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專題07 圓錐曲線 一、選擇題 1. 【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質量測評】已知雙曲線的左，右焦點分別為過右焦點的直線在第一象限內與雙曲線E的漸近線交于點P，與y軸正半軸交于點Q，且點P為的中點，的面積為4，則雙曲線E的方程為 A． B． C． D． 【答案】A 2. 【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質量測評】橢圓與拋物線相交于點M，N，過點的直線與拋物線E相切于M，N點，設橢圓的右頂點為A，若四邊形PMAN為平行四邊形，則橢圓的離心率為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設過點的直線方程為， 聯(lián)立方程組， 因為直線與拋物線相切，所以， 所以切線方程分別為或. 此時，或，，即切點或. 又橢圓的右頂點，因為四邊形為平行四邊形，所以， 即得.又交點在橢圓上， 所以， 4. 【河北省衡水中學2018屆高三第十次模擬考試】設雙曲線的右焦點是F，左、右頂點分別是,過F做的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若,則雙曲線的漸近線的斜率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：，，，，所以，根據,所以,代入后得，整理為，所以該雙曲線漸近線的斜率是，故選C. 5. 【河北省衡水中學2018屆高三第十次模擬考試】已知拋物線：經過點，過焦點的直線與拋物線交于， 兩點， ，若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B ∴，且，解得， ，∴，則，故選B. 8. 【河北省衡水中學2018屆高三第十六次模擬考試】若平面內兩定點，間的距離為，動點與、距離之比為，當，不共線時，面積的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 9. 【河北省衡水中學2018屆高三第十七次模擬考試】已知雙曲線的左焦點為拋物線的焦點，雙曲線的漸近線方程為,則實數(shù)（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】拋物線的焦點坐標為，則雙曲線中， 由雙曲線的標準方程可得其漸近線方程為，則： ，求解關于實數(shù)a,b的方程可得：. 本題選擇C選項. 12. 【【衡水金卷】2018屆四省名校高三第三次大聯(lián)考】設拋物線的焦點為，準線與軸交于點，過點的直線與拋物線相交于不同兩點，且，連接并延長準線于點，記與的面積為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 13. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期四調】已知雙曲線方程為，為雙曲線的左右焦點，為漸近線上一點且在第一象限，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】設為坐標原點，∵，∴為直角三角形．又的中點， ∴．∵，∴，∴為正三角形，∴直線的傾斜角為，∴．∴離心率．故選B． 16. 【河北省衡水中學2019屆高三第一次摸底考試】已知橢圓的離心率為，且橢圓的長軸長與焦距之和為6，則橢圓的標準方程為　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依題意橢圓：的離心率為得，橢圓的長軸長與焦距之和為6，，解得，，則，所以橢圓的標準方程為：，故選D． 17. 【河北省衡水中學2019屆高三第一次摸底考試】已知雙曲線的離心率為2，左，右焦點分別為，，點在雙曲線上,若的周長為，則　　 A． B． C． D． 【答案】B 18. 【河北省衡水中學2018年高考押題(一)】已知雙曲線與雙曲線，給出下列說法，其中錯誤的是（ ） A．它們的焦距相等 B．它們的焦點在同一個圓上 C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等 【答案】D 19. 【河北省衡水中學2018年高考押題(三)】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，且，雙曲線的離心率為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可知，由雙曲線的定義可得，即，由雙曲線的離心率可得雙曲線的焦距為，在中，由勾股定理可得，解之得，故選B. 22. ．【河北省衡水中學2018屆高三十五模試題】已知雙曲線的左右焦點分別為，直線經過點且與該雙曲線的右支交于兩點，若的周長為，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 23. 【河北省衡水中學2018屆高三十六?！侩p曲線（，）的一條漸近線與圓相切，則此雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為雙曲線的一條漸近線為，所以，因為，所以選A. 二、填空題 1. 【河北省衡水中學2018屆高三高考押題（一)】已知拋物線的焦點是，直線交拋物線于兩點，分別從兩點向直線 作垂線，垂足是，則四邊形的周長為__________． 【答案】. 【解析】由題知， ，準線 的方程是 . 設，由 ，消去， 得. 因為直線 經過焦點，所以. 由拋物線上的點的幾何特征知，因為直線的傾斜角是 ，所以，所以四邊形 的周長是，故答案為 . 三．解答題 1. 【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質量測評】已知定點F(1，0)，定直線，動點M到點F的距離與到直線l的距離相等． (1)求動點M的軌跡方程； (2)設點，過點F作一條斜率大于0的直線交軌跡M于A，B兩點，分別連接PA，PB，若直線PA與直線PB不關于x軸對稱，求實數(shù)t的取值范圍． 【答案】（1）；（2） （2）過點的直線方程可設為， 聯(lián)立方程組. 設， 所以 所以 而 ， ， ，2 ， 當時，，此時直線關于軸對稱， 當時，kp外十點能0，此時直線不關于軸對稱。 所以實數(shù)t的取值范圍為. 4. 【河北省衡水中學2018屆高三第十六次模擬考試】已知橢圓：的左，右焦點分別為， .過且斜率為的直線與橢圓相交于點， .當時，四邊形恰在以為直徑，面積為的圓上. （1）求橢圓的方程； （2）若，求直線的方程. 【答案】(1) ；(2). ∴四邊形為矩形，且． ∴點的坐標為． 又， ∴． 設，則． 在中， ， ， ∴， ∴． ∴， ∴橢圓的方程為． ∴， 即， 解得， ∴直線的方程為． 5. 【河北省衡水中學2018屆高三第十七次模擬考試】設點、的坐標分別為,直線相交于點,且它們的斜率之積是. （1）求點的軌跡的方程； （2）直線與曲線相交于兩點，若是否存在實數(shù)，使得的面積為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1）設點的坐標為，因為點的坐標是，所以直線的斜率 同理，直線的斜率 所以化簡得點的軌跡方程為 （2）設聯(lián)立，化為：， ，∴，∴ 點到直線的距離∴，解得：，解得，因為當時直線過點，當時直線過點，因此不存在實數(shù)，使得的面積為. 所以. 所以的取值范圍是. 7. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期四調】設常數(shù)．在平面直角坐標系中，已知點，直線：，曲線：．與軸交于點、與交于點．、分別是曲線與線段上的動點． （1）用表示點到點距離； （2）設，，線段的中點在直線，求的面積； （3）設，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點在上？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）見解析. （2），，，則， ∴，∴，設的中點， ， ，則直線方程：， 聯(lián)立，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的面積； （3）存在，設，，則，， 直線方程為，∴，， 根據，則， ∴，解得：， ∴存在以、為鄰邊的矩形，使得點在上，且． 8. 【河北省衡水中學2019屆高三第一次摸底考試】已知點是拋物線的焦點，若點在拋物線上，且 求拋物線的方程； 動直線與拋物線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點其中，使得向量與向量共線其中為坐標原點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）；（2）存在，. 使得與向量共線， 由，均為單位向量，且它們的和向量與共線， 可得x軸平分， 設，， 聯(lián)立和， 得， 恒成立． ， 設直線DA、DB的斜率分別為，， 則由得， ， ， 聯(lián)立，得， 故存在滿足題意， 所以，，三點共線. 10. 【河北省衡水中學2018年高考押題(三)】已知橢圓： （）的上、下兩個焦點分別為， ，過的直線交橢圓于， 兩點，且的周長為8，橢圓的離心率為. （1）求橢圓的標準方程； （2）已知為坐標原點，直線： 與橢圓有且僅有一個公共點，點， 是直線上的兩點，且， ，求四邊形面積的最大值. 【答案】（1）.（2）4. （1）因為的周長為8，所以，所以.又因為，所以，所以， 所以橢圓的標準方程為. （2）將直線的方程代入到橢圓方程中，得. 由直線與橢圓僅有一個公共點，知，化簡得. 設，， 所以 ， ， 所以 . 因為四邊形的面積， 所以 . 令（），則 ， 所以當時， 取得最大值為16，故，即四邊形面積的最大值為4. 11. 【河北省衡水中學2018年高考押題(二)】已知橢圓：的離心率為，且過點，動直線：交橢圓于不同的兩點，，且（為坐標原點）. （1）求橢圓的方程. （2）討論是否為定值？若為定值，求出該定值，若不是請說明理由. 【答案】(1);(2)2. （2）設，由， 可知. 聯(lián)立方程組 消去化簡整理得， 由，得，所以，，③ 又由題知， 即， 整理為. 將③代入上式，得. 化簡整理得，從而得到. 12. 【河北省衡水中學2018屆高三十五模試題】已知中心在坐標原點，一個焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為. （1）求此橢圓的方程； （2）設直線與橢圓交于兩點，且以為對角線的菱形的一個頂點為，求面積的最大值及此時直線的方程. 【答案】（1）（2）最大值1， 【解析】 （1）設所求橢圓方程為，由題意知，① 設直線與橢圓的兩個交點為，弦的中點為， 由，兩式相減得：， 兩邊同除以，得，即. 因為橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，所以， 所以， ，所以，即，② 由①②可得， 所以所求橢圓的方程為. 為對角線的菱形的一頂點為，由題意可知,即 整理可得：② 由①②可得，， 設到直線的距離為，則 ， 當?shù)拿娣e取最大值1，此時 ∴直線方程為. 13. 【河北省衡水中學2018屆高三上學期七調考試】如圖，已知直線關于直線對稱的直線為，直線與橢圓分別交于點、和、，記直線的斜率為. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當變化時，試問直線是否恒過定點? 若恒過定點，求出該定點坐標；若不恒過定點，請說明理由. 【答案】（Ⅰ）1;（Ⅱ）. 由得…….②， 由①②得 . （Ⅱ）設點，由得， ∴，∴. 同理：， ，∴ 即： ∴當變化時，直線過定點. 14. 【河北省衡水中學2018屆高三高考押題（一)】已知橢圓的長軸長為，且橢圓與圓的公共弦長為 （1）求橢圓的方程. （2）經過原點作直線（不與坐標軸重合）交橢圓于兩點，軸于點，點在橢圓上，且，求證：三點共線. 【答案】(1) . (2)見解析. 所以，解得. 所以橢圓的方程為.