廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練22 三角恒等變換 文.docx
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考點(diǎn)規(guī)范練22 三角恒等變換 一、基礎(chǔ)鞏固 1.2sin47-3sin17cos17=( ) A.-3 B.-1 C.3 D.1 答案D 解析原式=2sin47-sin17cos30cos17 =2sin(17+30)-sin17cos30cos17 =2sin30=1.故選D. 2.已知2sin 2α=1+cos 2α,則tan 2α=( ) A.43 B.-43 C.43或0 D.-43或0 答案C 解析因?yàn)?sin2α=1+cos2α, 所以2sin2α=2cos2α. 所以2cosα(2sinα-cosα)=0, 解得cosα=0或tanα=12. 若cosα=0,則α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z, 所以tan2α=0. 若tanα=12,則tan2α=2tanα1-tan2α=43. 綜上所述,故選C. 3.已知函數(shù)f(x)=3sin ωxcos ωx+3cos2ωx(ω>0)的最小正周期為π2,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位后,得到的函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為x=π8,則φ的值不可能為( ) A.5π24 B.13π24 C.17π24 D.23π24 答案B 解析∵f(x)=3sinωxcosωx+3cos2ωx =32sin2ωx+31+cos2ωx2 =3sin2ωx+π6+32, ∴2π2ω=π2,即ω=2,∴f(x)=3sin4x+π6+32. 平移后的函數(shù)為g(x) =3sin4(x+φ)+π6+32 =3sin4x+4φ+π6+32. 由題意,得4π8+4φ+π6=kπ+π2,k∈Z, 解得φ=kπ4-π24,k∈Z,故選B. 4.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,則f(x)的最小正周期和一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間分別為( ) A.π,[0,π] B.2π,-π4,3π4 C.π,-π8,3π8 D.2π,-π4,π4 答案C 解析由f(x)=sin2x+sinxcosx =1-cos2x2+12sin2x =12+2222sin2x-22cos2x =12+22sin2x-π4, 則T=2π2=π. 又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z), ∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 故選C. 5.已知5sin 2α=6cos α,α∈0,π2,則tan α2=( ) A.-23 B.13 C.35 D.23 答案B 解析由題意,知10sinαcosα=6cosα,又α∈0,π2, ∴sinα=35,cosα=45, ∴tanα2=sinα2cosα2=2sin2α22sinα2cosα2 =1-cosαsinα=1-4535=13. 6.已知tanα+π4=-12,且π2<α<π,則sin2α-2cos2αsinα-π4等于( ) A.255 B.-3510 C.-255 D.-31010 答案C 解析sin2α-2cos2αsinα-π4=2sinαcosα-2cos2α22(sinα-cosα)=22cosα, 由tanα+π4=-12,得tanα+11-tanα=-12, 解得tanα=-3. 因?yàn)棣?<α<π,所以cosα=-1010. 所以原式=22cosα=22-1010=-255. 7.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+1ω>0,0<φ≤π2的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為π,且在x=π6時(shí)取得最大值2,若f(α)=95,且π6<α<2π3,則sin2α+2π3的值為( ) A.1225 B.-1225 C.2425 D.-2425 答案D 解析由題意知,T=2π,即T=2πω=2π,即ω=1. 又當(dāng)x=π6時(shí),f(x)取得最大值, 即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π3+2kπ,k∈Z. ∵0<φ≤π2,∴φ=π3, ∴f(x)=sinx+π3+1. ∵f(α)=sinα+π3+1=95,可得sinα+π3=45. ∵π6<α<2π3,可得π2<α+π3<π, ∴cosα+π3=-35. ∴sin2α+2π3=2sinα+π3cosα+π3=245-35=-2425.故選D. 8.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A= ,b= . 答案2 1 解析因?yàn)?cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x= 2sin2x+π4+1,所以A=2,b=1. 9.(2018江蘇,16)已知α,β均為銳角,且tan α=43,cos(α+β)=-55. (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 解(1)因?yàn)閠anα=43,tanα=sinαcosα, 所以sinα=43cosα.因?yàn)閟in2α+cos2α=1, 所以cos2α=925,因此cos2α=2cos2α-1=-725. (2)因?yàn)棣?β為銳角,所以α+β∈(0,π). 又因?yàn)閏osα+β=-55, 所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=255, 因此tan(α+β)=-2. 因?yàn)閠anα=43, 所以tan2α=2tanα1-tan2α=-247. 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)] =tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211. 10.已知函數(shù)f(x)=sinωx-π6+cosωx-π3-2sin2ωx2(ω>0)的周期為π. (1)求ω的值; (2)若x∈0,π2,求f(x)的最大值與最小值. 解(1)∵函數(shù)f(x)=sinωx-π6+cosωx-π3-2sin2ωx2=sinωxcosπ6-cosωxsinπ6+cosωxcosπ3+sinωxsinπ3-21-cosωx2=3sinωx+cosωx-1=2sinωx+π6-1(ω>0), ∴f(x)的周期為2πω=π,∴ω=2. (2)∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6. ∴sin2x+π6∈-12,1. ∴f(x)的最大值為1,最小值為-2. 11.已知點(diǎn)π4,1在函數(shù)f(x)=2asin xcos x+cos 2x的圖象上. (1)求a的值和f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間. 解(1)函數(shù)f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x. ∵f(x)的圖象過點(diǎn)π4,1, 即1=asinπ2+cosπ2,可得a=1. ∴f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+π4. ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)由2kπ+π2≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z, 可得kπ+π8≤x≤5π8+kπ,k∈Z. 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ+π8,5π8+kπ,k∈Z. ∵x∈(0,π), ∴當(dāng)k=0時(shí),可得單調(diào)遞減區(qū)間為π8,5π8. 二、能力提升 12.已知m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ),若sin[2(α+γ)]=3sin 2β,則m=( ) A.-1 B.34 C.32 D.2 答案D 解析∵sin[2(α+γ)]=3sin2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)], ∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β), 即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β), ∴tan(α+γ+β)=2tan(α+γ-β), 故m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=2,故選D. 13.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,則cos(α-β)的值等于( ) A.-12 B.12 C.-13 D.2327 答案D 解析∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π). ∵cosα=13,∴cos2α=2cos2α-1=-79, ∴sin2α=1-cos22α=429, 又α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π), ∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223, ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β) =-79-13+429223=2327. 14.已知函數(shù)f(x)=2sinx+5π24cosx+5π24-2cos2x+5π24+1,則f(x)的最小正周期為 ;函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 . 答案π kπ-π3,kπ+π6(k∈Z) 解析f(x)=2sinx+5π24cosx+5π24-2cos2x+5π24+1 =sin2x+5π12-cos2x+5π12 =2sin2x+5π12cosπ4-cos2x+5π12sinπ4 =2sin2x+5π12-π4=2sin2x+π6. ∴f(x)的最小正周期T=2π2=π. 因此f(x)=2sin2x+π6. 當(dāng)2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z), 即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)時(shí), ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是kπ-π3,kπ+π6(k∈Z). 15.已知函數(shù)f(x)=23sinωx+π6cos ωx(0<ω<2),且f(x)的圖象過點(diǎn)5π12,32. (1)求ω的值及函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)將y=f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,已知gα2=536,求cos2α-π3的值. 解(1)函數(shù)f(x)=23sinωx+π6cosωx =23sinωx32+23cosωx12cosωx =3sin2ωx+π6+32. ∵f(x)的圖象過點(diǎn)5π12,32, ∴3sin2ω5π12+π6+32=32, ∴2ω5π12+π6=kπ,k∈Z,即ω=6k-15. 再結(jié)合0<ω<2,可得ω=1, ∴f(x)=3sin2x+π6+32,故它的最小正周期為2π2=π. (2)將y=f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)=3sin2x-π6+32的圖象. ∵gα2=536=3sinα-π6+32, ∴sinα-π6=13, ∴cos2α-π3=1-2sin2α-π6=79. 三、高考預(yù)測(cè) 16.在銳角三角形ABC中,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,且sin 2A=3sinπ2+A. (1)求角A的大小; (2)求sin B+sin C的取值范圍. 解(1)因?yàn)閟in2A=3sinπ2+A,所以2sinAcosA=3cosA, 即(2sinA-3)cosA=0, 又在銳角三角形ABC中,A∈0,π2,故cosA>0, 所以sinA=32,所以A=π3. (2)因?yàn)锳+B+C=π, 所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), 所以sinB+sinC=sinπ3+C+sinC =32cosC+32sinC=3sinC+π6. 因?yàn)樵阡J角三角形ABC中,A=π3, 所以B+C=2π3,B=2π3-C, 所以0<2π3-C<π2,0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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