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第1課時 不等式與不等關(guān)系
1．(2018北京大興期末)若a<5，則一定有( )
A．a(chǎn)ln<5ln B．|a|ln<5ln
C．|aln|<|5ln| D．a(chǎn)|ln|<5|ln|
答案 D
2．若a，b是任意實數(shù)，且a>b，則下列不等式成立的是( )
A．a(chǎn)2>b2 B.<1
C．lg(a－b)>0 D．()a<()b
答案 D
解析 方法一：利用性質(zhì)判斷．
方法二(特值法)：令a＝－1，b＝－2，則a2
1，lg(a－b)＝0，可排除A，B，C三項．故選D.
3．設(shè)a∈R，則a>1是<1的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若a>1，則<1成立；反之，若<1，則a>1或a<0.即a>1?<1，而<1a>1，故選A.
4．若a，b為實數(shù)，則＜成立的一個充分而不必要的條件是( )
A．b＜a＜0 B．a(chǎn)＜b
C．b(a－b)＞0 D．a(chǎn)＞b
答案 A
解析 由a>b?＜成立的條件是ab＞0，即a，b同號時，若a＞b，則＜；a，b異號時，若a>b，則＞.
5．(2017廣東東莞一模)設(shè)a，b∈R，若a＋|b|<0，則下列不等式成立的是( )
A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)3＋b3>0
C．a(chǎn)2－b2<0 D．a(chǎn)＋b<0
答案 D
6．設(shè)a，b為實數(shù)，則“0b>，∴b<不成立；另一方面，若b<，則當a<0時，ab>1，∴00 B．2a－b>1
C．2ab>2 D．log2(ab)<－2
答案 D
解析 方法一(特殊值法)：取a＝，b＝驗證即可．
方法二：(直接法)由已知，0loga，B不對；
a>b>0?a2>ab，D不對，故選C.
9．甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，若兩人步行速度、跑步速度均相同，則( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．兩人同時到教室 D．誰先到教室不確定
答案 B
解析 設(shè)步行速度與跑步速度分別為v1和v2顯然00，
故＋>，故乙先到教室．
10．(2018浙江臺州一模)下列四個數(shù)中最大的是( )
A．lg2 B．lg
C．(lg2)2 D．lg(lg2)
答案 A
解析 因為lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0；
lg－(lg2)2＝lg2(－lg2)>lg2(－lg)＝0，
即lg>(lg2)2；
lg2－lg＝lg2>0，即lg2>lg.
所以最大的是lg2.
11．設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c
答案 D
解析 a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，則只要比較log32，log52，log72的大小即可，在同一坐標系中作出函數(shù)y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的圖像，由三個圖像的相對位置關(guān)系，可知a>b>c，故選D.
12．已知實數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝0，且xyz>0，設(shè)M＝＋＋，則( )
A．M>0 B．M<0
C．M＝0 D．M不確定
答案 B
解析 ∵xyz>0，∴x≠0，y≠0，z≠0.又∵x＋y＋z＝0，∴x＝－(y＋z)，M＝＋＋＝＝＝＝.∵－y2－z2－yz＝－[(y＋z)2＋z2]<0，xyz>0，∴M<0.故選B.
13．(1)若角α，β滿足－<α<β<，則2α－β的取值范圍是________．
答案 (－，)
解析 ∵－<α<β<，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－<2α－β<.
(2)若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是________．
答案 (－3，3)
解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3.
14．(2017《高考調(diào)研》原創(chuàng)題)設(shè)α∈(0，)，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，則T1與T2的大小關(guān)系為________．
答案 T11，b<1，則下列兩式的大小關(guān)系為ab＋1________a＋b.
答案 <
解析 (ab＋1)－(a＋b)＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)，
∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋10，b>0，則不等式－b<0，∴∈(－b，a)＝(－b，0)∪{0}∪(0，a)．
∴x∈(－∞，－)∪(，＋∞)．
16．設(shè)a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，則x，y，z的大小順序是________．
答案 z>y>x
解析 方法一(特值法)：取a＝3，b＝2，c＝1驗證即可．
方法二(比較法)：∵a>b>c>0，∴y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2c(a－b)>0，∴y2>x2，即y>x.
z2－y2＝c2＋(a＋b)2－b2－(c＋a)2＝2a(b－c)>0，
故z2>y2，即z>y，故z>y>x.
17．已知a＋b>0，比較＋與＋的大?。?
答案 ＋≥＋
解析?。剑?
(a－b)＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0.
∴＋≥＋.
18．已知a>0且a≠1，比較loga(a3＋1)和loga(a2＋1)的大?。?
答案 loga(a3＋1)>loga(a2＋1)
解析 當a>1時，a3>a2，a3＋1>a2＋1.
又y＝logax為增函數(shù)，
所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)；
當0loga(a2＋1)．
綜上，對a>0且a≠1，總有l(wèi)oga(a3＋1)>loga(a2＋1)．
1．(2016山東)已知實數(shù)x，y滿足axln(y2＋1) B．sinx>siny
C．x3>y3 D.>
答案 C
解析 方法一：因為實數(shù)x，y滿足axy.
對于A，取x＝1，y＝－3，不成立；
對于B，取x＝π，y＝－π，不成立；
對于C，由于f(x)＝x3在R上單調(diào)遞增，故x3>y3成立；
對于D，取x＝2，y＝－1，不成立．選C.
方法二：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得x>y，此時x2，y2的大小不確定，故選項A、D中的不等式不恒成立；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，選項B中的不等式也不恒成立；根據(jù)不等式的性質(zhì)知，選項C中的不等式成立．
2．(2017北京平谷區(qū)質(zhì)檢)已知a，b，c，d均為實數(shù)，有下列命題：
①若ab>0，bc－ad>0，則－>0；
②若ab>0，－>0，則bc－ad>0；
③若bc－ad>0，－>0，則ab>0.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 對于①，∵ab>0，bc－ad>0，－＝>0，∴①正確；對于②，∵ab>0，又－>0，即>0，∴②正確；對于③，∵bc－ad>0，又－>0，即>0，∴ab>0，∴③正確．
3．(2017浙江溫州質(zhì)檢)設(shè)a，b∈R，則“a>1，b>1”是“ab>1”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 a>1，b>1?ab>1；但ab>1，則a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b＝－2時，ab＝4>1.故選A.
4．(2017湖北黃岡質(zhì)檢)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，則下列不等式中成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
答案 C
5．下面四個條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是( )
A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1
C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3
答案 A
解析 ①由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b.而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不必要條件是a>b＋1；②B是非充分必要條件；③C是非充分也非必要條件；④D是充要條件，故選A.
6．若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式成立的是( )
A．a(chǎn)2>b2 B．a(chǎn)|c|>b|c|
C.< D.>
答案 D
解析 方法一：(特殊值法)
令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，C均錯，故選D.
方法二：(直接法)
∵a>b，c2＋1>0，∴>，故選D.
7．如果a，b，c滿足cac B．c(b－a)>0
C．cb20
答案 C
解析 由題意知c<0，a>0，則A，B，D一定正確，若b＝0，則cb2＝ab2.故選C.
8．已知a>b>0，且ab＝1，設(shè)c＝，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，則有( )
A．Pb>0，且ab＝1，所以a>1，02＝2，0bc2；②>；③a2>b2，其中能成為a>b的充分條件的是________．
答案?、?
解析 由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分條件；②當c<0時，ab的充分條件．
10．(2017皖南七校聯(lián)考)若a B．2a>2b
C．|a|>|b| D．()a>()b
答案 B
解析 由a0，因此a成立；由a－b>0，因此|a|>|b|>0成立；又y＝()x是減函數(shù)，所以()a>()b成立．
11．已知m>1，a＝－，b＝－，則以下結(jié)論正確的是( )
A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)＝b
C．a(chǎn)＋，所以a0，∴ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)<0，∴a0，b>0，則a＋b>a－b≥1，此時(a＋b)(a－b)>1，這與“a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1”相矛盾，因此a－b<1，①正確．對于②，取a＝2，b＝，有－＝1，此時a－b>1，因此②不正確．對于③，取a＝9，b＝4，有|－|＝1，但此時|a－b|＝5>1，因此③不正確．對于④，由|a3－b3|＝1，得|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1，|a－b|(a2＋ab＋b2)>|a－b|(a2－2ab＋b2)＝|a－b|3，于是有|a－b|3<1，|a－b|<1，因此④正確．
綜上所述，其中的真命題有①④.
14．(2018吉林一中期末)若0a，所以2a<1，所以0，所以0.可排除C項．再對B，D兩項作差有a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝2(b－)2－.把結(jié)果視為關(guān)于b的函數(shù)，定義域b∈(，1)，得a2＋b2－b<0，所以a2＋b22a>2c B．2a>2b>2c
C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
答案 A
解析 因為logba>c，又因為指數(shù)函數(shù)y＝2x是單調(diào)增函數(shù)，所以2b>2a>2c，故選A.
16．已知2b<2a<1，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A．a(chǎn)22
C．a(chǎn)b
答案 D
解析 因為函數(shù)h(x)＝2x在R上單調(diào)遞增，由2b<2a<1，即2b<2a<20，可得b0，>0，a≠b，可得＋>2，排除B，選D.
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