江蘇省2019高考數學二輪復習 專題七 應用題 第1講 函數、不等式中的應用題學案.doc
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第1講 函數、不等式中的應用題 [考情考向分析] 應用題考查是江蘇高考特色，每年均有考查，試題難度中等或中等偏上．命題主要考查學生運用所學知識建立數學相關模型解決實際問題的能力. 與函數、不等式有關的應用題，可以通過建立函數、不等式模型，解決實際中的優(yōu)化問題或者滿足特定條件的實際問題． 熱點一 和函數有關的應用題 例1 某工廠現(xiàn)有200人，人均年收入為4萬元．為了提高工人的收入，工廠將進行技術改造．若改造后，有x(100≤x≤150)人繼續(xù)留用，他們的人均年收入為4a(a∈N*)萬元；剩下的人從事其他服務行業(yè)，這些人的人均年收入有望提高2x%. (1)設技術改造后這200人的人均年收入為y萬元，求出y與x之間的函數關系式； (2)當x為多少時，能使這200人的人均年收入達到最大，并求出最大值． 解 (1)y＝ ＝ ＝－[x－25(a＋3)]2＋(a＋3)2＋4. 其中100≤x≤150，x∈N*. (2)①當100≤25(a＋3)≤150，即1≤a≤3，a∈N*時， 當x＝25(a＋3)時，y取最大值，即ymax＝(a＋3)2＋4； ②當25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*時， 函數y在[100,150]上單調遞增， ∴當x＝150時，y取最大值，即ymax＝3a＋4. 答 當1≤a≤3，a∈N*，x＝25(a＋3)時，y取最大值(a＋3)2＋4； 當a＞3，a∈N*，x＝150時，y取最大值3a＋4. 思維升華 二次函數是高考數學應用題命題的一個重要模型，解決此類問題要充分利用二次函數的結論和性質． 跟蹤演練1 某企業(yè)參加A項目生產的工人為1 000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．根據現(xiàn)實的需要，從A項目中調出x人參與B項目的售后服務工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤10萬元(a＞0)，A項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤需要提高0.2x%. (1)若要保證A項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1 000名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調出多少人參加B項目從事售后服務工作？ (2)在(1)的條件下，當從A項目調出的人數不能超過總人數的40%時，能使得A項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數a的取值范圍． 解 (1)根據題意可得(1 000－x)(10＋100.2x%)≥1 00010， 整理得x2－500x≤0，解得0≤x≤500， 最多調出的人數為500. (2)由解得0≤x≤400. 10x≤(1 000－x)(10＋100.2x%) 對x∈[0,400]恒成立， 即10ax－≤1 00010＋20x－10x－2x2%恒成立， 即ax≤＋x＋1 000對于任意的x∈[0,400]恒成立． 當x＝0時，不等式顯然成立； 當0＜x≤400時， a≤＋＋1＝＋1. 令函數f(x)＝x＋， 可知f(x)在區(qū)間[0,400]上是減函數， 故f(x)min＝f(400)＝1 025， 故＋＋1≥. 故0＜a≤，所以實數a的取值范圍是. 熱點二 和不等式有關的應用題 例2 秸稈還田是當今世界上普遍重視的一項培肥地力的增產措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產作用．某農機戶為了達到在收割的同時讓秸稈還田，花137 600元購買了一臺新型聯(lián)合收割機，每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費)；該收割機每年都要定期進行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農機戶付費維修保養(yǎng)，所付費用y(元)與使用年數n的關系為y＝kn＋b(n≥2，且n∈N*)，已知第二年付費1 800元，第五年付費6 000元． (1)試求出該農機戶用于維修保養(yǎng)的費用f(n)(元)與使用年數n(n∈N*)的函數關系式； (2)這臺收割機使用多少年，可使年平均收益最大？(收益＝收入－維修保養(yǎng)費用－購買機械費用) 解 (1)依題意知，當n＝2時，y＝1 800； 當n＝5時，y＝6 000， 即解得 所以f(n)＝ (2)記使用n年，年均收益為W(元)， 則依題意知，當n≥2時，W＝60 000－[137 600＋1 400(2＋3＋…＋n)－1 000(n－1)] ＝60 000－ ＝60 000－(137 200＋700n2－300n) ＝60 300－≤60 300－2＝40 700， 當且僅當700n＝，即n＝14時取等號． 所以這臺收割機使用14年，可使年均收益最大． 思維升華 運用基本不等式求解應用題時，要注意構造符合基本不等式使用的形式，同時要注意等號成立的條件． 跟蹤演練2 小張于年初支出50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元．小張在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售收入為(25－x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年)． (1)大貨車運輸到第幾年年底，該車運輸累計收入超過總支出？ (2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤最大？ (利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出) 解 (1)設大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元， 則y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50,0＜x≤10，x∈N*， 即y＝－x2＋20x－50,0＜x≤10，x∈N*， 由－x2＋20x－50＞0， 解得10－5＜x＜10＋5，而2＜10－5＜3， 故從第三年開始運輸累計收入超過總支出． (2)因為利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出，所以銷售二手貨車后，小張的年平均利潤為 ＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25) ＝19－， 又19－≤19－2＝9， 當且僅當x＝5時等號成立． 答 第5年年底出售貨車，獲得的年平均利潤最大． 熱點三 和三角函數有關的應用題 例3 (2018鎮(zhèn)江期末)如圖，準備在墻上釘一個支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點D把桿AC分成AD，CD兩段，其中兩固定點A，B間距離為1米， AB與桿AC的夾角為60，桿AC長為1米，若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD成本是4a元/米．設∠ADB＝α，則制作整個支架的總成本記為S元． (1)求S關于α的函數表達式，并求出α的取值范圍； (2)問AD段多長時，S最?。? 解 (1)在△ABD中，由正弦定理得＝＝， ∴BD＝， AD＝＋， 則S＝a＋ 2a ＋ 4a＝a， 由題意得α∈. (2)令S′＝a＝0，設cos α0＝. α α0 cos α S′ － 0 ＋ S 極小值 ∴當cos α＝時， S最小，此時sin α＝， AD＝＋＝. 思維升華 諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常常需要應用幾何圖形的性質，用三角函數知識來求解． 跟蹤演練3 某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)．設計要求彩門的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數)．彩門的下底BC固定在廣場底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構成，設腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l. (1)請將l表示成關于α的函數l＝f(α)； (2)問當α為何值時l最小，并求最小值． 解 (1)過D作DH⊥BC于點H，如圖所示． 則∠DCB＝α，DH＝h， 則DC＝，CH＝. 設AD＝x，BC＝x＋. 因為S＝h，則x＝－， 則l＝f(α)＝2DC＋AD ＝＋h. (2)由(1)可知，l＝f(α)＝＋h， 則f′(α)＝h＝h， 令f′(α)＝h＝0，得α＝. α f′(α) － 0 ＋ f(α) 極小值 所以lmin＝f＝h＋. 1．某學校有長度為14 m 的舊墻一面，現(xiàn)準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形、面積為126 m2的活動室，工程條件是：①建1 m新墻的費用為a元；②修1 m舊墻的費用是元；③ 拆去1 m舊墻所得的材料，建1 m新墻的費用為元，經過討論有兩種方案： (1)利用舊墻的一段x m(0
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