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第六節(jié)　直線與圓錐曲線 突破點一　直線與圓錐曲線的位置關系 判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一個關于變量x(或變量y)的一元方程． 即由消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式為Δ， 則 (2)當a＝0，b≠0時，即得到一個一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸平行或重合． 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)直線l與橢圓C相切的充要條件是：直線l與橢圓C只有一個公共點．(　　) (2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是：直線l與雙曲線C只有一個公共點．(　　) (3)直線l與拋物線C相切的充要條件是：直線l與拋物線C只有一個公共點．(　　) 答案：(1)√　(2)　(3) 二、填空題 1．設拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是________． 答案：[－1,1] 2．已知斜率為1的直線l過橢圓＋y2＝1的右焦點，交橢圓于A，B兩點，弦AB的長為________． 答案： 3．雙曲線－＝1的右頂點為A，右焦點為F，過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為________． 答案： [典例]　(1)(2019河南九校聯(lián)考)已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3,0) D．(－2,0) (2)若過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，則這樣的直線有(　　) A．1條　　　　　　　　 　B．2條 C．3條 D．4條 [解析]　(1)因為直線與圓相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.選A. (2)結合圖形(圖略)分析可知，滿足題意的直線共有3條，分別為直線x＝0，直線y＝1以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)．故選C. [答案]　(1)A　(2)C [方法技巧] 直線與圓錐曲線位置關系的判定方法 (1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標． (2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)． [提醒]　聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后，應注意討論二次項系數(shù)是否為零的情況．　　 [針對訓練] 1．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數(shù)為(　　) A．至多一個 B．2 C．1 D．0 解析：選B　∵直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，∴圓心到直線的距離d＝ ＞2，∴m2＋n2＜4.∴＋＜＋＝1－m2＜1，∴點(m，n)在橢圓＋＝1的內部，∴過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點有2個． 2．雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是(　　) A．k＞－ B．k＜ C．k＞或k＜－ D．－＜k＜ 解析：選D　由雙曲線漸近線的幾何意義知－＜k＜. 突破點二　圓錐曲線中弦長及中點弦問題 圓錐曲線的弦長公式 設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 |AB|＝|x1－x2| ＝＝ |y1－y2| ＝ . 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)如果直線x＝ty＋a與圓錐曲線相交于A(x1，y1)，B (x2，y2)兩點，則弦長|AB|＝ |y1－y2|.(　　) (2)過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.(　　) 答案：(1)√　(2)√ 二、填空題 1．頂點為坐標原點，焦點在x軸上的拋物線，截直線2x－y＋1＝0所得的弦長為，則拋物線方程為________． 答案：y2＝12x或y2＝－4x 2．橢圓x2＋4y2＝16被直線y＝x＋1截得的弦長為________． 答案： 3．過雙曲線－＝1的一個焦點作x軸的垂線，則垂線與雙曲線的一個交點到兩焦點的距離分別為________． 答案：， 考法一　弦長問題　 [例1]　(2019孝義模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且點F1到橢圓C上任意一點的最大距離為3，橢圓C的離心率為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)是否存在斜率為－1的直線l與以線段F1F2為直徑的圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D，且＝？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． [解]　(1)根據(jù)題意，設F1，F(xiàn)2的坐標分別為(－c,0)，(c,0)，由題意可得 解得a＝2，c＝1，則b2＝a2－c2＝3， 故橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)假設存在斜率為－1的直線l，設為y＝－x＋m， 由(1)知F1，F(xiàn)2的坐標分別為(－1,0)，(1,0)， 所以以線段F1F2為直徑的圓為x2＋y2＝1， 由題意知圓心(0,0)到直線l的距離d＝＜1， 得|m|＜. |AB|＝2＝2 ＝， 聯(lián)立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0， 由題意得Δ＝(－8m)2－47(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)＞0，解得m2＜7， 設C(x1，y1)，D(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， |CD|＝|x1－x2|＝ ＝ ＝＝|AB| ＝， 解得m＝. 即存在符合條件的直線l，其方程為y＝－x. [方法技巧] 求解弦長的4種方法 (1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解． (2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個交點坐標，代入兩點間的距離公式求解． (3)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元得到關于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得到(x1－x2)2或(y1－y2)2，代入兩點間的距離公式． (4)當弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長． [提醒]　利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交點坐標再求弦長．涉及焦點弦長時要注意圓錐曲線定義的應用．　　 考法二　中點弦問題　 考向一　由中點弦確定直線方程 [例2]　在橢圓＋＝1中，以點M(1,2)為中點的弦所在直線方程為__________________． [解析]　設弦的兩端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入橢圓方程得 兩式相減得＋＝0， 所以＝－， 即－＝， 因為x1＋x2＝2，y1＋y2＝4， 所以＝－， 故該直線方程為y－2＝－(x－1)， 即9x＋32y－73＝0. [答案]　9x＋32y－73＝0 考向二　由中點弦確定曲線方程 [例3]　過點M(2，－2p)作拋物線x2＝2py(p＞0)的兩條切線，切點分別為A，B，若線段AB的中點的縱坐標為6，則拋物線方程為________________． [解析]　設點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 依題意得，y′＝，切線MA的方程是y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－. 又點M(2，－2p)位于直線MA上，于是有－2p＝2－，即x－4x1－4p2＝0； 同理有x－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的兩根，則x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2. 由線段AB的中點的縱坐標是6得，y1＋y2＝12， 即＝＝12，＝12， 解得p＝1或p＝2. 故拋物線的方程為x2＝2y或x2＝4y. [答案]　x2＝2y或x2＝4y 考向三　由中點弦解決對稱問題 [例4]　已知雙曲線x2－＝1上存在兩點M，N關于直線y＝x＋m對稱，且MN的中點在拋物線y2＝18x上，則實數(shù)m的值為__________． [解析]　設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點P(x0，y0)， 則 由②－①得， (x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，顯然x1≠x2. ∴＝3，即kMN＝3， ∵M，N關于直線y＝x＋m對稱， ∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0. 又∵y0＝x0＋m， ∴P， 代入拋物線方程，得m2＝18， 解得m＝0或－8，經(jīng)檢驗都符合題意． [答案]　0或－8 [方法技巧] 處理中點弦問題常用的2種方法 (1)點差法 設出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率． (2)根與系數(shù)的關系 聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關系求解． [提醒]　中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關系在解題過程中易產生漏解，需關注直線的斜率問題；點差法在確定范圍方面略顯不足．　　 1.已知P(1,1)為橢圓＋＝1內一定點，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點平分，則此弦所在直線的方程為____________． 解析：法一：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設其方程為y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0， ∴x1＋x2＝， 又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－. 故此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 法二：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設斜率為k. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1， ① ＋＝1， ② ①－②得＋＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴＋y1－y2＝0， ∴k＝＝－. ∴此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 2.焦點是F(0,5)，并截直線y＝2x－1所得弦的中點的橫坐標是的橢圓的標準方程為__________． 解析：設所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，直線被橢圓所截弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由題意，可得弦AB的中點坐標為， 且＝，＝－. 將A，B兩點坐標代入橢圓方程中，得 兩式相減并化簡，得＝－＝－2＝3， 所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25. 故所求橢圓的標準方程為＋＝1. 答案：＋＝1 3.拋物線x2＝4y與直線x－2y＋2＝0交于A，B兩點，且A，B關于直線y＝－2x＋m對稱，則m的值為________． 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2), 聯(lián)立消去y，得x2－2x－4＝0. 則x1＋x2＝2，＝1. ∴y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝3，＝. ∵A，B關于直線y＝－2x＋m對稱， ∴AB的中點在直線y＝－2x＋m上， 即＝－21＋m，解得m＝. 答案： 4.經(jīng)過橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點的直線x＋y－＝0交橢圓M于A，B兩點，P為AB的中點，且直線OP的斜率為. (1)求橢圓M的方程； (2)C，D為橢圓M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD的面積的最大值． 解：(1)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知右焦點為(，0)． 聯(lián)立 得(a2＋b2)y2－2b2y＋b2(3－a2)＝0，① 則y1＋y2＝，x1＋x2＝2－(y1＋y2)， 即kOP＝＝＝＝＝?a2＝2b2. 因為a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3. 所以橢圓M的方程為＋＝1. (2)由(1)知方程①為3y2－2y－3＝0. 由弦長公式得：|AB|＝|y1－y2|＝ ＝ ＝. 令CD的方程為：x＝y(tǒng)＋m. 由得3y2＋2my＋m2－6＝0， 則y1＋y2＝－，y1y2＝. 由弦長公式得|CD|＝＝≤4. 所以S四邊形ACBD＝|AB||CD|≤(當且僅當m＝0時取最大值)． 故四邊形ACBD的面積的最大值為.