2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 1.1 實(shí)數(shù)大小的比較學(xué)案 北師大版選修4-5.docx
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1.1 實(shí)數(shù)大小的比較 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解實(shí)數(shù)大小比較的理論依據(jù).2.會(huì)進(jìn)行兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較. 知識(shí)點(diǎn)一 作差法比較大小 思考 你認(rèn)為可以用什么方法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??? 答案 作差,與0比較. 梳理 作差法 (1)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小的基本方法是通過(guò)“作差”,確定差的符號(hào). (2)依據(jù):a>b?a-b>0; a0,b>0的兩個(gè)數(shù),求,比較與1的大小,從而確定a,b的大小,這種方法稱為“作商法”. (2)依據(jù): 當(dāng)a>b,b>0時(shí), >1?a>b; =1?a=b; <1?a0, 所以a-b≥0,a2≥b2>0. 所以3a2≥3b2>2b2, 即3a2-2b2>0. 從而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 即3a3+2b3≥3a2b+2ab2, 即P≥Q. 3.若a,b是任意實(shí)數(shù)且a>b,則( ) A.a(chǎn)2>b2 B.<1 C.lg(a-b)>0 D.ab, ∴f(a)0;③(a-d)(b-d)<0,則有( ) A.a(chǎn) 0, ∴a,b在c的同側(cè). ∵(a-d)(b-d)<0, ∴a,b在d的異側(cè). ∵ab>c B.a(chǎn)>c>b C.c>a>b D.c>b>a 答案 B 解析 ∵1 0. ∴c>b,故選B. 二、填空題 7.已知0<a<,且M=+,N=+,則M,N的大小關(guān)系是________. 答案 M>N 解析 M-N=+=. ∵0<a<,∴ab<1,即1-ab>0, ∴M-N>0,∴M>N. 8.若a,b∈R,且a>b,下列不等式: ①>;②(a+b)2>(b+1)2;③(a-1)2>(b-1)2. 其中不成立的是________.(填序號(hào)) 答案?、佗冖? 解析?、僦?,-==. 因?yàn)閍-b>0,a(a-1)的符號(hào)不確定,①不成立; ②中,取a=2,b=-2,則(a+b)2=0,(b+1)2>0,②不成立;③中,取a=2,b=-2,則(a-1)2=1,(b-1)2=9,③不成立. 9.比較大小:log________log. 答案 > 解析 log-log=-=-==>0, 所以log>log. 10.已知a1≤a2,b1≤b2,則a1b1+a2b2與a1b2+a2b1的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 答案 a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1 解析 (a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1) =a1b1-a1b2+a2b2-a2b1 =a1(b1-b2)+a2(b2-b1) =(a1-a2)(b1-b2). ∵a1≤a2,b1≤b2, ∴a1-a2≤0,b1-b2≤0. ∴(a1-a2)(b1-b2)≥0, ∴a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1. 三、解答題 11.設(shè)a≠b,比較a2+3b2與2b(a+b)的大?。? 解 (a2+3b2)-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2. 因?yàn)閍≠b,所以a-b≠0, 從而(a-b)2>0. 于是a2+3b2>2b(a+b). 12.當(dāng)a≠0時(shí),比較(a2+a+1)(a2-a+1)與(a2+a+1)(a2-a+1)的大?。? 解 ∵(a2+a+1)(a2-a+1)=[(a2+1)+a][(a2+1)-a] =(a2+1)2-2a2=a4+2a2+1-2a2=a4+1, (a2+a+1)(a2-a+1)=[(a2+1)+a][(a2+1)-a] =(a2+1)2-a2=a4+2a2+1-a2=a4+a2+1, ∴(a2+a+1)(a2-a+1)-(a2+a+1)(a2-a+1)=(a4+1)-(a4+a2+1)=-a2. ∵a≠0,∴a2>0, ∴-a2<0, ∴(a2+a+1)(a2-a+1)<(a2+a+1)(a2-a+1). 13.已知a>b>0,比較與的大?。? 解 ∵-=(a-b)=. ∵a>b>0,∴a-b>0, ∴>0.∴->0, 即>. 四、探究與拓展 14.設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx,x∈,若f(x1)>f(x2),則x與x的關(guān)系為_(kāi)_______. 答案 x>x 解析 由題意,得f(x)=f(|x|),且當(dāng)x∈時(shí), f(|x|)為增函數(shù),又由f(x1)>f(x2), 得f(|x1|)>f(|x2|), 故|x1|>|x2|,于是x>x. 15.若x>y>0,比較與的大小關(guān)系. 解 -===. 因?yàn)閤>y>0,所以x-y>0,x+y>0,x2>0, x2+1>1,所以>0. 所以>>0.故>.
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