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培優(yōu)點(diǎn)十 等差、等比數(shù)列 1．等差數(shù)列的性質(zhì) 例1：已知數(shù)列，為等差數(shù)列，若，，則_______ 【答案】 【解析】∵，為等差數(shù)列，∴也為等差數(shù)列， ∴，∴． 2．等比數(shù)列的性質(zhì) 例2：已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】與條件聯(lián)系，可將所求表達(dá)式向，靠攏， 從而， 即所求表達(dá)式的值為．故選C． 3．等差、等比綜合 例3：設(shè)是等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其公比，且，若，， 則有（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】抓住，和，的序數(shù)和與，的關(guān)系，從而以此為入手點(diǎn)． 由等差數(shù)列性質(zhì)出發(fā)，，， 因?yàn)?，而為等比?shù)列，聯(lián)想到與有關(guān)， 所以利用均值不等式可得：； （故，均值不等式等號(hào)不成立） 所以．即．故選B． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，中間三尺重幾何．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，問(wèn)中間三尺共重多少斤．”（ ） A．6斤 B．7斤 C．8斤 D．9斤 【答案】D 【解析】原問(wèn)題等價(jià)于等差數(shù)列中，已知，，求的值． 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，， 則，即中間三尺共重9斤．故選D． 2．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ） A．66 B．68 C．77 D．84 【答案】C 【解析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，化簡(jiǎn)得， 根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，解方程組得， ．故選C． 3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值為（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，， ∵數(shù)列是等比數(shù)列，則，故；解得．故選C． 4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（ ） A．140 B．70 C．154 D．77 【答案】D 【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，， ∴．故選D． 5．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（ ） A． B． C．1或 D．或 【答案】C 【解析】由題意知：，∴，即， ∴或．故選C． 6．公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，若，則（ ） A． B．0 C．5 D．7 【答案】A 【解析】設(shè)的公比為，由，，成等差數(shù)列，可得， 若，可得，解得， 則，故選A． 7．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ） A．12 B．10 C．8 D． 【答案】B 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合題意可知：， 且， 據(jù)此結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得： ．故選B． 8．設(shè)公差為的等差數(shù)列，如果，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由兩式的性質(zhì)可知：， 則．故選D． 9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的第三項(xiàng)為（ ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d， ∵，∴，∴．故選C． 10．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ） A．27 B．36 C．45 D．66 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，∴，故選D． 11．設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其公比，是其前項(xiàng)的積，且，， 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A． B． C． D．與均為的最大值 【答案】C 【解析】設(shè)等比數(shù)列，是其前項(xiàng)的積，所以， 由此，， 所以，所以B正確， 由，各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，可知，所以A正確， ，可知， 由，所以單調(diào)遞減，在，7時(shí)取最小值， 所以在，7時(shí)取最大值，所以D正確．故選C． 12．定義函數(shù)如下表，數(shù)列滿足，，若，則（ ） A．7042 B．7058 C．7063 D．7262 【答案】C 【解析】由題設(shè)知，，，，，， ∵，，， ∴，，，， ，，……， ∴是周期為6的周期數(shù)列， ∵， ∴，故選C． 二、填空題 13．已知等差數(shù)列，若，則________ 【答案】4 【解析】∵，∴，∴， ∴，∴．故答案為4． 14．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公比，且，則的值是___________． 【答案】15 【解析】已知，則， 又代入得；∴． 15．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_______． 【答案】2 【解析】，又，代入得． 16．在等差數(shù)列中，，則的值是_______． 【答案】20 【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，所以， 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，． 三、解答題 17．已知數(shù)列中，，． （1）求； （2）若，求數(shù)列的前5項(xiàng)的和． 【答案】（1）；（2）77． 【解析】（1），， 則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，； （2）， ． 18．設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為；是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為． 已知，，，． （1）求和； （2）若，求正整數(shù)的值． 【答案】（1），；（2）4． 【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，可得． 因?yàn)?，可得，故．所以? 設(shè)等差數(shù)列的公差為． 由，可得． 由得，從而，， 故，所以． （2）由（1），有． 由，可得， 整理得，解得（舍），或． 所以的值為4．