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3.1 不等關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題的不等關(guān)系.2.體會(huì)用數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)不等關(guān)系等實(shí)際問(wèn)題的方法．
知識(shí)點(diǎn)一 不等關(guān)系
思考1 限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40 km/h，用不等式如何表示？
答案 v≤40.
梳理 我們可以用不等式(組)來(lái)刻畫(huà)不等關(guān)系，以下是常見(jiàn)的文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換.
文字語(yǔ)言
數(shù)學(xué)符號(hào)
大于
>
小于
<
大于或等于
≥
小于或等于
≤
至多
≤
至少
≥
不少于
≥
不多于
≤
不足
<
超過(guò)
>
知識(shí)點(diǎn)二 作差法
思考 x2＋1與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關(guān)系并不顯而易見(jiàn)．你能想個(gè)辦法，比較x2＋1與2x的大小，而且具有說(shuō)服力嗎？
答案 作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.
梳理 依照下列性質(zhì)：
(1)a－b＞0?a>b；
(2)a－b＝0?a＝b；
(3)a－b<0?a
b，則>1.()
類(lèi)型一 用不等式(組)表示不等關(guān)系
命題角度1 用不等式表示單個(gè)約束條件
例1 某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷(xiāo)售量就可能相應(yīng)減少2000本．若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢？
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 設(shè)雜志社的定價(jià)為x元，
則銷(xiāo)售的總收入為x萬(wàn)元，
那么不等關(guān)系“銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元”可以表示為不等式x≥20.
反思與感悟 數(shù)學(xué)中的能力之一就是抽象概括能力，即能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系．用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系時(shí)：(1)要先讀懂題，設(shè)出未知量；(2)抓關(guān)鍵詞，找到不等關(guān)系；(3)用不等式表示不等關(guān)系．思維要嚴(yán)密、規(guī)范．
跟蹤訓(xùn)練1 將下列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(不求解)．
(1)出生大一天，終生都是哥；
(2)函數(shù)f(x)在R上的函數(shù)隨x的增大而減?。?
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 (1)設(shè)x(天)為弟弟的年齡，
則哥哥年齡為x＋1，有x＋1>x.
(2)設(shè)任意x1，x2∈R，且x1f(x2)．
命題角度2 用不等式組表示多個(gè)約束條件
例2 某鋼鐵廠(chǎng)要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種．按照生產(chǎn)的要求，600mm的鋼管數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍．怎樣寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根．根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：
(1)截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不超過(guò)4000mm；
(2)截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管數(shù)量的3倍；
(3)截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)．
要同時(shí)滿(mǎn)足上述的三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來(lái)表示：
反思與感悟 (1)當(dāng)問(wèn)題存在多個(gè)制約因素(如上例500mm,600mm的鋼管個(gè)數(shù))時(shí)，可以引入多個(gè)變量(如上例用兩個(gè)變量x，y)．
(2)當(dāng)問(wèn)題存在多個(gè)約束條件(如上例總長(zhǎng)度不超過(guò)4000mm，600mm的鋼管個(gè)數(shù)不能超過(guò)500mm鋼管個(gè)數(shù)的3倍等)可以用多個(gè)不等式表示不等關(guān)系．
(3)當(dāng)多個(gè)約束條件要求同時(shí)滿(mǎn)足時(shí)，可以用大括號(hào)“{”聯(lián)立這些不等式，相當(dāng)于求這些不等式的解集的交集．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)試用不等式表示第一象限內(nèi)距原點(diǎn)距離不超過(guò)1的點(diǎn)．
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P(x，y)，則x，y滿(mǎn)足：
(2)三角形任兩邊之和大于第三邊．
解 設(shè)△ABC三邊分別為a，b，c，則
類(lèi)型二 作差法比較大小
例3 已知a，b均為正實(shí)數(shù)．試?yán)米鞑罘ū容^a3＋b3與a2b＋ab2的大?。?
考點(diǎn) 實(shí)數(shù)大小的比較
題點(diǎn) 作差法比較大小
解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
當(dāng)a＝b時(shí)，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
綜上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
反思與感悟 比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以求出它們的差的符號(hào)．作差法比較實(shí)數(shù)大小的一般步驟是作差→恒等變形→判斷差的符號(hào)→下結(jié)論．作差后變形是比較大小的關(guān)鍵一步，變形的方向是化成幾個(gè)完全平方數(shù)和的形式或一些易判斷符號(hào)的因式積的形式．
跟蹤訓(xùn)練3 已知x<1，試比較x3－1與2x2－2x的大小．
考點(diǎn) 實(shí)數(shù)大小的比較
題點(diǎn) 作差法比較大小
解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
∵2＋＞0，x－1<0，
∴(x－1)<0，
∴x3－1<2x2－2x.
1．某校對(duì)高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線(xiàn)，專(zhuān)業(yè)成績(jī)x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績(jī)z超過(guò)45分，則用不等式表示上述關(guān)系為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過(guò)”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系用不等式表示為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 實(shí)數(shù)大小的比較
題點(diǎn) 作差法比較大小
答案 a>－b>b>－a
解析 由a＋b>0，知a>－b，∴－a0，∴a>－b>b>－a.
3．比較(a＋3)(a－5)與(a＋2)(a－4)的大?。?
考點(diǎn) 實(shí)數(shù)大小的比較
題點(diǎn) 作差法比較大小
解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
4．某市政府準(zhǔn)備投資1800萬(wàn)元興辦一所中學(xué)．經(jīng)調(diào)查，班級(jí)數(shù)量以20至30個(gè)為宜，每個(gè)初、高中班硬件配置分別需要28萬(wàn)元與58萬(wàn)元，該學(xué)校的規(guī)模(初、高中班級(jí)數(shù)量)所滿(mǎn)足的條件是什么？
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 設(shè)該校有初中班x個(gè)，高中班y個(gè)，則有
1．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?aax>a2
解析 ∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
3．甲、乙兩人與用人單位簽訂的薪酬協(xié)議分別為：
甲每月的薪酬為公差為d的等差數(shù)列{an}；乙每月的薪酬為公比為q的等比數(shù)列{bn}．
已知甲、乙第一個(gè)月的薪酬相等都是a.第12個(gè)月甲的薪酬不低于乙．把上述條件用不等式表示為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案 a＋11d≥aq11
4．若a>b>c且a＋b＋c＝0，則ab與ac的大小關(guān)系是________．
考點(diǎn) 實(shí)數(shù)大小的比較
題點(diǎn) 作差法比較大小
答案 ab>ac
解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0，知a>0，c<0，
?ab>ac.
5．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，則糖水就變甜了，試根據(jù)此事實(shí)提煉一個(gè)不等式：____________.
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案 >
解析 變甜了，意味著含糖量大了，即濃度高了．
6．四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛(ài)好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示．盛滿(mǎn)酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為h1，h2，h3，h4，則它們的大小關(guān)系正確的是________．
①h2>h1>h4；②h1>h2>h3；③h3>h2>h1.
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案?、?
解析 體積減少一半，h4應(yīng)為內(nèi)空高h(yuǎn)的一半，h2，h1應(yīng)大于，且h2>h1.
7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，則a－b的取值范圍是________．
考點(diǎn) 不等式的性質(zhì)
題點(diǎn) 不等式的性質(zhì)
答案 [－1,6]
考點(diǎn) 實(shí)數(shù)大小的比較
題點(diǎn) 作差法比較大小
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，
又1≤a≤5.
∴－1≤a－b≤6.
8．現(xiàn)有學(xué)生若干人，住若干間宿舍，如果每間住4人，則有19人沒(méi)有住處；如果每間住6人，則有一間宿舍不空也不滿(mǎn)，若設(shè)學(xué)生有x人，則x滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)_______________．(不需要化簡(jiǎn))
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案 0<6－x<6
解析 設(shè)宿舍有y間，則4y＝x－19，∴y＝.
每間住6人，則有一間宿舍不空也不滿(mǎn)，可表示為
消去y，得0<6－x<6.
9．若x∈R，則與的大小關(guān)系為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 實(shí)數(shù)大小的比較
題點(diǎn) 作差法比較大小
答案 ≤
解析 ∵－＝＝≤0.
∴≤.
10．在數(shù)列{an}中，若an＝，則an與an＋1的大小關(guān)系為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 實(shí)數(shù)大小的比較
題點(diǎn) 作差法比較大小
答案 an0，
∴an＋1>an.
二、解答題
11．一個(gè)盒子中紅、白、黑三種球分別為x個(gè)、y個(gè)、z個(gè)，黑球個(gè)數(shù)至少是白球個(gè)數(shù)的一半，至多是紅球個(gè)數(shù)的，白球與黑球的個(gè)數(shù)之和至少為55，試用不等式(組)將題中的不等關(guān)系表示出來(lái)．
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 據(jù)題意可得(x，y，z∈N)．
12．設(shè)x，y，z∈R，比較5x2＋y2＋z2與2xy＋4x＋2z－2的大?。?
考點(diǎn) 實(shí)數(shù)大小的比較
題點(diǎn) 作差法比較大小
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝且z＝1時(shí)取等號(hào)．
13．已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表：
甲
乙
丙
維生素A(單位/kg)
600
700
400
維生素B(單位/kg)
800
400
500
成本(元/kg)
11
9
4
若用甲、乙、丙三種食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.
試用x，y表示混合食物成本c元，并寫(xiě)出x，y所滿(mǎn)足的不等關(guān)系．
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
解 依題意得c＝11x＋9y＋4z，
又x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，
由及z＝100－x－y，
得
∴x，y所滿(mǎn)足的不等關(guān)系為
三、探究與拓展
14．人類(lèi)能聽(tīng)到的聲音頻率x不低于80Hz且不高于2000Hz，用不等式表示為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
題點(diǎn) 用不等式(組)表示不等關(guān)系
答案 80≤x≤2000
15．有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x0，故方案甲的費(fèi)用不是最低的；(ay＋bz＋cx)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(z－y)＝(a－b)(y－z)>0，故方案丙的費(fèi)用不是最低的；(ay＋bx＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－x)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－y＋y－x)＝(a－c)(y－z)＋(b－c)(x－y)>0，故方案丁的費(fèi)用不是最低的．
綜上所述，方案乙的費(fèi)用最低．
2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.1 不等關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修5.docx
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