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第2章 圓錐曲線與方程
章末復(fù)習(xí)
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握橢圓
、雙曲線、拋物線的定義及其應(yīng)用，會(huì)用定義求標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，會(huì)利用幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.4.掌握簡單的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的解決方法.
1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
橢圓
雙曲線
拋物線
定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡
平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
關(guān)系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
圖形
封閉圖形
無限延展，但有漸近線y＝x或y＝x
無限延展，沒有漸近線
變量范圍
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
對稱性
對稱中心為原點(diǎn)
無對稱中心
兩條對稱軸
一條對稱軸
頂點(diǎn)
四個(gè)
兩個(gè)
一個(gè)
離心率
e＝，且0
1
e＝1
決定形狀的因素
e決定扁平程度
e決定開口大小
2p決定開口大小
2.求圓錐曲線方程的一般步驟
一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.
(1)定形——指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對稱軸的位置.
(2)定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
(3)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小.
3.離心率
(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個(gè)參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法.
(3)幾何法：求與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀.
4.焦點(diǎn)三角形
(1)橢圓的焦點(diǎn)三角形
設(shè)P為橢圓＋＝1(a>b>0)上任意一點(diǎn)(不在x軸上)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且∠F1PF2＝α，則△PF1F2為焦點(diǎn)三角形(如圖).
①焦點(diǎn)三角形的面積為S＝b2tan.
②焦點(diǎn)三角形的周長為L＝2a＋2c.
(2)雙曲線的焦點(diǎn)三角形
焦點(diǎn)三角形的面積為S＝.
5.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要是直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識(shí)，形成了求定值、最值、對稱、取值范圍、線段的長度等多種問題.解決此類問題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)的方法；還要多結(jié)合圓錐曲線的定義，利用“設(shè)而不求法”以及“點(diǎn)差法”等.
1.橢圓x2＋4y2＝1的離心率為.( √ )
2.拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.( )
3.若橢圓x2＋my2＝1的離心率為，則它的長半軸長為2.( )
4.雙曲線－＝1(－21)和雙曲線－y2＝1(n>0)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則△F1PF2的形狀是____________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 圓錐曲線定義的運(yùn)用
答案 直角三角形
解析 設(shè)P為雙曲線右支上的一點(diǎn).
對橢圓＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，
PF1＋PF2＝2；
對雙曲線－y2＝1，c2＝n＋1，
PF1－PF2＝2.
∴PF1＝＋，PF2＝－，
F1F＝(2c)2＝2(m＋n).
而PF＋PF＝2(m＋n)＝(2c)2＝F1F，
∴△F1PF2是直角三角形.
類型二 圓錐曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用
例2 (1)已知a＞b＞0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線的斜率為______________.
(2)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線－y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若△FAB為直角三角形，則該雙曲線的離心率為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線的離心率問題
答案 (1) (2)
解析 (1)∵a＞b＞0，橢圓C1的方程為＋＝1，
∴C1的離心率為.
∵雙曲線C2的方程為－＝1，
∴C2的離心率為.
∵C1與C2的離心率之積為，
∴＝，
∴2＝，＝，
∴C2的漸近線的斜率為.
(2)拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1.又△FAB為直角三角形，則只有∠AFB＝90，如圖，則A(－1,2)在雙曲線上，代入雙曲線方程可得a2＝，于是c＝＝.
故e＝＝.
反思與感悟 有關(guān)圓錐曲線的焦點(diǎn)、離心率、漸近線等問題是考試中常見的問題，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解題意，大都可以順利求解.
跟蹤訓(xùn)練2 已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線的離心率問題
答案
解析 設(shè)P(x，y)，則＝(－c－x，－y)(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
將y2＝b2－x2代入①式，解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
類型三 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
例3 已知橢圓＋＝1(a>b>0)上的點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2，離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)M滿足MA＝MB，求直線l的斜率k的值.
考點(diǎn) 直線與橢圓
題點(diǎn) 利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問題
解 (1)由題意知，PF1＋PF2＝2a＝2，
所以a＝.
又因?yàn)閑＝＝，所以c＝＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F2(1,0)，直線斜率顯然存在，
設(shè)直線的方程為y＝k(x－1)，
兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).
聯(lián)立直線與橢圓的方程，得
化簡得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0.
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
①當(dāng)k≠0時(shí)，AB的中垂線方程為
y－＝－，
因?yàn)镸A＝MB，
所以點(diǎn)M在AB的中垂線上，
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程，得＋＝，
即2k2－7k＋＝0，解得k＝或k＝；
②當(dāng)k＝0時(shí)，AB的中垂線方程為x＝0，滿足題意.
所以斜率k的取值為0，或.
反思與感悟 解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法：
(1)函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解.
(2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系式，通過解不等式求參數(shù)范圍.
跟蹤訓(xùn)練3 如圖，焦距為2的橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，且與n＝(，－1)共線.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線y＝kx＋m與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn) 直線與橢圓
題點(diǎn) 利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問題
解 (1)因?yàn)?c＝2，所以c＝1.
又＝(－a，b)，且∥n，所以b＝a，
所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2.
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直線方程y＝kx＋m代入橢圓方程＋y2＝1，
消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
Δ＝16k2－8m2＋8>0，即m2<2k2＋1.(*)
因?yàn)樵c(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，
所以<0，即x1x2＋y1y2<0.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
由＋<0，得m2b>0)，M(x，y)為橢圓上的點(diǎn)，由＝，得a＝2b.
PM2＝x2＋2＝－32＋4b2＋3(－b≤y≤b)，
若b<，則當(dāng)y＝－b時(shí)PM2最大，即2＝7，
∴b＝－>，故矛盾.
若b≥，當(dāng)y＝－時(shí)，4b2＋3＝7，b2＝1，a2＝4，
所求方程為＋y2＝1.
1.已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，弦AB過F1，若△ABF2的周長為8，則橢圓的離心率為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 圓錐曲線定義的運(yùn)用
答案
解析 因?yàn)椤鰽BF2的周長為4a，所以a＝2，得k＝2，
所以e＝＝＝.
2.設(shè)橢圓＋＝1 (m>n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用
答案?。?
解析 ∵y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，
∴＋＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴橢圓方程為＋＝1.
3.以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為中心，離心率為2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用
答案 x2－＝1
解析 易得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，
所以雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，
則a＝1.
又離心率e＝＝2，所以c＝2，
從而b2＝c2－a2＝3.
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1.
4.若拋物線y2＝2x上的兩點(diǎn)A，B到焦點(diǎn)的距離的和是5，則線段AB的中點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 圓錐曲線定義的運(yùn)用
答案 2
解析 設(shè)l是拋物線的準(zhǔn)線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A，B，P在l上的投影分別為A1，B1，P1.
則由拋物線的定義可知，AA1＋BB1＝AF＋BF＝5，
所以PP1＝(AA1＋BB1)＝，
所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d＝－＝2.
5.過橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是____________.
考點(diǎn) 直線與橢圓
題點(diǎn) 利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問題
答案 3x＋4y－13＝0
解析 設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，
由于A，B兩點(diǎn)均在橢圓上，故＋＝1，＋＝1，
兩式相減得
＋＝0.
又∵P是A，B的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
∴直線AB的方程為y－1＝－(x－3).
即3x＋4y－13＝0.
在解決圓錐曲線問題時(shí)，待定系數(shù)法，“設(shè)而不求”思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是最常用的幾種思想方法，“設(shè)而不求”思想，在解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題中匠心獨(dú)具，很好的解決了計(jì)算的繁雜、瑣碎問題.
一、填空題
1.設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B.若BF2＝F1F2＝2，則該橢圓的方程為____________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用
答案?。?
解析 ∵BF2＝F1F2＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴橢圓的方程為＋＝1.
2.已知雙曲線－y2＝1(a>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的漸近線方程是____________.
考點(diǎn) 雙曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)
答案 y＝x
解析 ∵y2＝8x的焦點(diǎn)是(2,0)，
∴雙曲線－y2＝1的半焦距c＝2，又虛半軸長b＝1且a>0，∴a＝＝，
∴雙曲線的漸近線方程是y＝x.
3.若曲線＋＝1的一條準(zhǔn)線方程為x＝10，則m的值為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的準(zhǔn)線
題點(diǎn) 準(zhǔn)線方程的運(yùn)用
答案 6或86
解析 ∵此曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
∴a2＝m＋4，c＝＝.
而一條準(zhǔn)線方程為x＝10，
∴＝10，解得m＝6或86.
4.在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線的離心率問題
答案
解析 不妨設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，
則有即
①②得e＝.
5.設(shè)P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，又點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，－4)，則PQ的最大值為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線中的最值問題
答案 8
解析 設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，
則PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25＋(y＋4)2
＝－2＋(－4≤y≤4)，
當(dāng)y＝4時(shí)，PQ2最大，
此時(shí)PQ最大，且PQ的最大值為
＝8.
6.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為__________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線的離心率問題
答案
解析 不妨設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，
則可令F(c,0)，B(0，b).
直線FB：bx＋cy－bc＝0與漸近線y＝x垂直，
所以－＝－1，即b2＝ac，
所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去).
7.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其上一點(diǎn)P(1，m)到焦點(diǎn)的距離為5，則m的值為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 圓錐曲線定義的運(yùn)用
答案 4
解析 由拋物線的定義知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，所以1＋＝5，p＝8，故拋物線的方程為y2＝16x.將點(diǎn)P(1，m)代入方程，得m＝4.
8.設(shè)P是雙曲線－＝1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若PF1＝3，則PF2＝________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 圓錐曲線定義的運(yùn)用
答案 7
解析 雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
即＝，又b2＝9，∴a＝2.
由雙曲線定義知，|PF1－PF2|＝2a＝4，
∴PF2＝7.
9.點(diǎn)P在橢圓x2＋＝1上，點(diǎn)Q在直線y＝x＋4上，若PQ的最小值為，則m＝________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線中的最值問題
答案 3
解析 根據(jù)題意，與直線y＝x＋4平行且距離為的直線方程為y＝x＋2或y＝x＋6(舍去)，
聯(lián)立消去y，得(m＋1)x2＋4x＋4－m＝0，
令Δ＝16－4(m＋1)(4－m)＝0，
解得m＝0或m＝3，∵m>0，∴m＝3.
10.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e.直線l：y＝ex＋a與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)＝e，則該橢圓的離心率e＝________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線的離心率問題
答案
解析 因?yàn)辄c(diǎn)A，B分別是直線l：y＝ex＋a與x軸，y軸的交點(diǎn)，所以點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，(0，a).
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由＝e，
得(*)
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以＋＝1，
將(*)式代入，得＋＝1，
整理得e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去).
二、解答題
11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的一邊AB在x軸上，另一邊CD在x軸上方，且AB＝8，BC＝6，其中A(－4,0)，B(4,0).
(1)若A，B為橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，求該橢圓的方程；
(2)若A，B為雙曲線的焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，求雙曲線的方程.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用
解 (1)∵A，B為橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，
根據(jù)橢圓的定義知，CA＋CB＝16＝2a，∴a＝8.
在橢圓中，b2＝a2－c2＝64－16＝48，
∴橢圓方程為＋＝1.
(2)∵A，B是雙曲線的焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線的定義知，CA－CB＝4＝2a′，∴a′＝2.
在雙曲線中，b′2＝c′2－a′2＝16－4＝12，
∴雙曲線方程為－＝1.
12.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)N(－，1)在橢圓上，線段NF2與y軸的交點(diǎn)M滿足＋＝0.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 圓錐曲線定義的運(yùn)用，焦點(diǎn)三角形
解 (1)由已知，點(diǎn)N(－，1)在橢圓上，
∴有＋＝1，①
又∵＋＝0，M在y軸上，∴M為NF2的中點(diǎn)，
∴－＋c＝0，c＝.
∴a2－b2＝2，②
由①②解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，
故所求橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)PF1＝m，PF2＝n，
則S△F1PF2＝mnsin＝mn.
由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.③
又由余弦定理得PF＋PF－2PF1PF2cos＝F1F，
即m2＋n2－mn＝(2)2.④
由③2－④，得mn＝，∴S△F1PF2＝.
13.已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，)，離心率e＝.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓E相切于點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q，求證：以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)N(1，0).
考點(diǎn) 直線與橢圓
題點(diǎn) 利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問題
(1)解 由已知可得∴a2＝4，
∴所求橢圓方程為＋＝1.
(2)證明 聯(lián)立方程＋＝1與y＝kx＋m，消元得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∵曲線E與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴Δ＝0，化簡可得m2＝4k2＋3，故m≠0.
設(shè)P(xP，yP)，故xP＝＝－，
yP＝kxP＋m＝，故P.
又由得Q(4,4k＋m).
∵N(1,0)，＝，＝(3,4k＋m)，
∴＝3＋－－3＝0，∴⊥，
∴以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)N(1,0).
三、探究與拓展
14.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn).若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，則橢圓C的離心率為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 圓錐曲線的離心率問題
答案
解析 設(shè)AB＝3t(t＞0)，則BF2＝4t，AF2＝5t，則AB＋BF2＋AF2＝12t.
因?yàn)锳B＋BF2＋AF2＝4a，所以12t＝4a，即t＝a.
又F1A＋AF2＝2a，
所以F1A＝2a－a＝a，F(xiàn)1B＝a，BF2＝a.
由AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，知AB⊥BF2，
故F1B2＋BF＝4c2，
即2＋2＝4c2，得a2＝c2.
所以e2＝＝，即e＝.
15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn).
(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求a，b的值；
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，B為橢圓上一點(diǎn)，且＝，求直線AB的斜率.
考點(diǎn) 直線與橢圓
題點(diǎn) 利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問題
解 (1)因?yàn)闄E圓的離心率為，所以＝，
即＝.①
又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以＋＝1.②
由①②解得a2＝9，b2＝5.
因?yàn)閍>b>0，所以a＝3，b＝.
(2)由①知，＝，
所以橢圓方程為＋＝1，即5x2＋9y2＝5a2.
設(shè)直線OC的方程為x＝my(m>0)，B(x1，y1)，C(x2，y2).
由得5m2y2＋9y2＝5a2，
所以y2＝.
因?yàn)閥2>0，所以y2＝.
因?yàn)椋?，所以AB∥OC.
可設(shè)直線AB的方程為x＝my－a.
由得(5m2＋9)y2－10amy＝0，
所以y＝0或y＝，得y1＝.
因?yàn)椋剑?
所以(x1＋a，y1)＝，于是y2＝2y1，
即＝(m>0)，所以m＝.
所以直線AB的斜率為＝.
2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
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