.2+40.5+4.50.3=3.95(萬元). (2)由充電車輛天數(shù)的頻數(shù)分布表得每天需要充電車輛數(shù)的分布列: 輛數(shù) 6 000 7 000 8 000 9 000 概率 0.2 0.3 0.4 0.1 　　若采用方案一,100臺直流充電樁和900臺交流充電樁每天可充電車輛數(shù)為 30100+4900=6 600(輛). 可得實際充電車輛數(shù)的分布列如下表: 實際充電輛數(shù) 6 000 6 600 概率 0.2 0.8 　　于是方案一下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤均值為25(6 0000.2+6 6000.8)-500100-80900=40 000(元). 若采用方案二,200臺直流充電樁和400臺交流充電樁每天可充電車輛數(shù)為30200+4400=7 600(輛); 可得實際充電車輛數(shù)的分布列如下表: 實際充 電輛數(shù) 6 000 7 000 7 600 概率 0.2 0.3 0.5 　　于是方案二下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤均值為25(6 0000.2+7 0000.3+7 6000.5)-500200-80400=45 500(元). 6.解 (1)EZ=350.025+450.15+550.2+650.25+750.225+850.1+950.05=65, ∴μ=65,δ=210≈14.5, ∴P(50.5

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