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考點(diǎn)規(guī)范練54　古典概型 一、基礎(chǔ)鞏固 1.在2,0,1,5這組數(shù)據(jù)中,隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù),則數(shù)字2是取出的三個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)的概率為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.34 B.58 C.12 D.14 答案C 解析由題意可知總的基本事件有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),共4種, 其中數(shù)字2是取出的三個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)的有(2,0,5),(2,1,5),共2種, 故所求的概率為24=12. 2.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,則甲被選中的概率為(　　) A.15 B.25 C.825 D.925 答案B 解析從甲、乙等5名學(xué)生中選2人有10種方法,其中2人中包含甲的有4種方法,故所求的概率為410=25. 3.一名同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次,第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x,第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x+y=8上的概率為(　　) A.16 B.112 C.536 D.19 答案B 解析依題意,以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有66=36(個(gè)),其中落在直線2x+y=8上的點(diǎn)有(1,6),(2,4),(3,2),共3個(gè),故所求事件的概率為336=112. 4.(2018廣東佛山質(zhì)檢)袋中有5個(gè)球,這些球除了顏色和標(biāo)號(hào)外,其余均相同,其中紅色球3個(gè),標(biāo)號(hào)分別為1,2,3;藍(lán)色球2個(gè),標(biāo)號(hào)分別為1,2.從袋中任取兩個(gè)球,則這兩個(gè)球顏色不同,且標(biāo)號(hào)之和不小于4的概率為(　　) A.310 B.25 C.35 D.710 答案A 解析設(shè)紅球?yàn)锳1,A2,A3,藍(lán)色球?yàn)锽1,B2,任取兩個(gè)球,總的事件包括:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A1A2,A1A3,A2A3,B1B2,共10個(gè), 其中滿足題意的有A2B2,A3B1,A3B2,共3個(gè), 所以這兩個(gè)球顏色不同,且標(biāo)號(hào)之和不小于4的概率為310. 5.(2018遼寧六校協(xié)作體期中)四個(gè)人圍坐在一張圓桌旁,每個(gè)人面前放著完全相同的硬幣,所有人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個(gè)人站起來;若硬幣正面朝下,則這個(gè)人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的概率為(　　) A.12 B.516 C.716 D.1116 答案C 解析四個(gè)人坐著或站起來的情形共有24=16(種).沒有相鄰的兩個(gè)人站起來,即硬幣的正面不能相鄰,有以下幾種情況:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,共7種.由古典概型概率公式可得,沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的概率為716. 6.某校食堂使用大小、手感完全一樣的餐票,小明口袋里有一元餐票2張,兩元餐票2張,五元餐票1張,若他從口袋中隨機(jī)地摸出2張,則其面值之和不少于四元的概率為(　　) A.310 B.25 C.12 D.35 答案C 解析小明口袋里共有5張餐票,隨機(jī)地摸出2張,基本事件總數(shù)n=10,其面值之和不少于四元包含的基本事件數(shù)m=5, 故其面值之和不少于四元的概率為mn=510=12. 7.從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a,從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b,則向量m=(a,b)與向量n=(1,-1)垂直的概率為 (　　) A.16 B.13 C.14 D.12 答案A 解析由題意可知向量m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12種情況. 因?yàn)閙⊥n,即mn=0,所以a1+b(-1)=0,即a=b, 滿足條件的有(3,3),(5,5),共2種,故所求的概率為16. 8.將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是　　　　　. 答案56 解析(方法一)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次,共有36個(gè)基本事件.其中向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的基本事件共有30個(gè),所以所求概率為3036=56. (方法二)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次,共有36個(gè)基本事件.記A表示“向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10”,則A表示“向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于10”,A的基本事件共有6個(gè), 所以P(A)=636=16,所以P(A)=1-P(A)=56. 9.已知蒸籠中共蒸有5個(gè)外形和大小完全相同的包子,其中2個(gè)香菇青菜包、1個(gè)肉包、1個(gè)豆沙包、1個(gè)蘿卜絲包,現(xiàn)從蒸籠中任取2個(gè)包子,則取出的這2個(gè)包子中有香菇青菜包的概率為　　　　　. 答案710 解析不妨將2個(gè)香菇青菜包分別編號(hào)為1,2,1個(gè)肉包編號(hào)為3,1個(gè)豆沙包編號(hào)為4,1個(gè)蘿卜絲包編號(hào)為5,則所有的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個(gè). 記“取出的2個(gè)包子中有香菇青菜包”為事件A, 則事件A包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共7個(gè). 故所求的概率為P(A)=710. 10.為迎接校運(yùn)動(dòng)會(huì)的到來,某校團(tuán)委在高一年級(jí)招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜歡運(yùn)動(dòng)). (1)若用分層抽樣的方法從男、女志愿者中共抽取10人組成服務(wù)隊(duì),求女志愿者被抽到的人數(shù); (2)若從喜歡運(yùn)動(dòng)的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得醫(yī)療救護(hù)),任意抽取2名志愿者負(fù)責(zé)醫(yī)療救護(hù)工作,則抽出的2名志愿者都能勝任醫(yī)療救護(hù)工作的概率是多少? 解(1)由題意可知每個(gè)志愿者被抽中的概率是1030=13, 故女志愿者被抽到的人數(shù)為1813=6. (2)設(shè)喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者為A,B,C,D,E,F,其中A,B,C,D懂得醫(yī)療救護(hù), 則從這6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15種取法, 其中2人都懂得醫(yī)療救護(hù)的有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6種取法. 設(shè)“抽出的2名志愿者都能勝任醫(yī)療救護(hù)工作”為事件A, 則抽出的2名志愿者都能勝任醫(yī)療救護(hù)工作的概率P(A)=615=25. 11. (2018廣東佛山模擬)某游樂園為吸引游客,推出了一項(xiàng)有獎(jiǎng)轉(zhuǎn)盤活動(dòng).如圖,假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻,每名游客憑門票只可以參與一次活動(dòng),一次活動(dòng)需轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),工作人員便會(huì)記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y,獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下: ①若xy≤3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);②若xy≥8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);③其余情況則獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶. (1)求在一次活動(dòng)中小亮獲得玩具的概率; (2)請(qǐng)比較一次活動(dòng)中小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由. 解(1)用數(shù)對(duì)(x,y)表示小亮參加活動(dòng)先后記錄的數(shù), 則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng). 因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是44=16, 所以基本事件總數(shù)為n=16. 記“xy≤3”為事件A,則事件A包含的基本事件共有5個(gè), 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=516,故小亮獲得玩具的概率為516. (2)記“xy≥8”為事件B,“3516,所以一次活動(dòng)中小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 二、能力提升 12.(2018湖南、江西十四校聯(lián)考)已知某地春天下雨的概率為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)未來三天恰有一天下雨的概率.先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組,代表未來三天是否下雨的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.據(jù)此估計(jì),該地未來三天恰有一天下雨的概率為(　　) A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35 答案C 解析根據(jù)題意,該地未來三天恰有一天下雨,就是三個(gè)數(shù)字xyz中只有一個(gè)數(shù)字在集合{1,2,3,4}中,考查所給20組數(shù)據(jù),以下8組數(shù)據(jù)符合題意,按次序分別為925,458,683,257,027,488,730,537, 則所求概率P=820=0.4,故選C. 13.設(shè)a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},則函數(shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)的概率為(　　) A.12 B.58 C.1116 D.34 答案C 解析因?yàn)閒(x)=x3+ax-b,所以f(x)=3x2+a. 因?yàn)閍∈{1,2,3,4},所以f(x)>0, 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù). 若存在零點(diǎn),則f(1)f(2)≤0,解得a+1≤b≤8+2a. 因此,可使函數(shù)在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)的情況為: a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8,共有3種情況; a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12,共有3種情況; a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12,共有3種情況; a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12,共有2種情況. 所以有零點(diǎn)共有3+3+3+2=11種情況. 而構(gòu)成函數(shù)共有44=16種情況, 根據(jù)古典概型可得有零點(diǎn)的概率為1116. 14.(2018上海崇明區(qū)二模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧,有人送來米1 534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為　　　　　石.(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字) 答案169.1 解析設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為x石,由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式,可得x1534=28254,解得x=281534254≈169.1. 15.空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為七檔(五級(jí)),相對(duì)應(yīng)空氣質(zhì)量的七個(gè)類別,指數(shù)越大,說明污染的情況越嚴(yán)重,對(duì)人體危害越大. 指數(shù) 級(jí)別 類別 戶外活動(dòng)建議 0~50 Ⅰ 優(yōu) 可正?；顒?dòng) 51~100 Ⅱ 良 101~150 Ⅲ 輕微污染 易感人群癥狀有輕度加劇,健康人群出現(xiàn)刺激癥狀,心臟病和呼吸系統(tǒng)疾病患者應(yīng)減少體力消耗和戶外活動(dòng) 151~200 輕度污染 201~250 Ⅳ 中度污染 心臟病和肺病患者癥狀顯著加劇,運(yùn)動(dòng)耐受力降低,健康人群中普遍出現(xiàn)癥狀,老年人和心臟病、肺病患者應(yīng)減少體力活動(dòng) 251~300 中度重污染 301~500 Ⅴ 重污染 健康人運(yùn)動(dòng)耐受力降低,有明顯強(qiáng)烈癥狀,提前出現(xiàn)某些疾病,老年人和病人應(yīng)當(dāng)留在室內(nèi),避免體力消耗,一般人群應(yīng)盡量減少戶外活動(dòng) 現(xiàn)統(tǒng)計(jì)邵陽(yáng)市市區(qū)2017年10月至11月連續(xù)60天的空氣質(zhì)量指數(shù),制成如圖所示的頻率分布直方圖. (1)求這60天中屬輕度污染的天數(shù); (2)求這60天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值; (3)將頻率分布直方圖中的五組從左到右依次命名為第一組,第二組,……第五組.從第一組和第五組中的所有天數(shù)中抽出兩天,記它們的空氣質(zhì)量指數(shù)分別為x,y,求事件|x-y|≤150的概率. 解(1)依題意知,輕度污染即空氣質(zhì)量指數(shù)在151~200之間,共有0.0035060=9(天). (2)由直方圖知這60天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為 x=250.1+750.4+1250.3+1750.15+2250.05=107.5. (3)第一組和第五組的天數(shù)分別為600.1=6,600.05=3, 則從9天中抽出2天的一切可能結(jié)果的基本事件有36種, 由|x-y|≤150知兩天只能在同一組中,而兩天在同一組中的基本事件有18種, 用M表示|x-y|≤150這一事件,則P(M)=1836=12. 三、高考預(yù)測(cè) 16.為了了解某學(xué)段1 000名學(xué)生的百米成績(jī)情況,隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生的百米成績(jī),成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,將成績(jī)按如下方式分成五組:第一組[13,14);第二組[14,15);…;第五組[17,18].由上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示,已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為3∶8∶19,且第二組的頻數(shù)為8. (1)將頻率當(dāng)作概率,請(qǐng)估計(jì)該學(xué)段學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱16,17)內(nèi)的人數(shù)以及所有抽取學(xué)生的百米成績(jī)的中位數(shù)(精確到0.01秒); (2)若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)人的成績(jī),求這兩個(gè)人的成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒的概率. 解(1)設(shè)前三組的頻率依次為3x,8x,19x, 則3x+8x+19x=1-0.32-0.08=0.6,即x=0.02, 故第二組的頻率為0.16,又第二組的頻數(shù)為8, 所以抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為80.16=50, 由此可估計(jì)學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱16,17)內(nèi)的人數(shù)為0.3250=16. 設(shè)所求中位數(shù)為m,由第一組、第二組、第三組的頻率分別為0.06,0.16,0.38, 則0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5, 解得m≈15.74. 故估計(jì)學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱16,17)內(nèi)的人數(shù)為16, 所有抽取學(xué)生的百米成績(jī)的中位數(shù)為15.74秒. (2)記“兩個(gè)人成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒”為事件A. 由(1)可知從第一組抽取的人數(shù)為0.02350=3,不妨記為a,b,c; 從第五組抽取的人數(shù)為0.0850=4,不妨記為1,2,3,4. 則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)人的成績(jī)有ab,ac,a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4,12,13,14,23,24,34,共21種情況, 其中兩個(gè)人的成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒是來自不同的組,共有12種情況. 故兩個(gè)人的成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒的概率為1221=47.