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綜合檢測三(標準卷)
考生注意：
1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．
2．答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上．
3．本次考試時間120分鐘，滿分150分．
4．請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整．
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．集合A＝{2,3，a}，B＝{3，a2}，若A∩B＝{3，a}，則a的值為( )
A．0 B．1
C．1 D．0或1
答案 D
解析 (特值法)通過觀察題干和選項，取a＝0，則A＝{2,3,0}，B＝{3,0}，A∩B＝{3,0}，排除B，C；取a＝1，則A＝{2,3,1}，B＝{3,1}，A∩B＝{3,1}，排除A.故選D.
2．已知復數(shù)z＝(其中i為虛數(shù)單位)，若z為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D.
答案 C
解析 若復數(shù)z＝＝＋i為純虛數(shù)，則＝0，且≠0，即a＝1，故選C.
3．下列說法中正確的是( )
A．“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的充要條件
B．若p：?x0∈R，x－x0－1>0，則綈p：?x∈R，x2－x－1<0
C．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題
D．命題“若α＝，則sinα＝”的否命題是“若α≠，則sinα≠”
答案 D
解析 若f(0)＝0，則函數(shù)f(x)不一定是奇函數(shù)，如f(x)＝x2，所以A錯誤；若p：?x0∈R，x－x0－1>0，則綈p：?x∈R，x2－x－1≤0，所以B錯誤；p，q只要有一個是假命題，則p∧q是假命題，所以C錯誤；否命題是將原命題的條件和結論都否定，所以D正確．
4．已知sin＝cos，則cos2α等于( )
A．1 B．－1
C. D．0
答案 D
解析 ∵sin＝cos，
∴cosα－sinα＝cosα－sinα，
即sinα＝－cosα，
∴tanα＝＝－1，
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝
＝＝0.
5．下列四個圖中，函數(shù)y＝的圖象可能是( )
答案 C
解析 ∵y＝是奇函數(shù)，其圖象向左平移1個單位所得圖象對應的函數(shù)解析式為y＝，
∴y＝的圖象關于(－1,0)中心對稱，故排除A，D，當x＜－2時，y＜0恒成立，排除B.
6．已知非零向量a，b，則使得|a－b|＝|a|＋|b|成立的一個充分不必要條件是( )
A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋2b＝0
C.＝ D．a(chǎn)＝b
答案 B
解析 |a－b|＝|a|＋|b|成立，其充要條件是向量a，b共線且方向相反．當a＋2b＝0時，a＝－2b，|a－b|＝|a|＋|b|成立；反之，不成立．
7．實數(shù)x，y滿足則z＝|x－y|的最大值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
解析
由題意畫出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，令m＝y(tǒng)－x，則m為直線l：y＝x＋m在y軸上的截距，由圖知在點A(2,6)處m取最大值4，在C(2,0)處取最小值－2，所以m∈[－2,4]，所以z∈[0,4]，即z的最大值是4，故選B.
8．若數(shù)列x，a1，a2，y成等差數(shù)列，x，b1，b2，y成等比數(shù)列，則的取值范圍是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，0]
C．[4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
答案 D
解析 在等差數(shù)列中，a1＋a2＝x＋y；
在等比數(shù)列中，xy＝b1b2.
∴＝
＝＝＋＋2.
當xy>0時，＋≥2，故≥4；
當xy<0時，＋≤－2，故≤0.故選D.
9．已知0
logbb＝1，又>1，所以<＝0.
綜上得0，b>0)的左、右焦點，若在雙曲線的右支上存在一點M，使得(＋)＝0(其中O為坐標原點)，且||＝||，則雙曲線的離心率為( )
A.－1 B.
C. D.＋1
答案 D
解析 ∵＝－，
∴(＋)＝(＋)(－)＝0，
即2－＝0，∴||＝||＝c，
在△MF1F2中，邊F1F2上的中線等于|F1F2|的一半，可得⊥.
∵||＝||，∴可設||＝λ，||＝λ(λ>0)，得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，∴||＝c，||＝c，∴根據(jù)雙曲線定義得2a＝||－||＝(－1)c，∴雙曲線的離心率e＝＝＋1.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)部任取一點M，則滿足∠AMB>90的概率為________．
答案
解析 如圖，
以AB為直徑作圓，則圓在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域為半圓，其面積S＝π12＝，滿足條件∠AMB>90的點M在半圓內(nèi)，故所求概率P＝＝＝.
14.某籃球隊6名主力隊員在最近三場比賽中投進的三分球個數(shù)如下表所示：
隊員i
1
2
3
4
5
6
三分球個數(shù)
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如圖是統(tǒng)計該6名隊員在最近三場比賽中投進的三分球總數(shù)的程序框圖，則圖中判斷框應填________，輸出的S＝________.
答案 i<7？(i≤6？) a1＋a2＋…＋a6
解析 由題意知，程序框圖是要統(tǒng)計6名隊員投進的三分球的總數(shù)，由程序框圖的循環(huán)邏輯知識可知判斷框應填i<7？或i≤6？，輸出的結果就是6名隊員投進的三分球的總數(shù)，而6名隊員投進的三分球數(shù)分別為a1，a2，a3，a4，a5，a6，故輸出的S＝a1＋a2＋…＋a6.
15．某商場調(diào)查旅游鞋的銷售情況，隨機抽取了部分顧客的購鞋尺寸，整理得如下頻率分布直方圖，其中直方圖從左至右的前3個小矩形的面積之比為1∶2∶3，則購鞋尺寸在[39.5,43.5)內(nèi)的顧客所占百分比為________．
答案 55%
解析 后兩個小組的頻率為
(0.0375＋0.0875)2＝0.25，
所以前3個小組的頻率之和為1－0.25＝0.75，
又前3個小組的面積比為1∶2∶3，
即前3個小組的頻率比為1∶2∶3，
所以第三小組的頻率為0.75＝0.375，
第四小組的頻率為0.08752＝0.175，
所以購鞋尺寸在[39.5,43.5)的頻率為0.375＋0.175＝0.55＝55%.
16．若直角坐標平面內(nèi)不同兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上；②P，Q關于原點對稱，則稱(P，Q)是函數(shù)y＝f(x)的一個“伙伴點組”(點組(P，Q)與(Q，P)可看成同一個“伙伴點組”)．已知函數(shù)f(x)＝有兩個“伙伴點組”，則實數(shù)k的取值范圍是__________．
答案 (2＋2，＋∞)
解析 設點(m，n)(m>0)是函數(shù)y＝f(x)的一個“伙伴點組”中的一個點，則其關于原點的對稱點(－m，－n)必在該函數(shù)圖象上，故消去n，整理得m2－km＋k＋1＝0.
若函數(shù)f(x)有兩個“伙伴點組”，則該方程組有兩個不等的正實數(shù)根，得
解得k>2＋2.
故實數(shù)k的取值范圍是(2＋2，＋∞)．
三、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)已知數(shù)列中，a1＝1，其前n項和為Sn，且滿足an＝(n≥2，n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)證明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn＜.
證明 (1)當n≥2時，Sn－Sn－1＝，
∴Sn－1－Sn＝2SnSn－1，
∴－＝2，
∴數(shù)列構成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)可知，＝＋(n－1)2＝2n－1，
∴Sn＝(n∈N*)．
S1＋S2＋S3＋…＋Sn
＝＋＋＋…＋
＝
＝＜.
18．(12分)如圖1，C，D是以AB為直徑的圓上兩點，AB＝2AD＝2，AC＝BC，F(xiàn)是AB上一點，且AF＝AB，將圓沿直徑AB折起，使點C在平面ABD內(nèi)的射影E在BD上，如圖2.
(1)求證：AD⊥平面BCE；
(2)求證：AD∥平面CEF.
證明 (1)由題意知，AD⊥BD.
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD.
∵BD∩CE＝E，BD，CE?平面BCE，
∴AD⊥平面BCE.
(2)在Rt△ABD中，AB＝2，
AD＝，∴BD＝3.
如圖，連接AE.
在Rt△ACE和Rt△BCE中，
AC＝BC，CE＝CE，
∴Rt△ACE≌Rt△BCE(HL)，
∴AE＝BE.
設DE＝x，則AE＝BE＝3－x.
在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，
∴3＋x2＝(3－x)2，解得x＝1，∴BE＝2.
∴＝＝，∴AD∥EF，
∵AD?平面CEF，EF?平面CEF，
∴AD∥平面CEF.
19．(12分)甲、乙兩個班級共有105名學生，某次數(shù)學考試按照“大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀”的原則統(tǒng)計成績后，得到如下22列聯(lián)表：
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計
甲班
10
乙班
30
總計
105
已知從甲、乙兩個班級中隨機抽取1名學生，其成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為.
(1)請完成上面的22列聯(lián)表；
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為成績與班級有關系？
(3)按下面的方法從甲班成績優(yōu)秀的學生中抽取1名學生：
把甲班成績優(yōu)秀的10名學生從2至11進行編號，先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和作為被抽取人的編號，求抽到6號或10號的概率．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
解 (1)設甲、乙兩個班級數(shù)學考試成績優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為x，則＝，解得x＝30.得到如下22列聯(lián)表：
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
總計
30
75
105
(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到
K2＝≈6.109>3.841，
因此，可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為成績與班級有關系．
(3)設“抽到6號或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)記為(x，y)，則所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36個．
事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8個，
所以P(A)＝＝.
20．(12分)設f(x)＝，其中a為正實數(shù)．
(1)當a＝時，求f(x)的極值點；
(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．
解 對f(x)求導得f′(x)＝ex.①
(1)當a＝時，若f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
所以x1＝是極小值點，x2＝是極大值點．
(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上不變號，結合①與條件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結合a>0，知0－1，此時－11時，(k－1)＋(2k－1)<5，
得k<，此時1
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