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題型練5　大題專項(三)統計與概率問題 1.為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽. (1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協會”,求事件A發(fā)生的概率; (2)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列和數學期望. 2.(2018北京,理17)電影公司隨機收集了電影的有關數據,經分類整理得到下表: 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指:一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值. 假設所有電影是否獲得好評相互獨立. (1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率; (2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率; (3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,用“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小關系. 3.某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下: 上年度出險次數 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設該險種一續(xù)保人一年內出險次數與相應概率如下: 一年內出險次數 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率; (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值. 4.(2018天津,理16)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24,16,16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調查. (1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查. ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數,求隨機變量X的分布列與數學期望; ②設A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率. 5.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現一次音樂,要么不出現音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現一次音樂獲得10分,出現兩次音樂獲得20分,出現三次音樂獲得100分,沒有出現音樂則扣除200分(即獲得-200分).設每次擊鼓出現音樂的概率為12,且各次擊鼓出現音樂相互獨立. (1)設每盤游戲獲得的分數為X,求X的分布列; (2)玩三盤游戲,至少有一盤出現音樂的概率是多少? (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現,若干盤游戲后,與最初的分數相比,分數沒有增加反而減少了.請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因. 6.某工廠為了檢查一條流水線的生產情況,從該流水線上隨機抽取40件產品,測量這些產品的質量(單位:g),整理后得到如下的頻率分布直方圖(其中質量的分組區(qū)間分別為(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]). (1)若從這40件產品中任取兩件,設X為質量超過505 g的產品數量,求隨機變量X的分布列; (2)若將該樣本分布近似看作總體分布,現從該流水線上任取5件產品,求恰有兩件產品的質量超過505 g的概率.  題型練5　大題專項(三) 統計與概率問題 1.解 (1)由已知,有P(A)=C22C32+C32C32C84=635. 所以,事件A發(fā)生的概率為635. (2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4). 所以,隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 隨機變量X的數學期望E(X)=1114+237+337+4114=52. 2.解 (1)設“從電影公司收集的電影中隨機選取1部,這部電影是獲得好評的第四類電影”為事件A, 第四類電影中獲得好評的電影為2000.25=50(部). P(A)=50140+50+300+200+800+510=502 000=0.025. (2)設“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,恰有1部獲得好評”為事件B,P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35. (3)由題意可知,定義隨機變量如下: ξk=0,第k類電影沒有得到人們喜歡,1,第k類電影得到人們喜歡, 則ξk顯然服從兩點分布,則六類電影的分布列及方差計算如下: 第一類電影: ξ1 1 0 P 0.4 0.6 D(ξ1)=0.40.6=0.24; 第二類電影: ξ2 1 0 P 0.2 0.8 D(ξ2)=0.20.8=0.16; 第三類電影: ξ3 1 0 P 0.15 0.85 D(ξ3)=0.150.85=0.127 5; 第四類電影: ξ4 1 0 P 0.25 0.75 D(ξ4)=0.250.75=0.187 5; 第五類電影: ξ5 1 0 P 0.2 0.8 D(ξ5)=0.20.8=0.16; 第六類電影: ξ6 1 0 P 0.1 0.9 D(ξ6)=0.10.9=0.09. 綜上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6). 3.解 (1)設A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. (2)設B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B), 故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.150.55=311. 因此所求概率為311. (3)記續(xù)保人本年度的保費為X,則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23. 4.解 (1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人. (2)①隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X=k)=C4kC33-kC73(k=0,1,2,3). 所以,隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 隨機變量X的數學期望E(X)=0135+11235+21835+3435=127. ②設事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B∪C,且B與C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A發(fā)生的概率為67. 5.解 (1)X可能的取值為10,20,100,-200. 根據題意, P(X=10)=C311211-122=38; P(X=20)=C321221-121=38; P(X=100)=C331231-120=18; P(X=-200)=C301201-123=18. 所以X的分布列為 X 10 20 100 -200 P 38 38 18 18 (2)設“第i盤游戲沒有出現音樂”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18. 所以,“三盤游戲中至少有一盤出現音樂”的概率為 1-P(A1A2A3)=1-183=1-1512=511512. 因此,玩三盤游戲至少有一盤出現音樂的概率是511512. (3)X的數學期望為E(X)=1038+2038+10018-20018=-54. 這表明,獲得分數X的均值為負,因此,多次游戲之后分數減少的可能性更大. 6.解 (1)根據頻率分布直方圖可知,質量超過505 g的產品數量為[(0.01+0.05)5]40=12. 由題意得隨機變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X=0)=C282C402=63130; P(X=1)=C281C121C402=2865; P(X=2)=C122C402=11130. 則隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P 63130 2865 11130 (2)由題意得該流水線上產品的質量超過505 g的概率為1240=0.3. 設Y為該流水線上任取5件產品質量超過505 g的產品數量,則Y~B(5,0.3).故所求概率為P(Y=2)=C520.320.73=0.308 7.