《（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第十章 計數(shù)原理 10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理講義（含解析）.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第十章 計數(shù)原理 10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理講義（含解析）.docx（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
最新考綱
考情考向分析
理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.
以理解和應用兩個基本原理為主，常以實際問題為載體，突出分類討論思想，注重分析問題、解決問題能力的考查，常與排列、組合知識交匯；兩個計數(shù)原理在高考中單獨命題較少，一般是與排列組合結(jié)合進行考查；兩個計數(shù)原理的考查一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn).
1.分類加法計數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.
2.分步乘法計數(shù)原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝mn種不同的方法.
3.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別
分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.
概念方法微思考
1.在解題過程中如何判定是用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？
提示 如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應該用分類加法計數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法計數(shù)原理.
2.兩種原理解題策略有哪些？
提示 ①分清要完成的事情是什么；
②分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；
③有無特殊條件的限制；
④檢驗是否有重復或遺漏.
題組一 思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.( √ )
(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成.( √ )
(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1，2，3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法.( √ )
(5)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.( √ )
題組二 教材改編
2.[P12A組T5]已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標，縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是( )
A.12B.8C.6D.4
答案 C
解析 分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是32＝6，故選C.
3.[P10練習T4]已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為( )
A.16B.13C.12D.10
答案 C
解析 將4個門編號為1，2，3，4，從1號門進入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2，3，4號門進入，同樣各有3種走法，即進門有4種走法，出門有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理得，共有不同走法43＝12(種).
題組三 易錯自糾
4.從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為( )
A.24B.18C.12D.6
答案 B
解析 分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有322＝
12(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有321＝6(個)奇數(shù).根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個)奇數(shù).
5.現(xiàn)用4種不同顏色對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有( )
A.24種 B.30種
C.36種 D.48種
答案 D
解析 需要先給C塊著色，有4種方法；再給A塊著色，有3種方法；再給B塊著色，有2種方法；最后給D塊著色，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有4322＝48(種)著色方法.
6.如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個.
答案 12
解析 當組成的數(shù)字有三個1，三個2，三個3，三個4時共有4種情況.當有三個1時：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9種，當有三個2，3，4時：2221，3331，4441，有3種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果.
題型一 分類加法計數(shù)原理
1.滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為( )
A.14B.13C.12D.10
答案 B
解析 方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的情況應分類討論.①當a＝0時，方程為一元一次方程2x＋b＝0，不論b取何值，方程一定有解.此時b的取值有4個，故此時有4個有序數(shù)對.
②當a≠0時，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.顯然有3個有序數(shù)對不滿足題意，分別為(1，2)，(2，1)，(2，2).a≠0時，(a，b)共有34＝12個實數(shù)對，故a≠0時滿足條件的實數(shù)對有12－3＝9個，所以答案應為4＋9＝13.
2.如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1
a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為( )
A.240B.204C.729D.920
答案 A
解析 若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個.若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有23＝6(個).若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有34＝12(個)，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有89＝72(個).
所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個).
3.定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有( )
A.18個 B.16個
C.14個 D.12個
答案 C
解析 第一位為0，最后一位為1，中間3個0，3個1，3個1在一起時為000111，001110；只有2個1相鄰時，共A個，其中110100，110010，110001，101100不符合題意；三個1都不在一起時有C個，共2＋8＋4＝14(個).
思維升華分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞，關鍵元素，關鍵位置.
(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準.
(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復.
(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.
題型二 分步乘法計數(shù)原理
例1(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( )
A.24B.18C.12D.9
答案 B
解析 從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有63＝18(條)，故選B.
(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法.
答案 120
解析 每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有654＝120(種).
引申探究
1.本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？
解 每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種).
2.本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？
解 每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種).
思維升華 (1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.
(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.
跟蹤訓練1一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風景，則不同(除交匯點O外)的游覽線路有______種.(用數(shù)字作答)
答案 48
解析 根據(jù)題意，從點P處進入后，參觀第一個景點時，有6個路口可以選擇，從中任選一個，有6種選法；參觀完第一個景點，參觀第二個景點時，有4個路口可以選擇，從中任選一個，有4種選法；參觀完第二個景點，參觀第三個景點時，有2個路口可以選擇，從中任取一個，有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，共有642＝48(種)不同游覽線路.
題型三 兩個計數(shù)原理的綜合應用
例2(1)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個.(用數(shù)字作答)
答案 1080
解析 ①當組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為CCA＝960.
②當組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為A＝120.
故符合題意的四位數(shù)一共有960＋120＝1080(個).
(2)現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是( )
A.120B.140C.240D.260
答案 D
解析 由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有54(14＋33)＝260(種).故選D.
(3)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數(shù)是( )
A.60B.48C.36D.24
答案 B
解析 長方體的6個表面構成的“平行線面組”的個數(shù)為66＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”的個數(shù)為62＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.
思維升華利用兩個計數(shù)原理解決應用問題的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么.
(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.
(3)弄清分步、分類的標準是什么.
(4)利用兩個計數(shù)原理求解.
跟蹤訓練2(1)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有( )
A.144個B.120個C.96個D.72個
答案 B
解析 由題意，首位數(shù)字只能是4，5，若萬位是5，則有3A＝72(個)；若萬位是4，則有2A＝48(個)，故比40000大的偶數(shù)共有72＋48＝120(個).故選B.
(2)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是________.
答案 36
解析 第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有212＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個).
(3)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為________.
答案 96
解析 按區(qū)域1與3是否同色分類：
①區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2，4，5(還有3種顏色)有A種方法.
∴區(qū)域1與3同色時，共有4A＝24(種)方法.
②區(qū)域1與3不同色：第一步涂區(qū)域1與3有A種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有1種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法.
∴共有A213＝72(種)方法.
故由分類加法計數(shù)原理可知，不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96.
1.集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，4，5，6，7，8，9}，從集合A，B中各取一個數(shù)，能組成的沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為( )
A.52B.58C.64D.70
答案 B
解析 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理得
(CC＋CC＋CC＋C)A＝58.
2.三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有( )
A.4種B.6種
C.10種D.16種
答案 B
解析 分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，
同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式.
由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式.
3.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，則行車路線共有( )
A.24種B.16種
C.12種D.10種
答案 C
解析 根據(jù)題意，車的行駛路線起點有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有43＝12(種)，故選C.
4.若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)各位數(shù)均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”.例如：32是“開心數(shù)”.因32＋33＋34不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因23＋24＋25產(chǎn)生進位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個數(shù)為( )
A.9B.10C.11D.12
答案 D
解析 根據(jù)題意個位數(shù)n需要滿足n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，
∴個位數(shù)可取0，1，2三個數(shù)，
∵十位數(shù)k需要滿足3k<10，∴k<3.3，
∴十位數(shù)可以取0，1，2，3四個數(shù)，故小于100的“開心數(shù)”共有34＝12(個).
故選D.
5.如圖為我國數(shù)學家趙爽(約3世紀初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有( )
A.120種B.260種C.340種D.420種
答案 D
解析 由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有54313＋54322＝180＋240＝420.故選D.
6.如圖，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有( )
A.24 B.48
C.96 D.120
答案 C
解析 若A，D顏色相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有1種涂法，共有432＝24(種)；若顏色A，D不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當B和D相同時，C有2種涂法，當B和D不同時，C只有1種涂法，共有432(2＋1)＝72(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有24＋72＝96(種)，故選C.
7.對33000分解質(zhì)因數(shù)得33000＝2335311，則33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是( )
A.48B.72C.64D.96
答案 A
解析 33000的因數(shù)由若干個2(共有23，22，21，20四種情況)，
若干個3(共有3，30兩種情況)，
若干個5(共有53，52，51，50四種情況)，若干個11(共有111，110兩種情況)，
由分步乘法計數(shù)原理可得33000的因數(shù)共有4242＝64(個)，不含2的共有242＝16(個)，
∴正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)為64－16＝48，
即33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是48，故選A.
8.從1，2，3，4，7，9六個數(shù)中，任取兩個數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同對數(shù)值的個數(shù)為________.
答案 17
解析 當所取兩個數(shù)中含有1時，1只能作真數(shù)，對數(shù)值為0，當所取兩個數(shù)中不含有1時，可得到A＝20(個)對數(shù)，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.綜上可知，共有20＋1－4＝17(個)不同的對數(shù)值.
9.設a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長可以構成一個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有________個.
答案 27
解析 先考慮等邊的情況，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六個，
再考慮等腰的情況，若a＝b＝1，c
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浙江專用2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習
第十章
計數(shù)原理
10.1
分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理講義含解析
浙江
專用
2020
高考
數(shù)學
新增
一輪
復習
第十
計數(shù)
原理
分類
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