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基礎課4　萬有引力定律 一、選擇題(1～7題為單項選擇題，8～14題為多項選擇題) 1．(2017湖南衡陽五校聯(lián)考)在力學理論建立的過程中，有許多偉大的科學家做出了貢獻。關于科學家和他們的貢獻，下列說法中不正確的是(　　) A．伽利略首先將實驗事實和邏輯推理(包括數(shù)學推演)和諧地結合起來 B．笛卡兒對牛頓第一定律的建立做出了貢獻 C．開普勒通過研究行星觀測記錄，發(fā)現(xiàn)了行星運動三大定律 D．牛頓總結出了萬有引力定律并用實驗測出了引力常量 答案　D 2．假設有一星球的密度與地球相同，但它表面處的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的(　　) A. B．4倍 C．16倍 D．64倍 解析　由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，ρ＝ρ地，即＝，得R＝4R地，故＝＝64。選項D正確。 答案　D 3．火星成為我國深空探測的第二顆星球，假設火星探測器在著陸前，繞火星表面勻速飛行(不計周圍其他天體的影響)，宇航員測出飛行N圈用時t，已知地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，火星半徑為r，地球表面重力加速度為g。則(　　) A．火星探測器勻速飛行的速度約為 B．火星探測器勻速飛行的向心加速度約為 C．火星探測器的質(zhì)量為 D．火星的平均密度為 解析　火星探測器勻速飛行的速度約為v＝，A錯誤；火星探測器勻速飛行，G＝，對于地球，g＝，兩式結合，得到M火＝，火星的平均密度為ρ＝＝，故D錯誤；火星探測器的質(zhì)量不可能計算出來，故C錯誤。 答案　B 4．(2017湖南衡陽聯(lián)考)兩顆互不影響的行星P1、P2，各有一顆近地衛(wèi)星S1、S2繞其做勻速圓周運動。圖1中縱軸表示行星周圍空間某位置的引力加速度a，橫軸表示該位置到行星中心距離r平方的倒數(shù)，a－關系圖如圖所示，衛(wèi)星S1、S2的引力加速度大小均為a0。則(　　) 圖1 A．S1的質(zhì)量比S2的大 B．P1的質(zhì)量比P2的大 C．P1的第一宇宙速度比P2的小 D．P1的平均密度比P2的大 解析　根據(jù)萬有引力定律可知引力加速度a＝，由此可知圖像的斜率為GM，P1的斜率大，對應的行星質(zhì)量大，而衛(wèi)星質(zhì)量未知，選項A錯，B對；兩行星半徑關系未知，則第一宇宙速度大小無法比較，選項C錯；同理無法比較行星密度，選項D錯。 答案　B 5．中國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，是繼美國全球定位系統(tǒng)(GPS)、俄羅斯格洛納斯衛(wèi)星導航系統(tǒng)(GLONASS)之后第三個成熟的衛(wèi)星導航系統(tǒng)。預計2020年左右，北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)將形成全球覆蓋能力。如圖2所示是北斗導航系統(tǒng)中部分衛(wèi)星的軌道示意圖，已知a、b、c三顆衛(wèi)星均做圓周運動，a是地球同步衛(wèi)星，則(　　) 圖2 A．衛(wèi)星a的角速度小于c的角速度 B．衛(wèi)星a的加速度大于b的加速度 C．衛(wèi)星a的運行速度大于第一宇宙速度 D．衛(wèi)星b的周期大于24 h 解析　a的軌道半徑大于c的軌道半徑，因此衛(wèi)星a的角速度小于c的角速度，選項A正確；a的軌道半徑與b的軌道半徑相等，因此衛(wèi)星a的加速度等于b的加速度，選項B錯誤；a的軌道半徑大于地球半徑，因此衛(wèi)星a的運行速度小于第一宇宙速度，選項C錯誤；a的軌道半徑與b的軌道半徑相等，衛(wèi)星b的周期等于a的周期，為24 h，選項D錯誤。 答案　A 6．(2015海南單科，6)若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶，已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R。由此可知，該行星的半徑約為(　　) A.R B.R C．2R D.R 解析　平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，即x＝v0t，在豎直方向上做自由落體運動，即h＝gt2，所以x＝v0，兩種情況下，拋出的速率相同，高度相同，所以＝＝，根據(jù)公式G＝mg可得R2＝，故＝＝2，解得R行＝2R，故C正確。 答案　C 7．(2016遼寧大連重點中學聯(lián)考)如圖3所示，某極地軌道衛(wèi)星的運行軌道平面通過地球的南北兩極，已知該衛(wèi)星從北緯60的正上方按圖示方向第一次運行到南緯60的正上方時所用時間為1 h，則下列說法正確的是(　　) 圖3 A．該衛(wèi)星的運行速度一定大于7.9 km/s B．該衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的運行速度之比為1∶2 C．該衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的運行半徑之比為1∶4 D．該衛(wèi)星的機械能一定大于同步衛(wèi)星的機械能 解析　近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度等于第一宇宙速度7.9 km/s。根據(jù)G＝m，得v＝，半徑越大線速度越小，該衛(wèi)星的半徑大于地球半徑，則其運行速度一定小于7.9 km/s，選項A錯誤；該衛(wèi)星從北緯60到南緯60，轉(zhuǎn)過120用時1 h，則其轉(zhuǎn)過360用時3 h，即周期為3 h，而同步衛(wèi)星的周期為24 h，即該衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的周期之比為1∶8。根據(jù)G＝mr，得＝，則可得半徑之比為1∶4，選項C正確；再由v＝可得該衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的運行速度之比為2∶1，選項B錯誤；該衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的質(zhì)量關系未知，無法判斷兩者機械能的大小關系，選項D錯誤。 答案　C 8．下列關于三種宇宙速度的說法正確的是(　　) A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運行時的速度大于等于v1，小于v2 B．美國發(fā)射的“鳳凰”號火星探測衛(wèi)星，其發(fā)射速度大于第三宇宙速度 C．第二宇宙速度是使物體可以掙脫地球引力束縛，成為繞太陽運行的小行星的最小發(fā)射速度 D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最大運行速度 解析　根據(jù)v＝可知，衛(wèi)星的軌道半徑r越大，即距離地面越遠，衛(wèi)星的環(huán)繞速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最大運行速度，選項D正確；其余繞地球在圓軌道上運行時的衛(wèi)星的速度都小于第一宇宙速度，選項A錯誤；美國發(fā)射的“鳳凰”號火星探測衛(wèi)星，仍在太陽的引力范圍內(nèi)，所以其發(fā)射速度小于第三宇宙速度，選項B錯誤；第二宇宙速度是物體掙脫地球束縛而成為一顆繞太陽運行的小行星的最小發(fā)射速度(在地面上發(fā)射)，選項C正確。 答案　CD 9．據(jù)報道，目前我國正在研制“螢火二號”火星探測器。探測器升空后，先在近地軌道上以線速度v環(huán)繞地球飛行，再調(diào)整速度進入地火轉(zhuǎn)移軌道，最后再一次調(diào)整速度以線速度v′在火星表面附近環(huán)繞飛行。若認為地球和火星都是質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星與地球的半徑之比為1∶2，密度之比為5∶7，設火星與地球表面重力加速度分別為g′和g，下列結論正確的是(　　) A．g′∶g＝4∶1 B．g′∶g＝5∶14 C．v′∶v＝ D．v′∶v＝ 解析　在天體表面附近，重力與萬有引力近似相等，G＝mg，M＝ρπR3，解兩式得：g＝GπρR，所以g′∶g＝5∶14，A項錯，B項正確；探測器在天體表面飛行時，萬有引力充當向心力，即：G＝m，M＝ρπR3，解兩式得：v＝2R，所以v′∶v＝，C項正確，D項錯。 答案　BC 10．(2016山西四校聯(lián)考)宇宙中有這樣一種三星系統(tǒng)，系統(tǒng)由兩個質(zhì)量為m的小星體和一個質(zhì)量為M的大星體組成，兩個小星體圍繞大星體在同一圓形軌道上運行，軌道半徑為r。關于該三星系統(tǒng)的說法正確的是(　　) A．在穩(wěn)定運行的情況下，大星體提供兩小星體做圓周運動的向心力 B．在穩(wěn)定運行的情況下，大星體應在小星體軌道中心，兩小星體在大星體相對的兩側(cè) C．小星體運行的周期為T＝ D．大星體運行的周期為T＝ 解析　在穩(wěn)定運行的情況下，對某一個環(huán)繞星體而言，受到其他兩個星體的萬有引力，兩個萬有引力的合力提供環(huán)繞星體做圓周運動的向心力，選項A錯誤；在穩(wěn)定運行的情況下，大星體應在小星體軌道中心，兩小星體在大星體相對的兩側(cè)，選項B正確；對某一個小星體有＋＝，解得小星體運行的周期為T＝，選項C正確；大星體相對靜止，選項D錯誤。 答案　BC 11．北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國自行研制開發(fā)的區(qū)域性三維衛(wèi)星定位與通信系統(tǒng)，建成后的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)包括5顆同步衛(wèi)星和30顆一般軌道衛(wèi)星。關于這些衛(wèi)星，下列說法正確的是(　　) A．5顆同步衛(wèi)星的軌道半徑都相同 B．5顆同步衛(wèi)星的運行軌道必定在同一平面內(nèi) C．導航系統(tǒng)所有衛(wèi)星的運行速度一定大于第一宇宙速度 D．導航系統(tǒng)所有衛(wèi)星中，運行軌道半徑越大的衛(wèi)星，周期越小 解析　所有同步衛(wèi)星的軌道都位于赤道平面內(nèi)，軌道半徑和運行周期都相同，選項A、B正確；衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，有G＝m，v＝，故隨著衛(wèi)星運行軌道半徑的增大，運行速度減小，在地球表面附近運行的衛(wèi)星的速度最大，等于第一宇宙速度，導航系統(tǒng)所有衛(wèi)星運行的速度都小于第一宇宙速度，選項C錯誤；由G＝mr得T2＝，則軌道半徑越大，周期越大，選項D錯誤。 答案　AB 12．(2016四川綿竹市診斷)某物理興趣小組通過查資料得到以下量的具體數(shù)據(jù)(用字母表示)：地球半徑R，地球質(zhì)量m，日地中心距離r，地球的近地衛(wèi)星繞地球運行的周期T1，地球的同步衛(wèi)星繞地球運行的周期T0，地球繞太陽運行的周期T。由此可知(　　) A．太陽質(zhì)量為 B．太陽質(zhì)量為 C．地球同步衛(wèi)星離地面的高度為(－1)R D．地球同步衛(wèi)星離地面的高度為(－1)R 解析　設太陽質(zhì)量為M，由萬有引力提供向心力有G＝mr，在地球表面有G＝m′R，得M＝，A正確，B錯誤；由開普勒第三定律有＝，可得地球同步衛(wèi)星離地面的高度為h＝(－1)R，C正確，D錯誤。 答案　AC 13．海南文昌衛(wèi)星發(fā)射場靠近赤道，主要用于發(fā)射中國新一代無毒、無污染運載火箭和新型航天器，承擔地球同步軌道衛(wèi)星、大質(zhì)量極軌衛(wèi)星、大噸位空間站和深空探測航天器等航天發(fā)射任務。假設海南文昌衛(wèi)星發(fā)射場的地理緯度是θ，地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)周期為T，該地的重力加速度為g，則(　　) A．衛(wèi)星靜止在發(fā)射塔時的線速度為 B．質(zhì)量為m的衛(wèi)星所受地球的引力可能小于mg C．質(zhì)量為m的衛(wèi)星靜止在發(fā)射塔時的向心加速度a＝()2Rcos θ D．質(zhì)量為m的衛(wèi)星靜止在發(fā)射塔時對發(fā)射塔的壓力大小等于mg 解析　衛(wèi)星靜止在發(fā)射塔時的線速度為v＝ωRcos θ＝，選項A錯誤；由于地球自轉(zhuǎn)，質(zhì)量為m的衛(wèi)星所受地球的引力一定大于mg，選項B錯誤；質(zhì)量為m的衛(wèi)星隨地球自轉(zhuǎn)，軌跡圓半徑為r＝Rcos θ，向心加速度a＝ω2Rcos θ＝()2Rcos θ，選項C正確；質(zhì)量為m的衛(wèi)星靜止在發(fā)射塔時對發(fā)射塔的壓力大小等于其重力mg，選項D正確。 答案　CD 14．2016年6月25日20時00分，長征七號運載火箭成功發(fā)射，6月26日15時04分許，圍繞地球飛行了13圈的多用途飛船縮比返回艙開始返回。假設多用途飛船圍繞地球做勻速圓周運動，若已知地面的重力加速度和地球半徑，根據(jù)以上信息，可以求出的物理量為(　　) A．多用途飛船圍繞地球做勻速圓周運動的向心力 B．多用途飛船圍繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑 C．地球質(zhì)量 D．多用途飛船圍繞地球做勻速圓周運動的線速度 解析　根據(jù)題述信息，可求出多用途飛船圍繞地球飛行13圈的時間，進而求出多用途飛船圍繞地球做勻速圓周運動的周期T。由G＝mg，解得地球質(zhì)量M＝，由于引力常量G未知，所以不能得出地球質(zhì)量，選項C錯誤；由G＝mg，G＝mr()2，解得r＝，選項B正確；多用途飛船圍繞地球做勻速圓周運動的向心力F＝m()2r，由于不知飛船的質(zhì)量m，不能求出多用途飛船圍繞地球做勻速圓周運動的向心力，選項A錯誤；已知軌道半徑r和運動周期T，可以求出多用途飛船圍繞地球做勻速圓周運動的線速度v＝，選項D正確。 答案　BD 二、非選擇題 15．中國計劃在2017年實現(xiàn)返回式月球軟著陸器對月球進行科學探測，宇航員在月球上著陸后，自高h處以初速度v0水平拋出一小球，測出水平射程為L(這時月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半徑為R，萬有引力常量為G，求： (1)月球表面處的重力加速度及月球的質(zhì)量M月； (2)如果要在月球上發(fā)射一顆繞月球運行的衛(wèi)星，所需的最小發(fā)射速度為多大？ (3)當著陸器繞距月球表面高H的軌道上運動時，著陸器環(huán)繞月球運動的周期是多少？ 解析　(1)設月球表面的重力加速度為g，由平拋運動規(guī)律有 h＝gt2① L＝v0t② 得g＝③ 著陸器在月球表面所受的萬有引力等于重力， G＝mg④ 得M月＝⑤ (2)衛(wèi)星繞月球表面運行，有 G＝⑥ 聯(lián)立⑤⑥得v＝⑦ (3)由牛頓第二定律有G＝m(R＋H)⑧ 聯(lián)立⑤⑧得T＝ 答案　(1)　　(2) (3)