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專題02 復數(shù) 1．數(shù)系的擴充 數(shù)系的擴充：自然數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集，實數(shù)集，復數(shù)集，其從屬關系用集合來表示為. 2．復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的表示：，：復數(shù)的實部；：復數(shù)的虛部；：虛數(shù)單位，規(guī)定：. (2)復數(shù)的分類：若，則復數(shù)為實數(shù)；若，則復數(shù)為虛數(shù)；若，則復數(shù)為純虛數(shù). (3)復數(shù)相等：若，則. (4)共軛復數(shù)：若與互為共軛復數(shù)，則.記作. (5)復數(shù)的模：若，則復數(shù)的模為. (6)復數(shù)的幾何意義：與復平面上的點一一對應；與向量一一對應. 3．復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 (1)設，，則 ， ， ， . (2)復數(shù)代數(shù)形式的四則運算滿足分配律、結合律等.復數(shù)的除法運算一般是將分母實數(shù)化，即分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，再利用復數(shù)的乘法運算加以化簡. (3)幾個常見的復數(shù)運算的技巧： ； ； ； ； 若，則. (4)注意復數(shù)代數(shù)形式的四則運算與復數(shù)幾何意義的綜合應用. 一、考查復數(shù)的概念 【例1】若復數(shù)為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），其中，則的實部為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)為純虛數(shù)，可得，解得， 則， 所以其實部是，故選C． 【例2】設是虛數(shù)單位，復數(shù)，則復數(shù)的共軛復數(shù)為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 則的共軛復數(shù)為1+i,故選D. 【名師點睛】（1）解答與復數(shù)相關概念有關的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意求解. （2）判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義． 二、復數(shù)的幾何意義 【例3】設為虛數(shù)單位，復數(shù)的實部比虛部大1，且滿足，則在復平面內，復數(shù)所對應的點在 A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 【答案】C 【解析】設z=a+(a-1)i，，則a2+(a-1)2=13，解得a=3或-2，故z=3+2i或z=-2-3i，則可知在復平面內，復數(shù)z所對應的點在第一或第三象限.故選C. 【名師點睛】|z|的幾何意義：令z=x＋yi(x，y∈R)，則|z|=，由此可知表示復數(shù)z的點到原點的距離就是|z|的幾何意義；|z1?z2|的幾何意義是復平面內表示復數(shù)z1，z2的兩點之間的距離. 【例4】在復平面內，若所對應的點位于第二象限，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意知所對應的點在第二象限，則，解得3＜m＜4.故選C． 三、復數(shù)的四則運算 【例5】是虛數(shù)單位，復數(shù)，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由復數(shù)z=1+i，可得.故選C． 【名師點睛】復數(shù)代數(shù)形式的四則運算是每年高考考查的一個重要考向，常利用復數(shù)的加減乘運算求復數(shù)，利用復數(shù)的相等或除法運算求復數(shù)等，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬容易題. 【例6】設是虛數(shù)單位，表示復數(shù)的共軛復數(shù).若，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為z=(3+i)i=-1+3i，所以z=-1-3i.所以zi-1=-1-3ii-1=(-1-3i)(i+1)(i-1)(i+1)=2-4i-2 =-1+2i.故選C． 【名師點睛】復數(shù)的綜合運算．分別運用復數(shù)的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的. 1．復數(shù)（是虛數(shù)單位），則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】故選A. 2．設是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【解析】因為，所以所對應的點為，位于第四象限，選A． 3．已知復數(shù)，則復數(shù)的虛部為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依題意得，，故m=5,n=2， 則z=m+ni1-i=5+2i1-i=5+2i1+i1-i1+i=5+5i+2i-22=32+72i，故復數(shù)z=m+ni1-i的虛部為，故選C． 4．在復平面內，復數(shù)與復數(shù)對應的點關于實軸對稱，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵復數(shù)z與復數(shù)對應的點關于實軸對稱，103+i=10(3-i)10=3-i，∴z=3+i，∴z=3-i.故選B． 5．已知復數(shù)，則的充要條件為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依題意,得，若，則，解得，故選C． 6．已知復數(shù)在復平面上的對應點關于軸對稱，且=2，則 A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】因為復數(shù)在復平面上的對應點關于軸對稱，所以互為共軛復數(shù)，所以，故選A. 7．已知為虛數(shù)單位，現(xiàn)有下面四個命題： p1：復數(shù)與（）在復平面內對應的點關于實軸對稱； p2：若復數(shù)滿足，則z為純虛數(shù)； p3：若復數(shù)z1，z2滿意，則； p4：若復數(shù)z滿足，則. 其中的真命題為 A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p2，p3 【答案】B 【解析】對于，與關于虛軸對稱，所以錯誤；對于，由，則為純虛數(shù)，所以正確；對于，若，則，滿足，而它們實部不相等，不是共軛復數(shù)，所以不正確；正確.故選B． 8．已知，復數(shù)是純虛數(shù)，則__________. 【答案】-1 【解析】∵是純虛數(shù)，∴，解得m=﹣1． 9．若復數(shù)為純虛數(shù),且為虛數(shù)單位)，則_____________. 【答案】i 【解析】設z=bi（且）,則z1+i=bi1+i=b2=22,所以b=1. 所以z=i. 1．（2018新課標全國Ⅲ文科） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】1+i2-i=2-i+2i-i2=3+i，故選D. 2．（2018新課標全國Ⅱ文科） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i ，故選D. 3．（2018新課標全國Ⅰ文科）設，則 A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】，則.故選C. 4．（2017新課標全國Ⅰ文科）下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是 A．i(1+i)2 B．i2(1?i) C．(1+i)2 D．i(1+i) 【答案】C 【解析】由為純虛數(shù)知選C． 5．（2017新課標全國Ⅱ文科） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，故選B. 6．（2017新課標全國Ⅲ文科）復平面內表示復數(shù)的點位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】，則表示復數(shù)的點位于第三象限. 所以選C.