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第3講 圓周運動
一、勻速圓周運動及描述
1．勻速圓周運動
(1)定義：做圓周運動的物體，若在任意相等的時間內(nèi)通過的圓弧長相等，那么物體所做的就是勻速圓周運動．
(2)特點：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運動．
(3)條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心．
2．描述勻速圓周運動的物理量
定義、意義
公式、單位
線速度
描述做圓周運動的物體運動快慢的物理量(v)
(1)v＝＝
(2)單位：m/s
角速度
描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)單位：rad/s
周期
物體沿圓周運動一圈的時間(T)
(1)T＝＝，單位：s
(2)頻率f＝，單位：Hz
向心加速度
(1)描述速度方向變化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圓心
(1)an＝＝rω2
(2)單位：m/s2
自測1 (多選)一質(zhì)點做勻速圓周運動，其線速度大小為4m/s，轉(zhuǎn)動周期為2s，則( )
A．角速度為0.5rad/s B．轉(zhuǎn)速為0.5 r/s
C．軌跡半徑為m D．加速度大小為4πm/s2
答案 BCD
二、勻速圓周運動的向心力
1．作用效果
向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力．
4．來源
向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供．
自測2 (多選)下列關(guān)于做勻速圓周運動的物體所受向心力的說法正確的是( )
A．因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個恒力
B．因向心力指向圓心，且與線速度方向垂直，所以它不能改變線速度的大小
C．向心力就是物體所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不變的
答案 BC
三、離心運動和近心運動
1．離心運動定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下，就做逐漸遠離圓心的運動．
圖1
2．受力特點(如圖1)
(1)當(dāng)F＝mrω2時，物體做勻速圓周運動；
(2)當(dāng)F＝0時，物體沿切線方向飛出；
(3)當(dāng)F
mrω2時，物體逐漸向圓心靠近，做近心運動．
3．本質(zhì)：離心運動的本質(zhì)并不是受到離心力的作用，而是所受的力小于做勻速圓周運動需要的向心力．
命題點一 圓周運動的運動學(xué)問題
1．對公式v＝ωr的理解
當(dāng)r一定時，v與ω成正比．
當(dāng)ω一定時，v與r成正比．
當(dāng)v一定時，ω與r成反比．
2．對an＝＝ω2r的理解
在v一定時，an與r成反比；在ω一定時，an與r成正比．
3．常見的傳動方式及特點
(1)皮帶傳動：如圖2甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
圖2
(2)摩擦傳動和齒輪傳動：如圖3甲、乙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現(xiàn)象時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
圖3
(3)同軸轉(zhuǎn)動：如圖4甲、乙所示，繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比．
圖4
例1 (多選)(2018江蘇單科6)火車以60m/s的速率轉(zhuǎn)過一段彎道，某乘客發(fā)現(xiàn)放在桌面上的指南針在10s內(nèi)勻速轉(zhuǎn)過了約10.在此10s時間內(nèi)，火車( )
A．運動路程為600m B．加速度為零
C．角速度約為1rad/s D．轉(zhuǎn)彎半徑約為3.4km
答案 AD
解析 由s＝vt知，火車運動路程為s＝600m，A對；火車在彎道做圓周運動，故加速度不為零，B錯；由10s內(nèi)轉(zhuǎn)過10知，角速度ω＝rad/s＝rad/s≈0.017 rad/s，C錯；由v＝rω知，火車轉(zhuǎn)彎半徑r＝＝m≈3.4km，D對．
變式1 (多選)自行車的大齒輪、小齒輪、后輪的半徑不一樣，它們的邊緣有三個點A、B、C，如圖5所示．正常騎行自行車時，下列說法正確的是( )
圖5
A．A、B兩點的線速度大小相等，角速度大小也相等
B．B、C兩點的角速度大小相等，周期也相等
C．A點的向心加速度小于B點的向心加速度
D．B點的向心加速度大于C點的向心加速度
答案 BC
解析 設(shè)A、B、C三點到各自軸心的距離分別為RA、RB、RC，由題圖可知RC>RA>RB.A、B兩點通過鏈條相連，線速度大小相等，由v＝ωr知，A、B兩點的角速度不相等，選項A錯誤；由題圖知，B、C兩點繞同一軸轉(zhuǎn)動，角速度相等，由T＝知周期也相等，選項B正確；由an＝知，A點的向心加速度小于B點的向心加速度，選項C正確；由an＝ω2r知，B點的向心加速度小于C點的向心加速度，選項D錯誤．
命題點二 水平面內(nèi)的圓周運動
1．向心力的來源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力．
2．幾種典型運動模型
運動模型
向心力的來源圖示
飛機水平轉(zhuǎn)彎
火車轉(zhuǎn)彎
圓錐擺
飛車走壁
汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎
水平轉(zhuǎn)臺(光滑)
3.“一、二、三、四”求解圓周運動問題
例2 (2018南京市、鹽城市一模)如圖6所示，質(zhì)量相等的A、B兩個小球，在光滑玻璃漏斗內(nèi)壁做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，A在B的上方．則它們運動的( )
圖6
A．向心力FA＞FB
B．線速度vA＞vB
C．角速度ωA＞ωB
D．向心加速度anA＞anB
答案 B
解析 對A、B兩球進行受力分析，兩球均只受重力和漏斗給的支持力FN.如圖所示
設(shè)漏斗頂角的一半為θ，則F向＝，由于兩球質(zhì)量相等，所以A、B兩球的向心力相等，故A錯誤；由公式F向＝＝可得：v＝，由于A球做勻速圓周運動的半徑比B球大，所以vA＞vB，故B正確；由公式F向＝mω2r＝可得：ω＝，由于A球做勻速圓周運動的半徑比B球大，所以ωA＜ωB，故C錯誤；由公式F向＝man＝可得：an＝，所以anA＝anB，故D錯誤．
變式2 (多選)(2018如東縣調(diào)研)在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內(nèi)軌，如圖7所示，當(dāng)火車以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時，內(nèi)、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設(shè)此時的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則( )
圖7
A．該彎道的半徑r＝
B．當(dāng)火車質(zhì)量改變時，規(guī)定的行駛速度大小不變
C．當(dāng)火車速度大小大于v時，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓
D．當(dāng)火車速度大小小于v時，外軌將受到輪緣的擠壓
答案 AB
解析 火車轉(zhuǎn)彎不側(cè)向擠壓車輪輪緣時，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：mgtan θ＝m，解得：r＝，故A正確；v＝，可知火車規(guī)定的行駛速度與質(zhì)量無關(guān)，故B正確；當(dāng)火車速度大小大于v時，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此時外軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓外軌，故C錯誤；當(dāng)火車速度大小小于v時，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此時內(nèi)軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓內(nèi)軌，故D錯誤．
拓展點 水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題
1．與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題
物體間恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力Ffm＝，靜摩擦力的方向一定指向圓心．
(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動，其中一個物體存在一個恰好不向內(nèi)滑動的臨界條件(靜摩擦力達到最大且方向沿半徑背離圓心)和一個恰好不向外滑動的臨界條件(靜摩擦力達到最大且方向沿半徑指向圓心)，分別為靜摩擦力達到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心．
2．與彈力有關(guān)的臨界極值問題
(1)壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零．
(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等．
例3 (2018南京市期中)如圖8所示，在光滑的圓錐頂端，用長為L＝2m的細繩懸一質(zhì)量為m＝1kg的小球(可視為質(zhì)點)，圓錐頂角為2θ＝74.當(dāng)小球以ω＝5rad/s的角速度隨圓錐體做勻速圓周運動時，細繩上的拉力大小為(sin37＝0.6，cos37＝0.8)( )
圖8
A．50N B．40N
C．20N D．38.5N
答案 A
變式3 (2018揚州中學(xué)月考)如圖9疊放在水平轉(zhuǎn)臺上的物體A、B、C正隨轉(zhuǎn)臺一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，物體A、B、C的質(zhì)量分別為3m、2m、m，物體B與轉(zhuǎn)臺、物體C與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)都為μ，物體A與物體B間的動摩擦因數(shù)也為μ，物體B、C離轉(zhuǎn)臺中心的距離分別為r、1.5r.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，以下說法正確的是( )
圖9
A．物體B對物體A的摩擦力有可能為3μmg
B．物體C與轉(zhuǎn)臺間的摩擦力大于物體A與物體B間的摩擦力
C．轉(zhuǎn)臺的角速度ω有可能恰好等于
D．若角速度ω緩慢增大，物體A與物體B將最先發(fā)生相對滑動
答案 C
解析 對物體A、B整體有：
(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g①
對物體C有：mω2(1.5r)≤μmg②
對物體A有：3mω2r≤μ(3m)g③
聯(lián)立①②③解得：ω≤，即不發(fā)生相對滑動時，轉(zhuǎn)臺的角速度ω≤，可知物體A與物體B間的靜摩擦力最大值Ffm＝3mrω2＝3mr＝2μmg，故A錯誤，C正確；由于物體A與物體C轉(zhuǎn)動的角速度相同，由摩擦力提供向心力有m1.5rω2＜3mrω2，即物體C與轉(zhuǎn)臺間的摩擦力小于物體A與物體B間的摩擦力，故B錯誤；由A選項分析可知，最先發(fā)生相對滑動的是物體C，故D錯誤．
命題點三 豎直面內(nèi)的圓周運動
拱橋模型
繩—球模型
桿—球模型
實例
汽車過拱形橋
繩—球，過山車等
桿—球，管形圓軌道
圖示
特征
下有支撐，上無約束
下無支撐，上有約束
下有支撐，上有約束
過最高點條件
v≤
v≥
v≥0
不同速度時受力及運動情況
v≤時：
mg－FN＝m
FN＝mg－m時：到達最高點前做斜上拋運動飛離橋面
①能過最高點時，v≥，F(xiàn)N＋mg＝m，繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN
②不能過最高點時，v<，在到達最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道做斜拋運動
①當(dāng)v＝0時，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心
②當(dāng)0時，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大
例4 (多選)(2018泰州中學(xué)月考)如圖10所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地面上，B不能左右運動，在環(huán)的最低點靜放一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m.現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時速度v，小球會在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動，為保證小球能通過環(huán)的最高點，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起(不計小球與環(huán)的摩擦阻力)，瞬時速度必須滿足( )
圖10
A．最小值為 B．最大值為
C．最小值為 D．最大值為
答案 CD
變式4 (多選)如圖11甲所示，一輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動．小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點的速度大小為v，F(xiàn)N－v2圖象如圖乙所示．下列說法正確的是( )
圖11
A．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?
B．小球的質(zhì)量為R
C．若c＝2b，則桿對小球拉力的大小為a
D．若c＝2b，則桿對小球支持力的大小為2a
答案 AC
解析 由題意可知，當(dāng)v2＝gR時，F(xiàn)N＝0，結(jié)合題圖乙可知gR＝b，g＝；當(dāng)v2＜gR時，桿對小球的彈力方向向上，根據(jù)mg－FN＝，可得FN＝mg－，當(dāng)v2＝0時，a＝mg，m＝＝R；當(dāng)v2＞gR時，桿對小球彈力方向向下，根據(jù)mg＋FN＝，可得FN＝－mg，若v2＝c＝2b＝2gR，則FN＝mg＝a，故選項A、C正確．
變式5 (多選)(2018海安中學(xué)開學(xué)考)如圖12，在豎直平面內(nèi)光滑圓軌道外側(cè)，有一小球以某一水平速度v0從A點出發(fā)沿圓軌道運動，至B點時脫離軌道，最終落在水平面上的C點，不計空氣阻力．下列說法中正確的是( )
圖12
A．在B點時，小球向心加速度大小為g
B．B到C過程，小球做勻變速運動
C．在A點時，小球?qū)A軌道壓力大于其重力
D．A到B過程，小球水平方向的加速度先增加后減小
答案 BD
1.(2018泰州中學(xué)期中)如圖13所示，一偏心輪繞垂直紙面的軸O勻速轉(zhuǎn)動，a和b是輪上質(zhì)量相等的兩個質(zhì)點，則偏心輪轉(zhuǎn)動的過程中a、b兩質(zhì)點( )
圖13
A．線速度大小相同
B．角速度大小相同
C．向心力大小相同
D．向心加速度大小相同
答案 B
解析 偏心輪上各處角速度相等，故B正確；根據(jù)v＝ωr，可知到圓心距離不同的點，線速度不同，故A錯誤；根據(jù)F＝mω2r可知到圓心距離不同的點，向心力不同，故C錯誤；根據(jù)a＝ω2r可知到圓心距離不同的點，向心加速度不同，故D錯誤．
2.(多選)(2017南通中學(xué)期中)如圖14所示，繩子的一端固定在O點，另一端拴一重物在光滑水平面上做勻速圓周運動( )
圖14
A．轉(zhuǎn)速相同時，繩長的容易斷
B．周期相同時，繩短的容易斷
C．線速度大小相等時，繩短的容易斷
D．線速度大小相等時，繩長的容易斷
答案 AC
解析 根據(jù)牛頓第二定律得：F＝m(2πn)2r，m一定，當(dāng)轉(zhuǎn)速n相同時，繩長r越長，繩子拉力F越大，繩子越容易斷，故A正確．根據(jù)牛頓第二定律得：F＝m，m一定，當(dāng)周期T相同時，繩長r越長，繩子拉力F越大，繩子越容易斷，故B錯誤．根據(jù)牛頓第二定律得：F＝m，m一定，線速度v大小相等時，繩長r越短，繩子拉力F越大，繩子越容易斷，故C正確，D錯誤．
3.(2018鹽城中學(xué)質(zhì)檢)如圖15所示，一內(nèi)壁光滑、質(zhì)量為m、半徑為r的環(huán)形細圓管(管的內(nèi)徑相對于環(huán)半徑可忽略不計)用硬桿豎直固定在地面上．有一質(zhì)量為m的小球可在圓管中運動(球直徑略小于圓管直徑，可看做質(zhì)點)，小球以速率v0經(jīng)過圓管最高點時，恰好對管壁無壓力，當(dāng)球運動到最低點時，硬桿對圓管的作用力大小為( )
圖15
A．m B．2mg＋m
C．6mg D．7mg
答案 D
4．(多選)(2018紅橋中學(xué)一調(diào))長為L的輕桿，一端固定一個小球，另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，小球在最高點的速度為v.下列說法中正確的是( )
A．當(dāng)v＝時，輕桿對小球的彈力為零
B．當(dāng)v由逐漸增大時，輕桿對小球的拉力逐漸增大
C．當(dāng)v由逐漸減小時，輕桿對小球的支持力逐漸減小
D．不管v多大，小球在最低點時，都處于超重狀態(tài)
答案 ABD
解析 設(shè)桿對小球的彈力為FN，根據(jù)牛頓第二定律：mg－FN＝m，當(dāng)v＝時，解得彈力FN＝0，故A正確；在最高點，若速度v＝時，輕桿的作用力為零，當(dāng)v＞時，輕桿表現(xiàn)為拉力，由mg＋FT＝m知，速度增大時，向心力增大，則輕桿對小球的拉力增大，故B正確；當(dāng)v＜時，輕桿表現(xiàn)為支持力，由mg－FN＝m知，速度減小時，向心力減小，則輕桿對小球的支持力增大，故C錯誤；在最低點由牛頓第二定律：FT－mg＝m知，輕桿的拉力總大于重力，所以總處于超重狀態(tài)，故D正確．
5.(多選)(2018鹽城市期中)公路轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶．如圖16所示，某公路轉(zhuǎn)彎處是一圓弧，當(dāng)汽車行駛的速率為v0時，汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢．則在該彎道處( )
圖16
A．路面外側(cè)一定高于內(nèi)側(cè)
B．車速只能為v0，否則將發(fā)生交通事故
C．只要車速小于v0，車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動
D．車速大于v0，車輛也不一定會向外側(cè)滑動
答案 AD
解析 路面應(yīng)建成外高內(nèi)低，此時重力和支持力的合力指向內(nèi)側(cè)，可以提供做圓周運動的向心力，故A正確；當(dāng)汽車行駛的速率為v0時，摩擦力為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，當(dāng)車速大于v0時，重力和支持力的合力不足以提供向心力，車輛會受到沿路面指向公路內(nèi)側(cè)的摩擦力，當(dāng)車速小于v0，重力和支持力的合力大于所需要的向心力，車輛會受到沿路面指向公路外側(cè)的摩擦力，不一定發(fā)生滑動，故B、C錯誤，D正確．
1.(多選)(2018響水中學(xué)模擬)電風(fēng)扇的扇葉的重心如果不在轉(zhuǎn)軸上，轉(zhuǎn)動時會使風(fēng)扇抖動，并加速轉(zhuǎn)軸磨損．調(diào)整時，可在扇葉的一區(qū)域通過固定小金屬塊的辦法改變其重心位置．如圖1所示，A、B是兩調(diào)整重心的金屬塊(可視為質(zhì)點)，其質(zhì)量相等，它們到轉(zhuǎn)軸O的距離rA
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江蘇專用2020版高考物理新增分大一輪復(fù)習(xí)
第四章
曲線運動
萬有引力與航天
第3講
圓周運動講義含解析
江蘇
專用
2020
高考
物理
新增
一輪
復(fù)習(xí)
第四
萬有引力
航天
圓周運動
講義
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