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第4講　函數(shù)的概念及其表示 1.函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A,B 設(shè)A,B是兩個　　　 設(shè)A,B是兩個　　　 對應(yīng)關(guān)系 f:A→B 按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的　　　一個數(shù)x,在集合B中都有　　　　的數(shù)f(x)與之對應(yīng) 按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的　　　　一個元素x,在集合B中都有　　　　的元素y與之對應(yīng) 名稱 稱　　　　為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱對應(yīng)　　　　為從集合A到集合B的一個映射 記法 y=f(x),x∈A 對應(yīng)f:A→B 2.函數(shù)的三要素 函數(shù)由　　　　、　　　　和對應(yīng)關(guān)系三個要素構(gòu)成.在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的　　　　.與x的值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的　　　　. 3.函數(shù)的表示法 函數(shù)的常用表示方法:　　　　、　　　　、　　　　. 4.分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域內(nèi),對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的　　　　,這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個部分組成,但它表示的是一個函數(shù). 常用結(jié)論 1.常見函數(shù)的定義域 (1)分式函數(shù)中分母不等于0. (2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0. (3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R. (4)零次冪的底數(shù)不能為0. (5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定義域均為R. (6)y=logax(a>0,a≠1)的定義域為{x|x>0}. (7)y=tan x的定義域為xx≠kπ+π2,k∈Z. 2.抽象函數(shù)的定義域 (1)若f(x)的定義域為[m,n],則在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,從而解得x的范圍,即為f[g(x)]的定義域. (2)若f[g(x)]的定義域為[m,n],則由m≤x≤n確定g(x)的范圍,即為f(x)的定義域. 3.基本初等函數(shù)的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當a>0時,值域為4ac-b24a,+∞;當a<0時,值域為-∞,4ac-b24a. (3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}. (4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). (5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R. 題組一　常識題 1.[教材改編] 以下屬于函數(shù)的有　　　　.(填序號) ①y=x;②y2=x-1;③y=x-2+1-x;④y=x2-2(x∈N). 2.[教材改編] 已知函數(shù)f(x)=x+1,x≥0,x2,x<0,則f(-2)=　　　　,f[f(-2)]=　　　　. 3.[教材改編] 函數(shù)f(x)=8-xx+3的定義域是　. 4.[教材改編] 已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),那么該函數(shù)的值域C的不同情況有　　　　種. 題組二　常錯題 ◆索引:求函數(shù)定義域時非等價化簡解析式致錯;分段函數(shù)解不等式時忘記范圍;換元法求解析式,反解忽視范圍;對函數(shù)值域理解不透徹致錯. 5.函數(shù)y=x-2x+2的定義域是　　　　. 6.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2,x<1,4-x-1,x≥1,則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為　　　　　　　. 7.已知f(x)=x-1,則f(x)=　　　　　　. 8.若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=x2,值域為{1,4}的“同族函數(shù)”共有　　　　個. 探究點一　函數(shù)的定義域 角度1　求給定函數(shù)解析式的定義域 例1 (1)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(0,1] B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞) (2)函數(shù)f(x)=1-2x+1x+3的定義域為 (　　) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] [總結(jié)反思] (1)求函數(shù)定義域即求使解析式有意義的自變量x的取值集合;(2)若函數(shù)是由幾個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時,定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集;(3)具體求解時一般是列出自變量滿足的不等式(組),得出不等式(組)的解集即可;(4)注意不要輕易對解析式化簡變形,否則易出現(xiàn)定義域錯誤. 角度2　求抽象函數(shù)的定義域 例2 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2], 則函數(shù)g(x)=f(2x)lnx的定義域是 (　　) A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) (2)若函數(shù)f(x2+1)的定義域為[-1,1],則f(lg x)的定義域為 (　　) A.[-1,1] B.[1,2] C.[10,100] D.[0,lg 2] [總結(jié)反思] (1)無論抽象函數(shù)的形式如何,已知定義域還是求定義域均是指其中的x的取值集合;(2)同一問題中、同一法則下的范圍是一致的,如f[g(x)]與f[h(x)],其中g(shù)(x)與h(x)的范圍(即它們的值域)一致. 變式題 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域為(0,1),則f(x+1)的定義域為 (　　) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(-1,1) (2)已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域為[-3,3],則函數(shù)y=f(x)的定義域為　　　　. 探究點二　函數(shù)的解析式 例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,則函數(shù)f(x)的解析式是(　　) A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1 C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4 (2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,則函數(shù)f(x)=　　　　　　　. (3)設(shè)函數(shù)f(x)對不為0的一切實數(shù)x均有f(x)+2f2018x=3x,則f(x)=　　　　. [總結(jié)反思] 求函數(shù)解析式的常用方法: (1)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取值范圍. (2)待定系數(shù)法:已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法. (3)配湊法:由已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式. (4)解方程組法:已知f(x)與f1x或f(-x)之間的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式,兩等式組成方程組,通過解方程組求出f(x). 變式題 (1)已知函數(shù)f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,則t= (　　) A.12 B.13 C.14 D.15 (2)若f(x)對于任意實數(shù)x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,則f(x)= (　　) A.x+1 B.x-1 C.2x+1 D.3x+3 (3)若f(x)為一次函數(shù),且f[f(x)]=4x+1,則f(x)=　　　　　　　　　. 探究點三　以分段函數(shù)為背景的問題 微點1　分段函數(shù)的求值問題 例4 (1)[2018衡水調(diào)研] 設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x≥0,12x,x<0,則f[f(-1)]= (　　) A.32 B.2+1 C.1 D.3 (2)已知函數(shù)f(x)=2x,x<2,f(x-1),x≥2,則f(log27)=　　　　. [總結(jié)反思] 求分段函數(shù)的函數(shù)值時務(wù)必要確定自變量所在的區(qū)間及其對應(yīng)關(guān)系.對于復(fù)合函數(shù)的求值問題,應(yīng)由里到外依次求值. 微點2　分段函數(shù)與方程 例5 (1)已知函數(shù)f(x)=(3+a)x+a,x<1,logax,x≥1,若f[f(1)]=3,則a= (　　) A.2 B.-2 C.-3 D.3 (2)函數(shù)f(x)=2x,x≤0,x-lnx,x>0,若f(0)+f(a)=2,則a的值為　　　　. [總結(jié)反思] (1)若分段函數(shù)中含有參數(shù),則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)區(qū)間上的解析式代入求參;(2)若是求自變量的值,則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對自變量進行分類討論,再求值. 微點3　分段函數(shù)與不等式問題 例6 (1)[2018惠州二模] 設(shè)函數(shù)f(x)=2-x-1,x≤0,x12,x>0,若f(x0)>1,則x0的取值范圍是 (　　) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) (2)[2018全國卷Ⅰ] 設(shè)函數(shù)f(x)=2-x,x≤0,1,x>0,則滿足f(x+1)0,若f(a)=4,則實數(shù)a的值為 (　　) A.12 B.18 C.12或18 D.116 3.【微點3】已知函數(shù)f(x)=3+log2x,x>0,x2-x-1,x≤0,則不等式f(x)≤5的解集為 (　　) A.[-1,1] B.[-2,4] C.(-∞,-2]∪(0,4) D.(-∞,-2]∪[0,4] 4.【微點3】[2018湖北咸寧聯(lián)考] 已知函數(shù)f(x)=x2-2x,x≥0,1x,x<0,則不等式f(x)≤x的解集為 (　　) A.[-1,3] B.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 5.【微點2】設(shè)函數(shù)f(x)=3x-b,x<1,2x,x≥1,若ff56=4,則b=　　　　. 第4講　函數(shù)的概念及其表示 考試說明 1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念. 2.在實際情境中,會根據(jù)不同的需求選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法,列表法,解析法)表示函數(shù). 3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段). 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.非空數(shù)集　非空集合　任意　唯一確定　任意　唯一確定　f:A→B　f:A→B 2.定義域　值域　定義域　值域 3.解析法　圖像法　列表法 4.對應(yīng)關(guān)系 對點演練 1.④　[解析] ①②對于定義域內(nèi)任給的一個數(shù)x,可能有兩個不同的y值,不滿足對應(yīng)的唯一性,故①②錯.③的定義域是空集,而函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集,故③錯.只有④表示函數(shù). 2.4　5　[解析] 因為f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5. 3.(-∞,-3)∪(-3,8]　[解析] 要使函數(shù)有意義,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定義域是(-∞,-3)∪(-3,8]. 4.7　[解析] 只含有一個元素時有{a},,{c};有兩個元素時,有{a,b},{a,c},{b,c};有三個元素時,有{a,b,c}.所以值域C共有7種不同情況. 5.{x|x≥2}　[解析] 要使函數(shù)有意義,需x-2≥0,x+2≥0,解得x≥2,即定義域為{x|x≥2}. 6.(-∞,-2]∪[0,10]　[解析] ∵f(x)是分段函數(shù),∴f(x)≥1應(yīng)分段求解. 當x<1時,f(x)≥1?(x+1)2≥1?x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1. 當x≥1時,f(x)≥1?4-x-1≥1,即x-1≤3,∴1≤x≤10. 綜上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10]. 7.x2-1(x≥0)　[解析] 令t=x,則t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0). 8.9　[解析] 設(shè)函數(shù)y=x2的定義域為D,其值域為{1,4},D的所有可能的個數(shù),即是同族函數(shù)的個數(shù),D的所有可能為{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9個,故答案為9. 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] (1)根據(jù)對數(shù)式的真數(shù)大于0求解;(2)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負及分母不為0求解. (1)C　(2)A　[解析] (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定義域為(-∞,0)∪(1,+∞). (2)由題意,自變量x應(yīng)滿足1-2x≥0,x+3>0,解得x≤0,x>-3,故函數(shù)的定義域為(-3,0]. 例2　[思路點撥] (1)由f(x)的定義域得f(2x)的定義域,再結(jié)合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范圍是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函數(shù)f(lg x)的定義域. (1)D　(2)C　[解析] (1)∵f(x)的定義域為[0,2],∴要使f(2x)有意義,則有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意義,應(yīng)有0≤x≤1,lnx≠0,∴00兩種情況討論求解. (1)D　(2)0或1　[解析] (1)根據(jù)題意可知f(1)=loga1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)0+a=a=3, 即a=3,故選D. (2)∵f(x)=2x,x≤0,x-lnx,x>0,∴f(0)=20=1. 當a>0時,f(a)=a-ln a,則有1+a-ln a=2,解得a=1; 當a≤0時,f(a)=2a,則有1+2a=2,解得a=0. 例6　[思路點撥] (1)分x0≤0和x0>0兩種情況討論求解;(2)根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,將函數(shù)圖像畫出來,結(jié)合圖像可得不等式成立的條件. (1)D　(2)D　[解析] (1)當x0≤0時,由f(x0)=2-x0-1>1,即2-x0>2,解得x0<-1; 當x0>0時,由f(x0)=x012>1,解得x0>1. ∴x0的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞). (2)f(x)的圖像如圖所示.當x+1≤0,2x≤0,即x≤-1時,若滿足f(x+1)2x,即x<1,此時x≤-1;當x+1>0,2x<0,即-10, 所以a=12,a≤0或a=18,a>0,所以a=18,故選B. 3.B　[解析] 由于f(x)=3+log2x,x>0,x2-x-1,x≤0, 所以當x>0時,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得032,可得352-b-b=4,解得b=78<32(舍去).故答案為12. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1考查給定函數(shù)解析式,求抽象函數(shù)的定義域問題;例2考查分段函數(shù)的求值,但涉及三角函數(shù)及函數(shù)的周期性;例3考查分段函數(shù)與方程問題,先分析參數(shù)的范圍,可以避免分類討論;例4是對函數(shù)值域的考查,依據(jù)分段函數(shù)的值域求參數(shù),是對已有例題的有效補充,值得探究和思考. 例1　[配合例2使用] [2018邵陽期末] 設(shè)函數(shù)f(x)=log2(x-1)+2-x,則函數(shù)fx2的定義域為(　　) A.(1,2] B.(2,4] C.[1,2) D.[2,4) [解析] B　要使函數(shù)f(x)有意義,則需2-x≥0,x-1>0?11,x+1,x≤1,若f(1-a)=f(1+a)(a>0),則實數(shù)a的值為　　　　. [答案] 1 [解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=1a,即a2-2a+1=0,∴a=1. 例4　[補充使用] [2018武邑中學(xué)模擬] 若函數(shù)f(x)=x+a,x≤2,log4x,x>2的值域為R,則a的取值范圍是　　　　. [答案] a≥-32 [解析] ∵f(x)=log4x在x>2時的值域為12,+∞, ∴f(x)=x+a在x≤2時的最大值必須大于等于12, 即滿足2+a≥12,解得a≥-32. 故答案為a≥-32.